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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
7 q: f3 H7 d* d! g. p/ [  d7 _: G& K5 |2 j3 k0 c& s
2。下边证明有没有毛病?7 e7 E( _% R2 B  T
% w/ `) }9 `& K5 s
设  a=b
: c% A) ~; S3 ?6 t3 {. J. L1 l2 p8 m) K. h; t  B$ A! _
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
# \! f: }4 @3 s$ Y( ~9 z两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
7 ^8 C5 C6 ^5 F  X1 B( }6 g; g; g6 f. U3 Y$ q5 t
a(a-b)=(a+b)(a-b)8 c: I: U/ d3 u) m% k7 y
a=a+b; |' k/ e  Q) Y5 B6 Y: z
a=2a& M. E1 D% ]% \; H  |7 r" {; ]1 A
1=2
2 Q+ q- `+ P8 U$ K% N- A$ a1 S7 A: U( F1 T
证毕 ,结论,1=2
理袁律师事务所
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
$ A  t$ P: s8 H! E/ e) F, e2 T5 P* D( a9 d$ |- A7 T2 M
1)不能。比如1( O2 a# \. h# k! t& h2 U+ N# V
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。3 t1 f, I. `2 r4 M
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:* F5 Y  }. E! C
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
9 |! g/ C6 }. t6 l. A6 T) u/ ~2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
0 p( _4 V* A; e) p' y- D1 ]" g
看!有高中毕业的!
大型搬家
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:2 [0 U  X+ t1 b0 G" I, m2 D1 {2 J
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。3 ~: o( v+ u" o  ]5 Z
, i2 q+ G8 w( u* P
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
% Z% f" R5 Y5 c& F: S9 W: @2 u* H0 e: `
Proof: * I2 S! U: ]/ N1 l5 L5 w1 D1 e
Let n >1 be an integer - p# H: {5 m# [8 [" {# r' o$ X
Basis:   (n=2)
/ f6 x: S7 u' S( x* t         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
3 o( _$ g& f8 I, ~) f# T/ n+ o* E' d8 p  h
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that$ I( @* I* i( G6 i# O! r0 m
                                     K^3 – K can by divided by 3.
* A' K& E0 w- A6 T( b
, F7 Y6 Y. z( M, _( I# iNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
- d9 M  k& p1 V2 e9 F9 \5 usince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem  S& m5 p/ o2 E3 e$ Y
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)6 L2 J* V8 B" Z
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K' ~2 D8 p$ T+ ^4 O, q! P
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
) K) I$ w1 r: x0 V6 t                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: ~- a! R5 e$ A9 eby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0. H. ~0 M: ^( ^, k
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)5 C* H4 i3 _/ O# R, I! b- ^
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)5 H  Y4 A0 f9 j% q  m0 E
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3* P/ z3 ^) m  G2 L# B

1 J3 z  s1 P! L/ `. DConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
* g7 @  u; |9 w4 m9 \
. {  U( U& ^  z! e. l[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
2 Q9 \2 J6 Y3 F3 @
; J, o% w( q) L" y' R第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:6 T3 e; ^, g; N& R  j  @' k3 X# u) z
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

% a) Z5 T+ ~" q3 n- R; y6 W
, {+ E9 ~7 k. u# S% M" wSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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