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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?9 e  s; ^) z2 }* L9 U# M2 R

) f* m5 R; I- X$ O4 W2。下边证明有没有毛病?
! K9 B9 z0 I2 }, U2 T  R) C8 B6 @2 w- T5 c7 _5 }
设  a=b  ~: ]/ a/ _3 I
- r, H7 ]0 `+ K2 e, r% l
则有: a*a-a*b=a*a-b*b- i% ]% U1 B% d) a4 Q9 M% b
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
& k* m+ b+ i) @& I" w& _: _2 C* B1 l$ P* D2 N; N
a(a-b)=(a+b)(a-b)7 k+ Q1 _! c% [  b3 X4 ?) [
a=a+b
# ^' i$ x7 J& ~+ U6 L! ea=2a
& n+ C9 n+ P! t) P' J$ F1=2& S2 P; O3 l; V0 c6 C5 V2 r) M

& H& O% v5 S8 t* u证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试+ d. l# @( ^: T+ q& Z$ o- k4 B! g

* B$ i% c  W5 I* g. Q1)不能。比如1# Z1 {* d0 \0 y  ?: g- ?
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
  c( ?6 B: J: ~2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
# O2 [5 A  ]+ l" T% D1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
" M) H0 o: U0 j- M7 p% f2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

- S! R$ C# z. N6 I- ?$ V看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:6 m# s( }) `6 s; |
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。, k( V8 ]+ b! [% ]! _: E4 B

. k- }* P4 U: ^! w& {为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)1 o4 A- B1 Z+ ^1 A

* N+ l' r% _6 ]4 Y, O2 zProof: 9 p% P1 v9 q& A% }5 }# \' d
Let n >1 be an integer 3 |0 r7 `5 M$ a/ {8 p& I% ?% D
Basis:   (n=2)
+ e$ Y% I6 H' a6 S' B* n         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
5 o. M  @1 d  m; F, l$ p0 G% K
% s; L' U$ t8 b0 Q: i' }; ]! pInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that7 Z& E9 l0 x; f
                                     K^3 – K can by divided by 3.
! ^: e, n# Y% o7 E
) F$ p" I- u' n: k/ d" A) u2 [Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3: Q# {" U" f) W3 o
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
  m+ t' i/ @. uThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
% _: Z! F( p5 B( ~* R4 t                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
# s; [# h, m6 L7 g& e  x* \                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
& e% i0 j5 L8 y$ q                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 S1 N8 O& n) s6 k" R+ z; Tby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0" a$ ~3 F7 D9 i# e: M
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)' }( U/ D5 V2 }  C5 Z
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
, W- I5 j/ ]2 }# ^                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3) G2 B- A  _8 x

0 @- }& p* ?& j, Y8 ZConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
0 T) ^" K# t. C
8 `" I8 `% u$ n. {  R, Y* W[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
& u2 c- Y9 u4 a+ b3 P$ f
8 y7 C0 J0 S0 m2 D7 c2 j第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:8 ^8 O4 m) ?) N) h
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
9 L9 h7 q1 _% m' G* @& q5 K! l' q9 W

0 s! E6 f: u2 A9 L: m6 VSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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