出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
" I# S! I% _8 c4 V
. g7 C/ T& U9 a8 G& J2。下边证明有没有毛病？
7 c' N, I' b* S% V7 Z  K
设  a=b

/ T$ [* Z. O4 h  G9 j, w则有： a*a-a*b=a*a-b*b
/ z' N/ D5 Z2 T: P4 t5 V9 h/ }两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
, H" J: N& s0 h, D- l9 V/ g
a(a-b)=(a+b)(a-b)
- @5 q: Y4 q  D2 i) S/ Da=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
, l0 }, d8 P5 [( h+ _! l0 J
+ x; B3 r1 K3 }3 V8 X1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) q9 z6 \7 ^( t# c5 R" i2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
# O0 h. p/ [6 x2 n8 i1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
( I' R) l" x' ^  E1 M3 p/ W8 p         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

$ f& B  e  i$ I5 bInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
/ l- {( V7 h5 s2 V8 k                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
/ s) y) T4 d# c3 f* ?Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
: r1 v* P% [3 N; K                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
7 k# j" h/ J! n2 |' N! H: K, e  m                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
& `  |' K9 m( J+ u- [4 m. vSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
  E5 q2 i/ f. ]6 q$ c" H9 X                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

! G8 z! [  b' YConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
8 b# C4 ~: _. K
8 `5 c; _7 S' s+ D3 {[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
4 u* `* @8 C8 gShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

. g* p) ^% E3 b
3 [$ r+ R6 J  z- |. ISORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.