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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
3 M1 `$ J( C$ u4 ~
+ T  S# [4 q: r( h- t8 w2。下边证明有没有毛病?& S  u- A9 r0 |* ^9 r: w
. }3 ]( v, l/ x$ M2 e" u
设  a=b
: [7 A9 B5 N/ x, V
3 d) F( c) ~2 ^4 [- B则有: a*a-a*b=a*a-b*b4 o2 C) ^0 [2 h
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):# J2 G- ]; i, R$ }, T, @2 V" t, w
8 \; Q- `* k( a# ~1 q- m% F4 V
a(a-b)=(a+b)(a-b)
  t% |1 Q2 r6 }7 N% t- I$ |' ^. j$ la=a+b
$ ], s+ K- B' D2 n" M! c" Ka=2a
, m4 c5 l; a: I  }8 j1=2: H* ~1 l- q6 ]- B8 m2 I! Q
" C2 i2 s2 a7 V' @9 r; y- F
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试/ X  P1 Y8 |( X
) U9 y" h" U7 Y2 V- U  G2 s
1)不能。比如1
! K9 ]6 z+ F& ~) Q2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。. x$ r$ |% ^0 `1 J
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
理袁律师事务所
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* j" t  S+ }9 X: @) ?/ {1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。  J2 s% j$ O6 V1 f  G& T) S5 W  L
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
' {. @- q. T5 K7 l! f' F: J, q
看!有高中毕业的!
理袁律师事务所
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
: `; B& U% I- u3 i1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
3 t  ]; I& _/ u3 H7 \
" n! }# X6 p' m% Y
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)2 Q" ~! b! @5 P

- H4 X$ J6 s, o% xProof:
9 W9 ?0 O% J( f! a- PLet n >1 be an integer
7 R3 c9 C7 K. T0 ^3 z* sBasis:   (n=2)
7 G0 j0 d; {) i* Q+ p6 [         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 30 W8 ?4 ~: I. r; u5 O( r3 X7 t
6 J* {; q5 r  E2 M5 ^# ^
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
3 o1 y9 G. w7 Q7 t/ @9 q5 q# j' C                                     K^3 – K can by divided by 3.' d' }  y6 ^( ~8 i4 z* `

$ |- D$ M$ E* g* [: DNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3  P0 r* h3 I- L# d
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
5 g% g. ^: A" b, g0 Q! J; q  KThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
: \  W! _) J8 d# ?! H3 S                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
6 y0 p& z0 X% _7 |, O& R3 M: r                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
: z9 x- @. R3 D9 c8 V0 r                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
5 N& E9 b4 \$ f) l% X% cby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
4 U  w4 U7 n; d. m' @So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
- j7 w! `/ ]# X                                = 3X + 3 ( K^2 + K)! q$ I9 |- s) S
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 39 b) ^* G! E# N( }  F$ D$ M

- G4 U* A8 K6 }0 ^! q' fConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.3 F- s; F0 w( ^7 H
( F0 L: D% u; ^% u+ O0 Z
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。: l% g/ f; }0 ?1 i! }8 X3 n

0 u5 r6 _9 b, u$ _( `7 R第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:- g/ p! P# _0 N2 y; Z8 B, ^, ?
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
1 r) P! D, B% d

: d* `3 m9 u7 L% MSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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