出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
# U% `: k( G) K/ r/ Q' L
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
3 r; R' z4 g$ c1 y8 _; |
, w& L" t+ M% s" c2 P/ _- t则有： a*a-a*b=a*a-b*b
1 {- ?8 j4 A" Z, t7 t% M两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
& Z* u% m+ M7 j6 ?a=2a
6 o6 d7 B6 l# b# J. @1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

$ L. z: q/ p7 F6 H# Q7 N1）不能。比如1
  E9 Y) c  h" F9 a2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
/ {  B) q$ ]& D( O; ?& T9 B# Z' E9 V2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; K# v& k! R9 a7 B' Y7 `6 J2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

$ u9 A, e2 s1 _3 t  X  o看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 |1 [/ p# I. \1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# f: s2 F3 V1 N9 D4 k$ W

3 ~) L' _2 F7 _% L; w; F) ?% b7 Q为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
; B5 ~# S9 R9 n! m
Proof:
& Q3 `' V2 P/ a  o- G7 y; [" h2 Z: oLet n >1 be an integer
7 |1 e: f  R5 \* ^! `. O/ |Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

1 [8 ^: P% b# {1 x% `Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
/ l. _5 q1 e5 W4 X: `8 _                                     K^3 – K can by divided by 3.
  _+ B' d6 r" \; t0 u, t
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
" v# F8 R: i$ {# i7 H; _since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
$ J1 ~8 \' z, L  w9 _" }7 e: ^Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
2 P1 j4 e; {/ S6 s                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
0 X6 S% z. Y# U5 m
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

% a0 w7 Y# S8 u[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
7 f& t5 }+ }2 C* p7 F; N: e# `
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.