出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
3 ~* Q  h6 v! B7 ^+ h! n- v  |" i
, S1 r3 r, ^4 `, ^2 M; _设  a=b
' Q; O' M  ~! g; z! `( J
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
! S! H% u$ B% q6 r4 ]
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
; L3 ~9 s8 R, D6 z1 t& O1=2

$ a2 _! K# s% U- D5 w6 W5 ~证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
/ e: G% A4 _" w2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
( s" @0 J+ K: H) ?. ?' o1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
) }) m) H( t; O. t% D1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

; P3 S  U2 c; C# z为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
0 c( B0 O6 ]: \2 ]' U4 B* [" J         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

, R  P; L  W- ]Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
5 t: o) a1 A9 J+ t% xThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
. e9 O  l$ |# y$ N                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
. M! `" u/ @+ Z                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 S# _0 x! n# U' G( s$ Mby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
) w' Y0 N* v! i* FSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: I6 R- a3 C4 l1 a$ a+ c/ D; \                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
) ^6 Q3 \( p; B                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

. T& Z5 b$ g' v- iConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
8 ^/ S4 a" f  N1 U, l& c
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
) L. J# \1 G7 v' I) h8 x" M$ {! t
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
1 W. V: T" [$ MShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

2 l' V% W0 x2 k& b
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.