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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?; ^- H2 [/ \9 j8 L( _& F& u( C+ }4 k

: b4 K% e% ]# X2。下边证明有没有毛病?
  ^! `3 Q( u6 E+ ^6 W4 A
0 X" J, G, @* q8 B设  a=b) g9 }0 d, O1 N1 H
8 B  r4 Z' y7 T$ w0 |
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
- o& ?0 h7 X, c# W* R$ s# y; b两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
1 c+ p0 M4 Y% e+ K9 K  h0 {/ |: B6 ^' q/ }
a(a-b)=(a+b)(a-b)
) k9 I( P% e2 U5 l% f2 la=a+b& k  K2 j% u# C9 D
a=2a3 G' t* y+ T3 P% O4 @
1=2
4 [) \0 \, e8 f: _# m  B" l3 x" t& c; i3 \: h1 H/ L) s' c9 S7 ^6 z
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
# F6 b. i3 W9 A
" \4 P! N, x( g; D2 p1)不能。比如1
/ r$ I% g9 J5 q; D  o2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
0 g) M1 I# |* y/ V: k( E3 N/ I; E6 l2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
; z' [( Z* W) p6 S# P1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。$ h1 N$ i1 ^( w: K# ?' I
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
" c6 M4 Y- X  a# }( S8 i
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
- X% H/ [2 w7 s* y1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。* B5 p6 @- C; r& P+ h

" s! X: g, s0 O为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
大型搬家
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
* L; M4 ?! O7 n! O" b+ [! Q% r% m7 T5 M# g6 ~& h, y
Proof:
0 y1 {% N4 M2 u5 U: ILet n >1 be an integer
# n) y; {2 Z2 iBasis:   (n=2)8 v2 B; x. S3 C9 J
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3/ X" `/ X0 {, A6 _& t; M  m

9 A& K7 }9 m6 q  I1 \( K: ZInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that/ s  @0 [- b0 A9 t
                                     K^3 – K can by divided by 3.
* z: y: x- H3 }1 d* R7 i
# ]3 M/ |' j. A8 W# PNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3: G2 q$ a$ H' d  y% m  q  J: u4 h
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
! l; q" V4 V9 X; n- CThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)9 N- t1 }: w9 a5 T' Z% Z& {. [0 |
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
* ]5 R& y2 ?; C7 \" {) c                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
; W( `( Y: U: V4 W                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
% z4 e" Y/ }( h8 rby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
! Y- i) U# c1 M7 GSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)1 I% g8 y: V3 C, S, Q/ h
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
* d: s3 s$ w4 q. }                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 30 {. l% r# c9 _6 r, J4 R8 f# [0 n
6 i# Y9 N8 P4 q( x2 W0 K
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.1 q" ]- q% F' \8 g# j
6 ~6 D, d2 H6 x2 o0 k
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
! v$ c7 C7 [# w* c3 e9 R1 n) N" b% `/ Y# g9 W3 B
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:' u- _) T2 _# o6 {; `+ w
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

% }' I+ `8 w* N+ ?* {/ P$ f# X6 k) m0 i( K$ @$ W  e0 B
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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