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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?% n6 i3 a+ O* _/ b1 B4 |

' u) |9 W) y/ T/ V2。下边证明有没有毛病?1 O, |1 K, ^! A

' d, |! F" P! O! K( b" s设  a=b
8 F/ M, v0 ^2 w! P" Y  F# ^& p$ u  v6 k  F
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
' s4 r" o# Y  j4 H' H6 B两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):! I% g+ F0 j( m7 ~* X
% o' m+ ~1 f+ g3 O( H% Y
a(a-b)=(a+b)(a-b)( D% k- Q) s; K9 q
a=a+b
. f$ ?# A" B1 Wa=2a
2 |$ \6 `9 @, k9 @9 [# Z1=2
. J: L  t, o' O, L9 n
1 d& `* j1 |# w; Z证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试4 x# w8 N/ k3 c* |1 p9 S' K" ^

+ k$ Q" m- Q- m6 o; m( K1)不能。比如1* `3 X4 o; _  q# k, B
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
( w5 S9 Y, o( X+ i5 i3 ^$ @0 E2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
- ~& Z; h2 J5 G( r7 F- t1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
; _+ G$ y4 }: p! X2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

3 Y) D6 x( v/ K$ n' p看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 N4 K0 s7 k" l5 D. h8 \1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
* i8 r: m2 F" Y: U% g
; R  ^4 b) p: X4 J
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
9 _, ^3 P3 T; ?3 {  n3 }6 d/ k
" \" C# N# m- \. r# M4 S0 {Proof: 7 ]* k8 F# L1 a7 i* [
Let n >1 be an integer ( m) i' e5 s" g0 p
Basis:   (n=2)
- C& a4 w+ e" ?2 e! x7 D         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
" ]6 x6 U3 W* |9 ^; A1 L/ \$ G! W
% f0 ^$ K! M6 K, T# y4 ~Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that$ e# R! E7 D: Y( A/ k
                                     K^3 – K can by divided by 3.
" Z8 ]( K- ~' a- E+ w& R% X0 u) J6 z% U' Y6 r/ t7 j' M
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
- I8 y4 ]; i0 B' g/ Gsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem" }% k8 K' @) T6 {! f3 s
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
) {( ~3 z1 M' I% Y/ G/ H                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
0 d" i# ]/ Q9 p7 D                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)3 B% g- e' V( n- w# L
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)/ p0 G3 a; c) r; @
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
, d3 B" v+ {' ~% }3 nSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: X& o' g1 v. X8 H/ K! @                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
; u" F( s4 p) |' @5 ]                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3) h/ A0 {' [4 ~- f8 H5 @& ~

3 B2 ?/ I6 v9 Z2 O9 _, \Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
. l+ C; g7 y9 I8 B& D( v/ z3 m9 O! k2 T2 T* I! f$ i# v
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。) [. d2 a, y5 @4 {+ s1 D
/ i5 f- W+ T1 E, l
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:5 Y  |! v( H7 m
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
8 D. b4 ^1 Q& Q% n  e5 i
5 y& G9 G: `0 E! y7 g- N" \, W/ c' g
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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