出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
- g7 V4 k3 Z" P0 k. G3 U
2。下边证明有没有毛病？
" i' U, B, g" Y: u  l; x7 C  R
设  a=b

) v7 P4 A% w/ _) h8 ^/ g0 C0 z则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
$ Z  h6 ]1 A+ H: D) A) L
7 g9 }' Y+ p9 c3 ~, p+ z* _a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
" q. ]2 s+ D- f7 Y/ u) p- e1=2
0 J: c6 w5 `3 l
# @- d5 R' h7 L. _" Z* m0 x9 ?" ]& T证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
6 }2 G: w( S- H1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

* z) O  @" d% x5 J6 P  W; a7 c$ T看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 y/ _4 A+ p+ s; ^

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

# s# ^# w% J, H! {5 ZProof:
4 J1 f# ^/ Z" w9 F1 C5 V. |Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
2 p" w8 w& f6 ~$ H         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
5 E; t/ E( i) e; F9 [9 ?Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
. |( D+ E9 C) q! @/ i" ^2 Y                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
: i2 x1 K$ C7 L+ I! a                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
& ^6 n" _1 y9 d# I8 Y4 ?* d) x                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

1 S; i5 k9 R  z+ [! vConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
( r- t* T) j0 n0 p
) v* Q  k! Y( ^; D. H[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

; U5 s) X/ O6 ?第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
  m3 d- }# ?! Z) v9 f, S! lShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

, {6 `3 v2 X8 Y( {) ZSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.