出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
9 v! w4 |0 y  y7 A# R' S
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

0 N7 a+ t5 `/ c5 _6 K, W则有： a*a-a*b=a*a-b*b
& y) ^# d5 a( U$ j, M1 l# \2 M两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
: H+ O2 [8 X" B! w6 V( E8 X
# n- Q; C+ h0 s8 D  p$ Ya(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
: c/ \% c, f2 ]& n5 W+ I% |. q& |  ta=2a
1=2
+ h) x7 s! t8 P+ k* ]0 H
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

' }8 h! w0 y8 X$ n. w; y1）不能。比如1
- Z  t2 F, ^8 p" ^6 }) k% [2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
$ A) E# J- R+ l, u3 N* f1 E2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
; c$ u2 s# a. _, V* a1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- y4 T1 k9 {; O# A. E2 R& [2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 g8 n. ~0 P) c4 _5 h8 \9 o& l1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

# R0 H# ?- ]$ [! s0 j6 t) }4 ~( XProof:
Let n >1 be an integer
# k- x1 q  z( P: p( pBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
7 ^- e0 e+ }+ L; q0 a9 g( b
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
( T2 H$ v! T1 n' P3 D
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
% e% ]6 O, m" b# Y6 k5 |9 k6 ], |since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
6 [% w0 a0 d, R$ [3 c                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
8 S' I* r, J4 W; k, K; Rby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
" j6 y) {  A7 J8 ?/ JSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
6 f! C4 l: b+ V( a) Y. ]
, P2 H* v5 N2 n* i$ N/ RConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
0 L9 k# @, i, {% |6 a  f
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
# o# W6 I' v8 E( Y5 k9 ]$ }9 y
8 R0 p% i+ D5 k$ z4 `6 ?; m3 z第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

; u/ d7 l) g9 M  @1 d) A2 B" xSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.