出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
9 V9 M7 I2 K. u
2。下边证明有没有毛病？
. C( V5 a2 q. \; [
设  a=b

) z! H0 o& O: f) W9 G2 ?则有： a*a-a*b=a*a-b*b
3 _+ D6 H* d8 t- ]6 l$ B# |' v9 e两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
5 t3 _5 \8 J5 ]) {
% T8 N- J5 B( T0 T8 `. S: D% ka(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
. u0 K0 C- }5 Y4 }9 \9 wa=2a
1=2
& U% _9 B, t& D. ^
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
: ?+ \0 [* J( b& I2 ~* V4 r* t# a5 M5 h
1）不能。比如1
$ W( I) Q; T4 F" E, r$ |2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% o# {5 g% Z; M$ K! X+ I( ^1 H- {2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 [, b( ^! r  _' Y0 [2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
; {8 s* A: t; ~* D, v' \$ ?1 F$ e  p1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

0 z" S/ D4 c" I为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

+ O6 I* t, o3 K0 zProof:
Let n >1 be an integer
  Y& r& H$ `3 Z: X; C3 uBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
8 R) U& d  c' i* h0 U                                     K^3 – K can by divided by 3.
. O! Q0 A) U+ L+ t6 u' R
/ h" t2 D; M1 N6 Y4 p: z/ [Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
' c2 R9 h( {) ]* g' m8 o                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
& P' c$ ~2 F: c& w9 U/ f                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
9 Q8 n6 n( l- q' L; G% u4 G7 }                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
( o8 L- ]# Z6 e# t' c* `: b0 X
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

; b1 r* J: u- F[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

5 ~" r2 ^5 ~+ a) {( q2 R* L' e, Q1 v  ~
3 V8 p7 {3 H4 t* S. d2 R- M6 ~SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.