出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
" y7 @& d4 N7 Q- Z( @
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

* b( T- f4 U0 g- a* s2 l则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
: p8 }) t* V+ d5 p; w( M1 `# F
( X, E5 a% d9 S" f) Ya(a-b)=(a+b)(a-b)
  a1 b# X9 a* R: c- F9 R0 Ka=a+b
4 s, g0 K2 b6 S- L% Da=2a
1=2
# {9 w4 z/ T6 w* D& B$ M* [! o$ I
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
1 ~6 ]# z' W* [8 @2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
5 B& Z$ t' w/ q1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 j( k* H+ ~- b! x4 i! M7 s2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

# L. u1 ?0 Y0 c% M; r0 E看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
2 {" d% B: D) r/ i; l1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, x# d; Q' S* v

0 L, A# ?9 |4 v9 g0 I. ^# Y0 D: y为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
4 Z8 q; r" o3 Y6 j+ HBasis:   (n=2)
! D! ?4 h0 A$ g6 h         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
! \/ X* Y( U, n9 D1 I9 g+ l" w
; A! X. z+ f$ HInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
, X: ~- F. e* k7 e7 A                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
& z7 a5 O1 @* hsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
$ M" I& p7 ^" R3 BThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
. j0 m" w) B+ k7 S                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
. ?1 T& B4 E# U6 e5 y                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
# J5 Y% _' ~5 e, V. M/ x# G                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
- d( Y# a- c- Q# w1 ^( N0 [4 X5 uSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
1 x  u* I! {3 c2 ]% d
* ?# T7 ~# y; Z; d. N; w% j' C6 SConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

  B+ u' _( ^7 }+ Y# v4 l[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

4 z9 k# r5 N; l7 l4 F# d$ t第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.