出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
% H$ u, H- H# H5 T
$ k% c$ F  x: X5 F. c设  a=b

) x0 R& s! k5 _) }则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
; x( R$ e; H4 Z  N4 A) w+ Q) E
& Y+ n! L/ T  {5 _3 E% ca(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

7 P+ @7 A; b2 z/ ]证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
/ a4 R8 U6 R/ T+ k5 D
1）不能。比如1
- E6 ?& m& A" F/ i) R' C  ~2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( }$ ~% ^/ |" e* f' r2 u2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
$ r$ f) s* l+ {1 K: f1 ^2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
$ y5 k! X0 p3 k# X; u+ q1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

) `1 W0 e/ P, q) W3 R为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
3 }* N, \( J" M' \
! e# {$ }% C1 oProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
% u: P( y* d! t$ E* o
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
/ D, y  \; e# i
( `: T" I% j  n/ XNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
7 [& O& c- U! o4 b, p9 |4 n# usince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
/ K$ s: [, w8 t! p, g0 w                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
0 V, v* I: T8 Y0 Y" R& O                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
8 N( g, x: Y  V% x: dby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
( `" w1 p9 p) o2 T. }2 A
! O& C; R8 n- f! i[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
0 K- }3 {4 g7 r# {) @9 l; q
5 y* t+ d& U! E% t* F4 {0 M第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
( C* s; s! C' Z# n) d! aShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

- i" r% s9 M# K- O4 u' {# RSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.