出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
/ D+ e# r- S/ G! Y" P" d
2。下边证明有没有毛病？

3 V. w; i* h) H" `设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
! n2 o$ K: A) [3 V* U1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
* o3 S: x8 g' j+ w' j1 U
. F1 Q/ j) y7 L/ k1）不能。比如1
9 k/ E% K+ e, [' {2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 S  V" k* V7 ^3 t1 E5 Y4 c2 X$ {2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
0 h( l! G' P7 f% |! Z! X6 O1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

: N# ^* [, a' f/ a2 B看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
: \. r4 v7 H# d5 u3 E. B; Z- |
Proof:
3 r5 v' P7 f  Z. [# [# RLet n >1 be an integer
  M6 Q  Q/ `& f. d; ~% o: c' o! NBasis:   (n=2)
7 g5 R, m  ~* T1 t         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
: }; B6 g8 G/ P  d9 S1 p; k
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
8 R: h( U& S: F) B                                     K^3 – K can by divided by 3.

- x: Z% e* h& _7 SNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
  H# e- Z, W! B# y0 e, A: ~, isince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
( M$ f2 ]* t+ n4 UThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
1 ^6 B/ U0 ~, ~* ?& K3 {                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
$ k, f- Z- d! ~8 T  Jby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
% }6 C0 I* R6 j  G/ Y$ J- N                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
  P3 t2 n- u+ T8 U5 G" X3 n8 W
9 X7 N: Z3 Z! F) J4 E' e# }0 \1 k[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

. P" w% p% y* \: Y4 P6 [8 h第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

. \( K! a; X3 G; A4 q4 s
1 `' V" k6 T. U$ u: YSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.