出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

1 F) e8 c7 d# F, ]a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
2 a" {% K' H5 `0 I5 T3 Da=2a
1=2

( B" L2 S2 @. a; D+ j5 s证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
( b7 ^3 ^+ C' Q) `4 ?4 B0 N* \
, S6 U5 ]% m& I9 x) t' f3 L1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
2 G! ^& d0 E5 Q$ j: v1 F0 h: k1 a1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

  q7 j7 V6 h$ O' O为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
8 d& p7 `( U( o/ U0 S  S         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
8 t( R- G1 u9 C! S4 ?
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
. v9 [* x' N0 @9 z* Q% p1 o* A/ Y                                     K^3 – K can by divided by 3.

" t, A- ?- M0 Y* X+ W  hNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
% g8 t% T; U4 r2 Y1 }5 N. }Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
# N  P5 e! l' h2 U+ Q                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 L# t+ f5 g+ z9 W- n! W/ n( Q                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
* F) ?( u9 j6 B5 H# g; H, _
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
8 w9 W  r3 P5 E5 H" I  JShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

$ V$ l: _4 c# J9 i7 S, l
2 m  l! p% }' K6 b! `SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.