出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
3 j) x  i& n% q9 ~
+ g$ P. P8 l3 G$ h4 R则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

- Q  l0 }: n4 [0 @7 b4 La(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
/ b$ l& u# ~2 p8 a) y- a
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
& \# S) }( V9 j/ R7 U7 L2 f9 K. J
3 _+ Q! O* D0 ^; k$ x$ y1）不能。比如1
9 _/ w; _" X% O" n2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
9 @- ]2 b$ T9 ~) E1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 v0 m( b( v) m2 y

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
1 {3 ?9 {/ E0 S" U5 z
, N& v" _1 {0 x, [6 ?Proof:
0 ~# H  E+ U  {Let n >1 be an integer
" o; c2 P4 S$ h- v  G6 F: w; w7 KBasis:   (n=2)
; {# ^# ?% v* J& N# J+ d         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
; Q: C: J; u$ \: {" E
2 w' q- D" W* @* F: K" F  b" kNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
% @  g- p* D/ Z# X9 f# A5 W- J0 vsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
$ n& h+ z* A3 B( Y$ u  g8 q                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
5 E. f) ?% O  i2 ^; L                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ c2 N" z6 s! R                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
$ v/ V0 Q1 @  o3 {
+ i" K  w0 Y# E9 G' N) n! OConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
* P; \: s) C+ h5 e9 s9 j7 M  k
3 u  E3 ?2 Z3 m& N  \9 K, y第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

5 R! ?: o! |, {4 v
2 T: o' I, R( T  k, F8 }! dSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.