出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
+ f9 r3 t: _1 a0 ?2 [' ?$ u$ r
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
  M8 X# H: Z  k' m* ^. X. J! C9 P
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
8 ~  @6 b& J3 |4 \3 d% A
  p2 P5 [, t9 C. {9 Q. a: h+ }, ^4 ?a(a-b)=(a+b)(a-b)
* Q6 A5 H* S  W2 S" G$ Ca=a+b
6 u' B  `6 z# H# T7 k7 ca=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
" j1 e& ^. {3 b! }5 W; g
1）不能。比如1
* [' }8 C' Y# b& n! h/ X" \0 R2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% _, }7 {! |5 v" Y6 n' S, g* F

+ P" f( G) ?( Z为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
/ [  B1 D% l2 M& }
Proof:
Let n >1 be an integer
; r* }# u; i) qBasis:   (n=2)
* N0 m+ D2 h8 h( V: D) _- g         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
+ D5 f" _2 ~2 c0 z                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
( r4 H) i2 v$ i6 ~/ Dsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
% e) w; y" U. D4 I/ ^( T- p                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
5 y) \: e* g7 f6 `% s; S% uby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 G3 w6 d+ O, W; N                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
6 Q- K5 I- N7 `4 V' G5 ^8 C" \                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

% w4 k1 Q; k1 G+ [9 y/ V# t* n6 ~Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
0 Y2 f. ?. D% ]# A. |
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

+ V0 }; X- Z# B; c% P4 |第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
# E/ H% o$ j. O- o% ~( RShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

" @( q+ f* R7 T& |8 p. [& JSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.