出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

. i+ t( n/ A6 @# V; |# C: R设  a=b
+ \7 \  x0 M9 g* z+ z, U& {
* W" O/ L% N3 ^# T, B# N) V则有： a*a-a*b=a*a-b*b
1 d3 V: e0 J, d+ T2 U  Y0 K/ F3 s& m两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
& ]/ T5 \: p5 @" {a=2a
1=2
; q+ Q* y. S; e
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; v9 Z& g& e+ A9 o0 u2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 \' F9 r% e& a) j1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
7 \! ?9 `5 h( _. _! f# M( ?
5 z9 I; n( e4 ]* j5 o" X9 QProof:
Let n >1 be an integer
; F, a5 z! ?* Y' o. n( B8 \' TBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
+ I4 c- c6 S; o) n& s  v
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
! x* o% Y; r- n* E+ X2 u7 P$ O/ k( Z                                     K^3 – K can by divided by 3.
3 }: J/ t: p; k/ H/ Z
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
4 w+ Z- E: t5 c! ~3 s/ kThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
8 d( H8 j. ~! o6 m                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ n, `4 a8 s4 _by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
" R. B2 _! I: m3 s5 D% H                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
: ^- ~" t4 Y) E9 [* @6 \
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
7 p8 Z2 Y2 E* p3 b6 s, eShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

' Q, P0 i, o/ J& n+ d7 U" X
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.