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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
# H$ G% M( m4 W% D
) v! I# \$ l; r+ J2。下边证明有没有毛病?8 k& W5 m$ f8 U7 Q: M  t1 S' l" j9 s
( j$ a/ x" p( k/ b+ C
设  a=b
7 L& v: v. h; B' q6 Y- l. R7 q% w- X$ S
则有: a*a-a*b=a*a-b*b7 ~2 a3 C* x* d5 i4 R: u, `/ N
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):, |9 @) ?" @0 R2 f& G

/ k# X+ F, g0 w# K- ^: X: sa(a-b)=(a+b)(a-b)
6 C1 {; m' U& [3 Z( X1 B, I7 Ba=a+b4 {# y& y/ b' [4 I# p$ Y2 s
a=2a) V& c$ b# Z  d/ F( C
1=2) ^4 Q, H  L# [+ C3 z! c
, t; a( ^- j8 P9 S* p$ e
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试3 |( v6 `: ^; _) e" V* C( {$ l- H
+ C2 o5 W+ [+ Q' }4 z7 S
1)不能。比如1  z; c/ l2 z8 Z& B7 R2 b
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。0 i: R2 N: p: u' O: j6 F
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
; A7 J" g7 I9 q) w, O1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
# e$ J2 S6 o( p5 v( D0 q" p2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
9 s7 r0 x7 s* m0 o: G+ N" U9 W
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:9 R  j5 `+ q7 f! }9 Q9 E2 q. ^
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。# I3 j, w- y4 [5 k

+ V9 t' L8 |5 {+ R& r为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
理袁律师事务所
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
1 v9 {; d1 `: K$ G; R# `
8 y, y8 e/ `4 g4 a7 {# W9 bProof: ! {5 ?6 ]1 t5 L6 U9 [. ?6 `
Let n >1 be an integer
. y" r( F3 F+ h6 f' t! Q$ w$ _2 MBasis:   (n=2)
: j; M& M; W# K         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
! P5 n- T! e4 q
: s/ S2 o: ^! g/ t* K3 uInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that* n& U  T2 X9 n, o! m
                                     K^3 – K can by divided by 3.3 q) _: k, T; }( g  q
! U. d4 o% r9 ^: V. X) ^
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
* ]# J# }& D. ]since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
* b% d  Y. t$ e* ZThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1): a5 H& l6 Q" |* v7 @
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K7 T+ G4 Q8 S$ }5 Z( q8 V- J
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
6 U- G, t5 O7 ^7 P1 l. c+ A3 P                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)4 K) C9 I& j0 I9 i+ l" z- c- Q4 c
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
# M! a8 q% r% o0 T/ jSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
* g4 C, W- \: o! G9 M7 c0 k                                = 3X + 3 ( K^2 + K): _4 N$ e1 e: `7 g5 t) i# S
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3* s0 z& v1 g: s# V' M
; n9 U6 K; @" p/ p3 ~9 r
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.& m  A7 a) \, ~

0 T: r4 {2 L' t[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
' n. d8 h. _1 u9 |+ E. |
5 u) }, U  `8 _  S- t& S4 l- X, O第二题应该很简单
大型搬家
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:; i4 U: f7 S5 Q  ^) J6 B
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
3 }) v1 `3 t0 _: C) Z9 W* a
4 |7 o/ t' b& t) f8 `) M* L( A: n
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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