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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?6 {/ W4 X) b6 U9 y: O

2 s1 U* D# n9 B  E: Y. \9 z2。下边证明有没有毛病?$ O5 h* F4 w5 A9 \' @( [! N3 R
9 ]1 \3 ]3 x; [# g! }1 @. ~
设  a=b
# }9 U, w) r" F9 T1 [. M1 L( ?% c
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
4 h0 ~+ d: p; e1 z2 u两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):" x8 N/ {3 E8 H+ C! N- b

. |# o. D; w2 \' fa(a-b)=(a+b)(a-b)4 D: i) D+ S) j+ ]
a=a+b
: h) i/ [7 [2 ~a=2a: S" g8 v, B; E( W4 p6 {: w
1=2
+ E& Y; p2 M" o  f$ I) K$ \+ z" [6 Q1 w5 P
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
4 N( M( j) j# ~( A  D$ n1 a- P9 x2 V6 \
1)不能。比如1
4 G% G$ \+ A8 E+ b  Y/ j& ~2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。9 H: [/ D, J2 u0 p/ m
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ }; ~# p) X* s, f5 x7 f1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
3 O% @( `6 t- ?/ d% j2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
$ W8 @/ D0 M5 H# C) B! J. N
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:! t8 F: x9 R% M" R) ], o
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
  m1 I' H$ a3 W0 g* H/ K
. q/ c1 b3 d3 q& l! `7 ]
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
) I/ b. S0 D2 }# b. J( G# v
* n" h: l6 I, W7 O& s( F7 C. g# FProof: : @) e) s7 o( U& u# {
Let n >1 be an integer & w* ]/ E2 j2 U7 @5 q/ @$ d
Basis:   (n=2)% p! Z+ |% K1 W
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3: L7 r0 `0 K/ w$ S# ]' @

" v% Q. I" r/ K! h3 RInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that* W- q4 z! D* n- y  b, o5 u
                                     K^3 – K can by divided by 3.' E) ]/ Q, L* \; g% m

$ S2 J4 J4 W. `" x* u# S; H- ?Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 31 D" R* a9 x+ n2 U8 s! V
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem. H# k# j; S0 W; n
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
. `3 r7 x1 _7 O: _5 _/ ^                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
3 q$ V3 j3 s7 r                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)3 D9 U  l+ n  H% Q4 D% @
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)2 n4 O& k7 p/ Y% y5 Z7 u! [9 X" z
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
$ x% w- ]# o* C3 U( oSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ m. X+ y8 W$ c' L2 C                                = 3X + 3 ( K^2 + K)$ n7 c" N3 o% c+ e8 O) ]- i
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
2 Z9 S, s3 y, r- A2 b* r, A; Z1 L4 N5 c0 X0 b8 _$ V) j& P6 j
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
& l  u( k/ J, d8 w* e# `! ~
* d  \/ H* ~+ J0 ]. |[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
+ M! x- W$ H8 K0 S' l
0 |% q% s" n1 S2 ^第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
* o8 j1 J3 w" T; v2 u" o- }Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
4 \2 m% k) o- b

/ j9 _, A" Z5 ]% jSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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