出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
, b" y( y: g# U! `) f2 s% _1 M
2。下边证明有没有毛病？
$ t  i) T, ~5 G. ^
设  a=b
- A8 j. h  T* g. Z- Y( l0 b/ _
" H" l, R. A& f则有： a*a-a*b=a*a-b*b
) y" i9 e3 P0 ^两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
$ S. O. n# E$ K2 y5 a+ g$ [) a: ua=a+b
a=2a
- v$ e* C3 U( l1=2

! Q6 p& ]: X  Y& ]6 ~证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
& W# M' V8 a2 J" e& O5 ?9 D2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& @' x5 d+ {- f9 `$ e. p1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: x$ U2 A8 l  |) ^) Y

9 A2 f1 {3 @( l& s) K4 ^! m为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

2 I* ^% x# i% ^8 e. b0 DProof:
- m% ]" E( g$ U5 m0 _' cLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
! p- j7 j# u; W( |5 M+ B+ m7 p         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

( @9 z2 k2 G* A  j3 nInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
8 c- s, x% _* A                                     K^3 – K can by divided by 3.
+ @% J! a% t8 _. J* M
8 L5 l/ G. @/ l6 T, S- WNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
/ E4 M: L" \1 R( }/ c3 h                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
( l$ a" O+ O2 H3 |0 k: }+ USo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# u; M& G( \6 k$ m. w7 x% v  i                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
- w! M$ I2 H( m! N0 G
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

8 h# x0 o! [9 i6 l1 M* w* gSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.