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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
1 Q- _$ o9 u( n0 B& G: v4 E; d  K9 M9 l/ C( c; O  G
2。下边证明有没有毛病?
/ H2 z& i! N" h' s
) O7 U4 r7 i& o' I7 w6 q% w设  a=b6 \! s/ c, Y  P6 o
0 J" z" T3 _2 G$ d* e' l
则有: a*a-a*b=a*a-b*b7 n4 o/ o* g- X/ v
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):; a' {4 a. _) _. V7 H
0 {3 u0 j% z% g* n  r  T
a(a-b)=(a+b)(a-b)
: t# k; @( J. e; q" Ta=a+b
0 I- Z) X8 ]- c/ P8 R; d, n) ka=2a) i& L1 W9 _( a1 q  D) b
1=24 x2 e4 K, o0 M  _+ O. d

* s3 r! f+ r7 U. \, L- ]证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试0 m* Z! a/ Y, `2 R- ?) D

' \: e2 W5 `; ~8 m1)不能。比如1
: n! j  s1 {" g2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。) k. p) V2 {$ _* U3 ^- i
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:: a/ [$ X$ b9 Y* O$ u
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。2 e% [& Z  F9 T( J" f$ ~! ^
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
5 r' Z' @0 ^" I  Q. G, e5 U
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 M8 ^# \6 y! _  J) \1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
+ r) F3 M: J4 }5 f$ H+ h
& I  l8 N1 e& O
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
' n# M2 G/ J6 Q7 ?8 A7 N
2 a& v& ?+ I+ O: k+ kProof:
5 z$ n, s- Q7 }# C$ [6 d+ g+ ?Let n >1 be an integer 4 w% T3 @) L! `6 Z- A
Basis:   (n=2)
% V% Z" A) s1 z) f7 ~  R         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3' ~  Q$ @( K" n3 E* D
# }3 V; V' g- i) X; t+ B
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that; D# E1 x+ x% Z5 L: ~6 v, f
                                     K^3 – K can by divided by 3.9 o0 q  p% \" ~" y7 g
# J& j# n  }- m2 G
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3! o) c" L1 x9 A- [: N$ O
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
8 G# `7 o7 a* T9 E* RThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
+ `8 s# a( O: Y                                     = K^3 + 3K^2 + 2K; _6 |% Z& ?! J# f! K7 p; M
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)+ c8 i: b% O4 G0 P. F+ [# A
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K), o3 Y" c9 w4 S% G
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0* C2 S2 P) C) {* r: r9 Y2 l
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: j: p8 h: D/ q% d# p4 W                                = 3X + 3 ( K^2 + K)3 ^4 @3 k9 c1 u0 T# x1 V. [
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3: B7 V0 h' b: [
5 u, [% U- {7 u
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.& }4 N: D& o- q

' a+ _2 H3 d  ~9 C% Z8 o9 ~0 V4 d1 M[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
7 s! \# n: u- \3 ^9 I, t
7 ]2 [# c8 L  v, l" h6 v1 }/ [第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:/ x- F' I* @. J
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
" f8 Q! `: E9 z' v: C! `, e
2 B; F! Y  H* k- {
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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