出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

: X% y$ f' t5 A# O7 h设  a=b
$ I. J6 X; s' u: e
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
. a9 g5 T* S5 W/ z2 c8 w, A
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

* Q2 @4 |4 o" t6 f- W0 u$ Q9 z1）不能。比如1
; w( u: p; ]: W7 B9 |0 d: F+ O2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) r9 B5 M5 m! q8 S4 O2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
$ t9 f4 _0 v* W$ o8 d1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 E7 |- i6 i* g; \, A  U2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
/ s% c( ], `0 E1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# a0 L: {' S% N* s$ p) B  T% ^

- [  Z8 q" m% E1 P为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
8 U2 X8 m5 ]' v7 i; i  n
Proof:
Let n >1 be an integer
8 D" L7 o' y1 mBasis:   (n=2)
3 J* t1 |* g( g- @         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
4 J  k9 T* a: R5 H3 i' E  Y
7 p! v9 S" m7 d; @Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
( w0 u) F& U5 a% }, @
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
3 E: k- B* K1 F0 C# z) h3 WThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
- l* {0 b, u+ F; ~. y                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
* h2 @' b& C3 g& a7 G# |! Q% ?                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: ~) Z# Y) g; m3 P2 W, Sby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
  D, H& `( R* F. ^( C: P& U                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
( o: e% C" e7 E5 I- v& P                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

2 P9 a  S% E. d! W0 w, K! w. S) x第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.