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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?2 w/ I- N' i2 ~9 h* [) |8 M' s# Y

  n9 J( P& C; x: z. E* U2。下边证明有没有毛病?2 s! M! d2 I- O
8 e& j4 J0 f% t
设  a=b% z8 Z! c0 C: @& P: |
( c3 S! J" O3 u( O
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
! {0 Q5 V8 p' Z7 ]两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):- i# V9 ]  _/ _0 }
2 b" V' C9 g1 O+ b& ^; Z; S# n
a(a-b)=(a+b)(a-b)
& L4 H! E7 _7 Y) ja=a+b
+ L  Q( n* T8 v! n! I3 pa=2a
& s/ j, j+ h! _: p4 B( A" A+ r1=2
0 g9 F3 o7 F% e2 C9 B5 ^' {5 K+ B+ F
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
; f6 K3 P/ `. `7 W$ [! ~% P- c/ Q. A- L$ g  T$ \
1)不能。比如1" ]$ C/ I- g5 f
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
! ?* B, I* q! \2 m7 _6 z: S& b' o2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:, q0 g+ X+ t/ P) u8 k! R; [! _6 _
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
9 U, c9 P3 U! [. J( b2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

7 E  I9 T8 C8 s4 ?- ^看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" P# A2 S- C6 ~0 x1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
7 [9 `! n3 B* m( S  @
8 i& J7 D# Y/ I
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n): l! Q& W5 G6 N7 @3 D2 T7 b2 e2 ^

! E; g6 T' g8 L8 c! hProof: % e( W" Y; |& [* w9 g! f6 U
Let n >1 be an integer , O; B% o/ |# L7 u! d4 r
Basis:   (n=2)
. S" I6 Q- b- X2 S         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 37 q4 I; l( w; x# m
* B" ?! @# g' W: z6 H3 I0 ~
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
" R0 i" o+ @. A+ R                                     K^3 – K can by divided by 3.
5 d1 j# b% j% Y% h; f/ i8 y& W3 k+ j& q& z& `4 I
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3+ u1 u2 W. X! l. S
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
1 C4 G" s2 s7 o. \! K0 M! dThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)1 f/ N# i( S# V" q+ _/ w, M
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
  ~1 i$ S4 M( z9 Z. `" [                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K); z1 j6 d" @9 d3 c1 O! @
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 ~6 ]2 p7 d# C- H! J  y  G4 p3 {by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
) \9 E- P, q; v) e" r3 {So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)6 A( D  y6 D2 O& F, U/ u! @0 K; U9 t: k
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)+ U. o) ?# ]6 x* e( C
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3, E( Z: P9 r( G" S! m

! Y5 c* w# R0 F+ Z7 H7 yConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
' G: w% X4 h! a/ W8 d( p% h: d2 L* q- C7 I
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。  }# Q1 T! y0 S4 l* D

. S" P% C5 V9 J% C0 I第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
大型搬家
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
8 T9 f/ g- Y* J) }( [4 f$ m1 YShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
* N4 s9 K( H7 ?
% M- ]4 w' t( R2 y$ }6 \, \
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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