出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

5 V6 f' B9 D% |7 a: I. Z2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

3 ?+ f( t$ E' n0 e& ~$ \则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
) y: ^  f" z+ A
a(a-b)=(a+b)(a-b)
( d7 D6 I' C" B2 T# Z/ Ja=a+b
2 ?$ h2 R8 k) u7 Q# U# q* d) \a=2a
1=2
5 X& p! `% ]) n
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

+ t, P+ w; V" i1 s$ S" [1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 {3 x4 h% b( j0 r; W4 n% `, o2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

  H+ P" s2 f4 ~! U9 b0 V3 o( o9 c看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& p0 {  l7 S7 G* ]2 b6 X/ Y' B1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

8 S( b  j- L3 {6 Q  ^为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

5 _$ Y1 ]6 S9 @Proof:
7 }0 n' s7 _+ Z  MLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
& z7 D6 R6 o! M1 p! C         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
' r# W- D; n$ D; a4 ?
- S( g: j9 J& ~8 E. mInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
5 M# a9 }1 w: d7 I3 S3 `                                     K^3 – K can by divided by 3.
/ o+ t; x" b, \& N: s
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
9 k5 X. @# R. F7 n3 G+ ^7 ?since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
* f9 R5 E# T3 @; I8 v" ^+ iThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
7 }' A' S3 o1 T7 U; r  }                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
! M  c( K& W6 {, @/ ?                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) n* ^! A1 ]' r7 sby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) N/ @. @! W7 |+ \' s% Y                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
; v8 w; D" s! P) ]                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

6 y3 ~! m! `2 o4 o- g3 v3 R第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
/ e( T+ b5 G4 G$ v7 `9 ?1 mShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

* ~. g& C  |0 n: eSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.