出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
3 _# J: |: [2 ]; W  d
0 z; E  F& k' Z" M2 H8 L! h2。下边证明有没有毛病？

" J, n9 _; ^8 e- p0 V8 E设  a=b
6 d5 n+ l# [" N: ^: H' }8 f6 F
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

; m* s, l" g2 w$ {a(a-b)=(a+b)(a-b)
( Z0 L! L+ O" C$ va=a+b
a=2a
+ F. c' B6 g+ t2 H5 R5 B- w1=2
1 B7 @/ f- Z5 j/ q/ `; c
) R2 f% N" n  }证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

+ ?5 W/ n# b0 f4 t* D, \1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
% |( F7 M& E! u, ]1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" y- L" g9 e# W. Z, ~3 Y2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 _: ~7 i& q& j6 C

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

! a" K6 a5 v+ s1 ?Proof:
Let n >1 be an integer
+ W0 q4 @1 P# N. t( r" \' p# cBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

& L# I. d7 X  c. BInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
8 b& }6 {1 i  _" Q3 n, }% v                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
: `, S) [/ a/ D1 x$ J: d% EThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
% W4 n' X( K, b6 j6 e- H                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
% x4 g% R2 x$ ^4 b: W! \                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
" r! n8 e7 F3 v- ?  f
- o8 O8 W$ ~9 g+ p8 `[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

( Q3 v# ^% K' r! y$ U3 H
% E! T+ {: W" }7 l* |' u" s9 CSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.