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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?2 f/ I5 [7 i$ w" t  m3 M
5 P0 o2 K2 S6 j" Y/ r( o3 P  x. A8 a
2。下边证明有没有毛病?
* R$ h7 W+ j, n5 f) [" o+ I
- u4 Z1 C) C8 r设  a=b+ D" R+ V: \" w6 |6 x; `9 L9 s
$ R; S. b! W3 Y
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
4 j: g  w$ R; h1 f& b: F" k: w6 g两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
1 e, C" E2 x- J( t/ _4 ]  {4 h2 ^3 C# K! F1 u/ G4 O
a(a-b)=(a+b)(a-b)3 G+ L, V; Y3 |: {4 R5 z5 v
a=a+b- O, n, g; l( ^# U2 m* g
a=2a7 H% _! d" |  c; n
1=2
1 [0 I2 ?3 k2 U3 N; N- l: d* A; h' S9 Q7 w% H# Z4 a
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
6 [: }( t1 G& j3 u$ C
2 b7 t3 _9 r5 K, j9 f& E1)不能。比如1, H' |: u# \: k9 o2 L8 k5 }
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。+ w- L4 b  d0 P) b$ ^8 c' U
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, f7 Y/ x# z$ _: d1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
* @2 ?, _, R) g! Q! V( c+ G0 N2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
) m7 \1 M9 l. X& Q5 T4 J
看!有高中毕业的!
理袁律师事务所
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
( Q$ t, b: k5 o) h9 t4 U+ o1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
; v! N5 a6 c8 B  j* s2 E% `7 \- Y
+ L( `$ t, s" n! _
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
- m& h" @. l5 Y- E% D% m0 V- Y+ g( i% M. H6 ~. e
Proof:
- P" ~% Q# E, c! {( eLet n >1 be an integer & T+ q% T" d# W! ~6 n1 v( t
Basis:   (n=2)
+ ^* j, t3 P' g. L' ]* x9 D         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3' c5 O+ y- e9 y6 V
; T6 z6 k! Q$ K# y+ d1 [- s( }
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that/ e; h' Q3 x- a7 Y3 Q- N2 V
                                     K^3 – K can by divided by 3.
' j! h4 K9 `4 F
: e4 V( I% F  ^Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3& }( _/ V. U1 c6 x. N* b- x
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
& ~' k; e) a- J1 f0 K8 IThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)0 i# P9 {) ~# \& k; }4 J
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K( T* w9 b5 |) [" {& {0 \
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)8 @9 z+ t" O0 J1 R8 Y
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: d3 s& |4 J, K$ y5 Bby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0' g: a: Z7 Q8 @
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 E5 ?5 \% `5 @8 j1 [0 c                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
& o, R4 Z9 z( m8 E- \: |                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
4 O$ q3 g& T  ~+ |; I1 ]
1 _+ h3 D  C: X" w$ S* yConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
6 k0 W7 u0 s! k' Y* ^, W- E* s9 m5 a* f8 h3 ]. ^
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
/ H  f, M' K: }( ^3 b0 x4 P. V7 n& ~
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:; C! ?: X9 f+ k2 X
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
' O: {; T3 f" B+ m5 Z& _( X- G

9 z& w4 f/ i. k% E; oSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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