出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
/ e" D. I0 S2 U: ~, ]: Q9 o8 s
; {$ u+ ?- H) |" D2。下边证明有没有毛病？
, z, }5 n% `% ^
* f5 @' k2 c+ Z设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
: [" ~7 `6 h( Y2 L; R0 j0 j
' V( k' a9 G- ha(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

/ i. f6 B3 [$ L( ]证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
  F9 f9 q8 V' i8 p
1）不能。比如1
4 a# u, q% k7 K5 k2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
6 R' r9 Q2 q% v3 y2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, r: |# i$ L% M% @2 N  x1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

; U' N$ }! [: U; a* t5 n, \看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
' v, ?2 \9 C9 @

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
5 d- {5 R2 U1 M$ R. \Let n >1 be an integer
' ?3 M# p6 G1 D) K' TBasis:   (n=2)
& m- h8 l  C/ k2 d7 m* h         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
6 K8 g2 }8 y( R' E
$ F, Z: Q% l# {Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
( ^- Q/ t( O$ Z$ J' }7 J5 l$ h  zSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
7 L0 F5 d7 c, C( z- Q, _                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
  u6 n6 @, L9 E  |! s
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
6 G7 O/ B2 `% [) T+ z+ h
4 |1 G8 w6 D- V/ U[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

) U, ?0 L8 [3 g5 F第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

) ]+ c  C7 A$ P
' l+ V& W# {( |SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.