出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
" ?2 `0 P4 x" n9 z* R
2。下边证明有没有毛病？

, X& p  m) d7 P/ {0 J& Y4 o! k设  a=b

: |. Q4 X1 Z& M) |; c则有： a*a-a*b=a*a-b*b
, B* P) E) @: p1 N3 T( I; Z8 T% o两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
2 X4 P. `  L; w7 D
a(a-b)=(a+b)(a-b)
/ q, L* \+ q) x6 Ga=a+b
a=2a
& E- w9 {" _# h4 S6 j$ t1=2

; C( ?+ Z5 i) x  g证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
- Z; g- D4 T9 W
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 D+ {* Y/ f$ S& Z2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
9 S8 R5 L# ^7 Y  g# A3 y1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 [7 m: C% m6 ^8 Z' w

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
) {3 u* U" A1 Z8 T$ C. BBasis:   (n=2)
, ]) M. z1 r- H% G3 W         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

8 Q/ L2 V' z. l$ u: b2 zInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
( o& |% r! S1 ]8 R                                     K^3 – K can by divided by 3.
% x4 w% s: C7 R! Y
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
, w) a2 E* I5 ?# L$ R6 r4 Ssince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
; g& D* x3 a$ p" `+ J$ h# E& e* pThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
) y+ H, V, g9 k, |                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
6 `& @' {% P6 p# Y- X1 y                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, K1 j  T& U3 ~, E                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
  \. L$ _& f" ?; @" `
$ H8 l4 ~+ n8 P& ?[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
" ~$ G  m1 z( i* _
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

' x, A$ _# Z4 f2 v% _) U2 A4 OSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.