出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
% X5 J3 K# }8 {. f/ x0 R& }; a
2。下边证明有没有毛病？
; |, S- A0 m" c% r- [
, Q8 @, p9 j# W8 }' F2 B设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
8 Y" O4 h0 P, W两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

+ b; s$ O( U" {2 J1 fa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
2 ?, H/ ]1 d0 {- K# j
. H9 i: C/ x2 e: Z3 z6 p: q证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
$ N) V2 y& ]7 [2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 l  A4 Q$ `& e: `2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
0 k, S9 O" s1 G. h' @1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

* {: j$ v/ y& x8 k8 h看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 q& d  ?5 D- D6 n9 s/ D* w

. ]# v0 F, ?0 h/ l为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

% V3 V" M: ]$ Z6 t/ dProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
2 w6 q8 q+ g% u! ?# u% b         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
: D2 q' z% _6 F1 G' l& M
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
  L( O# y4 }7 W1 M
( D* K* C4 G" M/ ~* ~) C6 U% ~Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
" D9 K- z0 ?" j. B/ a& PThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
9 y# P- M* X" H- O+ B* i( n, Q. b                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
  w. F, g7 J8 q$ @( D5 `; f                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
& I( _. k; j/ k2 v                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
/ q% `4 x9 f% I; TSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
& w! `7 a8 `8 f' W& p1 G                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
) `" U0 K9 B* X/ y; f' h8 }2 }8 \                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

1 d, A' }% Z$ _: sConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
9 j( f4 S( j" N$ H( D
, i0 M+ X' b' S4 K; h4 C[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
4 r) I# }  i( j* i& ~
3 _7 N" e' O) b+ P: c4 N0 V4 C第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.