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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
" N4 K' d3 h1 f- z# z7 e/ b1 L9 p1 o( M, N  t4 U
2。下边证明有没有毛病?8 Y% L. }( B' R3 G

. C' W: ]' ]# m, z设  a=b
' J/ |; }) Z. m+ ]' c5 h+ r$ [) Z; @# c; |. ~
则有: a*a-a*b=a*a-b*b( s' J/ I# `9 z
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):' d" k) p% ]. g. K9 U3 E! h
( y# H/ I/ |$ O" R+ I/ P$ s
a(a-b)=(a+b)(a-b), W" ~; A  X8 G& c
a=a+b
# Z2 F1 o1 Q; c" \" M9 M6 Ja=2a
1 x; S# R9 @! S5 h) E  d+ q2 W1=2$ Z# g. F" |+ w9 l

/ p( @8 @* {2 q1 @证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试9 u, O9 ~; |& L! }6 H5 F% N

( `& z9 k( l# J7 {/ a1)不能。比如1
% O0 D! d7 B2 T) M* |# @* |2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。, B( q6 o( I5 \1 Y) e
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:2 r* D6 q1 H* b0 p7 s, V+ r( r5 i
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。" H- U5 B  ^) O% [/ O% ]
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
. u! P4 [) }, E% G; w' {
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 \9 W4 S/ T0 C' G1 E$ X* q6 ~1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。% V7 W& r7 r. M! H$ M8 J
* l6 F, m9 V# |* ]
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)9 Z3 `" Z7 b; B# \$ m. e9 t& d
; P5 ]  M! [. N  U- ?6 [1 E
Proof:
' Z. p( F9 c' q' X5 {+ LLet n >1 be an integer
- S, {; r) E4 O1 F. r8 jBasis:   (n=2)0 ]) E5 R7 N# _$ t7 r) C
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
8 J3 |; j1 o! A; q% Z4 F4 a8 ^2 I- k& b+ u) @! \
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
' ^# q( \  ~9 c: u2 [* j                                     K^3 – K can by divided by 3.
, Y% o# t! U1 o$ Y# a  N3 q5 G1 i6 \: G, t0 X+ K. t$ W# ], T
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3" l9 ~* j8 q4 Y. U! k- Y) W1 \' ?
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
1 Y: o- b) L5 {% p7 C: QThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
5 a, ?( Z, {; U7 O; @                                     = K^3 + 3K^2 + 2K. ^$ r- W8 O. g9 R3 T
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
( U* k" P  O3 c# ?+ |* |; @                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
" F; N5 a: K2 F! }& Xby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
! _8 Z. C  h3 W/ t# K% r" c: VSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: b4 t5 g! C8 ~( d6 r                                = 3X + 3 ( K^2 + K): C$ |2 s  e9 h5 D/ {
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
6 b, L' y! C, L9 X) `' t3 u. v/ I! n1 c( T" f) j
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
2 r: E; p2 t- c5 V
1 G7 B* _2 Q7 w[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。( T/ m( m) o$ K1 [. b' N+ @
' n( r' i2 c8 r% E1 C: q
第二题应该很简单
理袁律师事务所
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
* X4 O: n) Z- XShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

9 {& F/ x3 G7 R9 o3 T0 X" O
' e! z8 ^' V' o) e; b& u( N' QSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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