埃德蒙顿华人社区-Edmonton China

 找回密码
 注册
查看: 2208|回复: 8

出两道中学数学题

[复制链接]
鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
- a' |! z/ V# E
5 v- E+ V4 B+ z- Z: F5 ?2。下边证明有没有毛病?+ U. Q. l; ]+ k/ ]' H3 |$ R

& q+ ?( P3 J! P6 D9 o$ Z设  a=b
7 M- w2 }  z, ^5 s! W; K/ {  S  c, s5 N. z4 G5 w) F9 k
则有: a*a-a*b=a*a-b*b' u9 J, Y$ v; c1 ~7 ^7 }
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
9 l0 q4 A" X1 O) z8 m: |9 p6 d) I, D, V+ v" X
a(a-b)=(a+b)(a-b)
( o# L- l/ X5 V$ q6 qa=a+b8 Y, g* [* k; a' f' F0 E
a=2a
: F6 r1 b  v: b1=2
  G7 `$ n" I6 R. g" g- \) S# _% F& V" F3 l  U
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试+ h+ V) l9 Z4 A: E" W, V

* t/ \0 S, A! M6 |+ q( @+ p$ v1)不能。比如1+ [  M$ d3 h+ ^
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。$ y8 }, L8 H( [5 b" O! A% Q8 p8 J
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:4 `# R7 B! ~  i- K( P& z: r: }! n
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。1 g/ g. \* u! w1 ^
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

, }" s1 J' H: g* A+ G2 @! u, n看!有高中毕业的!
理袁律师事务所
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:" t0 s/ I( v* p+ E4 Q3 ]; {- B
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。- m! s5 o6 r; V
: g# \1 L& \, p( p8 Z7 l5 x+ C2 W5 i
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
0 k9 ~5 R" d/ B5 M. O* J; D- f3 m% P$ ]6 h8 {( J
Proof: 3 o3 \' f1 c; y
Let n >1 be an integer " \4 k3 \' L" q) E8 }/ X/ q
Basis:   (n=2)
: \) ?* a5 m+ H5 K. U0 ?2 j         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3) q2 o* l; B& w/ i, W+ ^5 _) K- O

& B8 I% [; E3 t* S8 T" tInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that8 X: m! e5 G1 o& F
                                     K^3 – K can by divided by 3.
% [) G6 v+ ^% s7 q6 }& Q
9 `8 |8 Q: U9 Y7 R+ oNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3: `! T) N( s) |/ h0 k& G
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem( k# b8 B8 l$ K
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
. Z9 [4 s! R! N' }                                     = K^3 + 3K^2 + 2K# y0 s' s: X# r( `1 q
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)  ?! O. m9 V, w% b
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)* T9 Y- P3 @5 U0 L
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
1 d" N4 u* j, _$ j* e4 V) SSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)4 m' q2 @$ R3 \. I5 I
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
. j) c+ G2 B% l  A+ ]3 d9 A                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
; O) ~: M3 g% o$ |2 ?# O9 i* F/ Y& n) Y- ^
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.; H* w% d& ]* \( Y% F  o) @

1 f1 ~. M. z% W$ N& K, f& J. D[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
. y6 J# t+ u3 u8 P  n# l1 q
% ]. m5 z! s. t4 X: ~第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
! P7 F. D# L9 a3 l. {Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

0 w5 m+ O# K1 F7 f* i& ^9 Y; @/ ^
% ]0 P. [8 M2 ]SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

联系我们|小黑屋|手机版|Archiver|埃德蒙顿中文网

GMT-7, 2026-1-11 18:47 , Processed in 0.131800 second(s), 18 queries , Gzip On, APC On.

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2021, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表