出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

) v. a* S$ i5 D$ m7 s2。下边证明有没有毛病？
" L% i; r' k' `/ U( e3 `2 h
设  a=b
6 m" L* |+ Y; i2 C8 Y+ x6 p, q
5 w: g  A; L. }: z+ l2 H1 |, |5 e则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

5 r+ ?6 }- a. La(a-b)=(a+b)(a-b)
# t! M7 k- M9 R2 I% Y$ `3 F6 Ua=a+b
a=2a
8 E) M4 y& ]1 E! {6 _" g$ o' n1=2
* h* x$ l0 }. D5 @2 K* k
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

: p  {9 ]$ @- X1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  X) k! G! A/ k) _2 V2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
3 F, _+ U* Q  q0 S1 }1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- M3 G) E6 _' ]6 u* r% r

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
& [4 q) U) u+ e! A( k' RBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
$ Y5 E5 L0 q5 V0 B' _) a: t* Q                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
7 Z6 }  V* j& Y4 e. ^2 hsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
- L! G$ Z) V& r/ c* AThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
" m  K6 W9 a5 ?. N( N8 k9 ]                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
5 ]% Z: w; H, x- t/ h+ Z! o& G' h- O- J                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
0 Z9 I& V; M4 Z& x6 ~' k' HSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
5 {! `' e( |8 J9 |8 ?                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
" \  R4 p' v6 n% o9 V: }6 z) ^
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

% c! F* a, m  o3 p( t[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
+ j4 C9 _2 {- }6 l
. o* b% h) S9 T7 L% x: D4 w第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
( j+ d6 q2 V7 LShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

. C0 k2 N9 V. b9 |( |
0 R1 X( C4 E, n8 F- E1 y: D3 d# [SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.