出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

& K. ]" ?0 x& p* B; C* l2。下边证明有没有毛病？
2 N- d- D' K+ q; l) B; y  ^
设  a=b
4 f% \0 T2 _0 P' [: l: |0 d% }
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

  G8 V. X" [% u; \: i7 O0 _/ [a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
( r. U4 k3 I- \0 z; Q$ O* \5 J3 u1=2
- w$ L6 F4 T+ ?/ u% ]: R. l
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
3 k( P2 o! o8 W3 J2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) w( ^  B, K, `' |! W2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

3 n5 ^& O0 e! P8 |* p4 j看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

3 x+ `8 T% j& j4 F; ]9 wProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
3 \. z- R3 }. o: ?9 `$ p         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
' f; N* z  }) c3 U' t+ m- }
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
* s$ V# q; x- g, W  H                                     K^3 – K can by divided by 3.
0 D; ^# n0 o. E$ X7 F% n6 S
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
, N+ M& t4 A0 q2 T# F7 D# E9 O: }6 VThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
( q( [0 U2 q! \+ u1 V9 b                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
, f3 l) h  R/ n                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
4 ^0 Q. z  O% H5 q0 `by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
- D" t( p' s9 V! N( X7 Y  ]
) S( K, y) }, |: ~1 J[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
, `: k. J! ^; A& E( h" w8 @
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

- j# F  [2 n5 a: X7 ?" C+ C
9 o$ r/ n. E# u8 rSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.