出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
% |: A9 o0 B+ F2 V5 N8 I% b5 `
2。下边证明有没有毛病？
7 @! r0 R% x* f  @3 j) [
! c" u# P0 g% ?+ W3 v/ ^* h设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
! Y9 w$ R9 L7 }- H! ^a=2a
6 u! c5 Q" o$ d: B1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
9 W$ ~, l; A  u; ]: i3 w. W9 Z# T1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

# x  w  w$ D% n/ `. `0 a, ^看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; s7 l& g" {1 [# ?6 V+ ~' \  A# h

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

) _* x% E/ F/ z, R# B! aProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
' C0 R+ r3 C9 K1 L1 ^6 S
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
& m) S7 T7 q# F% ]8 y& r' f4 }                                     K^3 – K can by divided by 3.
4 a0 e6 H( t6 ?( H' c
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
; r0 ?4 G9 q/ b! ^: \Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
/ R, r" [9 j- _6 M$ e" @% n; C$ `                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
* j3 c$ |( H! A8 d* n                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ T. c9 O6 g' a& V3 d1 wby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
! R: s3 [! }) G9 n; w, f) H# J                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
! {2 L/ Z  v1 O                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
- X: f" R) G) W1 E% M2 t3 V
+ b9 U. l9 v- K6 g5 i$ b! h, X[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
9 r8 }5 B& `: I5 W) k
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

) t$ |% A) A3 g( {" `6 ASORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.