出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
. W# [" J+ m( j5 P
2。下边证明有没有毛病？
% [& I1 i) ?* l6 ~8 k. c
设  a=b
* _; G/ M6 G' n! b4 G
( j' R( b- l$ K则有： a*a-a*b=a*a-b*b
# y: e' r  ]& t+ r) p) o两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
5 o* L. ^1 C" e! j# y5 s
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
, K6 p0 H; V! n: D/ K
( Q7 O& ~+ ~' H# r" e证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

( \, q; R; Q: ^! i0 q! l0 J1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" h( ]5 s0 _6 B- x0 u' t2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' U* n) W  U; h5 @1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, l  j2 L; B- h+ P$ ]/ c9 F, s: b

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
/ p: t4 c8 D+ _, c  f" S5 V) m2 b2 n
Proof:
Let n >1 be an integer
) \& T% r& ~: [" GBasis:   (n=2)
2 `  h8 f( U: z8 v' a; [2 M4 V" _         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
0 b. V3 z: F) a7 o
9 f7 Y; x. O7 k  TInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

2 y. i! k3 ~# S9 dNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
4 O5 G4 z. j" Y  ]) h) j2 msince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
9 \+ ~; u1 Q* \, g" w7 X9 gThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
9 Q) a7 x' W) Z                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
9 C) D5 D1 m% u6 r6 T: j  ~- j9 M  [8 Y                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
, L! |. @4 `: B- E+ K0 N                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
9 V$ Q' p, P+ MSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

6 l/ ]. m4 K# ?+ l+ H第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
# D' C0 A) O: V' U4 h, AShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.