出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

1 p2 a; N  t2 _' j2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
) y3 u% D9 {! `. u
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
& R0 N" \8 C/ X! Y# q两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
1 u$ s: Z" |9 P& M+ q( Q8 n
. S! }% A0 ^7 N, H" C- Oa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
0 k" R" V- E9 g, H& c" }
: j8 A% P3 h# r) e" b证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
( r2 r) S1 s+ a: S
1）不能。比如1
$ B6 G# b3 y2 r$ i# v* z8 ?+ r) ~2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
/ a) {4 h' p+ W4 I1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 c! q. T3 o8 U2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

, n/ Y2 r6 t! Q: u2 z看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
' ?. [3 M  z0 F) Z2 m+ M

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
6 C2 r/ T% _( A/ Y2 D( zLet n >1 be an integer
$ z# A: d# U  Z% H/ a9 c1 Q9 D! U0 {Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
- `, W# e& i1 T+ C3 z                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
0 S, H( }1 g( DThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
. _  `0 p' d* o  U                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
3 Q% x4 X% h8 R0 ]; s0 K9 O                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
! p3 J. Z, m! a2 RSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
! U* e6 P* w& l" m, G
8 X6 @% T( M9 @/ Z6 L[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
/ S9 o- h$ F) o$ v
8 `/ y$ k9 X1 M- N/ j( b4 E, |" ?第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.