出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
: s4 E& k5 r7 u& _* x
( n2 ]+ X7 Z( [则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
  y5 ]2 F% ]) f; o& Ma=2a
1=2
3 j2 g8 x4 h+ C) j: [# K- L
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
1 z/ D4 F7 ~& O! I" c
1）不能。比如1
; j7 U7 J3 s2 e8 |0 v' d2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" e7 Q4 r" M& G, v1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

1 ^6 V  P6 ]/ B+ W5 e3 L看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
/ m! \9 F5 X4 @; t, S7 J5 H5 e* o1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

7 D  }1 h  W" a# M/ m7 e7 f+ z0 R为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

9 A0 S$ C7 L7 X1 N. T/ rProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
/ ~1 H9 F9 c; \0 z! y" G- d         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
5 I/ ?% ]) k& J                                     K^3 – K can by divided by 3.
6 I8 v4 y2 e9 X; F+ _& f# j
$ d/ v2 X; x# f; x) M" INow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
! [! E& S5 j& P" U! s7 ~0 tsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
3 _8 ], M" k( X; J& D5 a) uThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
- g  b* ]. V* e0 z( ]* u                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
' ?5 z" r. g/ x* W' j
% k9 D( A, l/ [! W, ?: P/ MConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
+ L9 `7 q3 j; ~5 Q/ ^; V
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
' M0 N( [5 ]( K$ L0 c
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

5 [5 n5 i$ K) E2 e# h) d
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.