出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

; d" C0 i; q3 F" L8 A设  a=b

7 \5 B6 M# N. }; h6 R则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
' ^# o' v4 B' h$ }) [
$ u1 P; W- f7 Ua(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
4 u$ D, h: B% K* W5 \1 }a=2a
4 O1 }" e' i- D+ v- u! x/ W9 c1=2
$ K+ T: m; f: p6 }8 ^3 [; h
1 M5 A; J9 _- [, C) N4 h2 i) t! m证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
& g6 U% s+ u( U( F9 A6 k4 }2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

7 O7 q6 Y; O! E看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
! _/ w7 k# D; W3 k1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 |- O& l2 v! A! x

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
/ v2 G5 H# {4 \/ S
9 `; N/ Z8 P, o$ a2 L- bProof:
1 _0 d7 i- O5 WLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

) y" n+ l" D8 e& c( P- hInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
* D: G2 ?2 ?) C5 _5 E
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
" {% D# \! G& I4 C, o; \$ W" Bsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
( N% E' @- P$ Zby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
( ?  R/ |3 U2 g; W# q. SSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' |. F& m, A4 v3 J+ d2 b1 p& ~7 ?                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
4 \2 t) H& H0 w9 i0 ?4 T
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

% P% x& z' E" f. I7 y第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

' C* X& N" [+ {+ C4 g8 @SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.