出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

7 `2 f6 c5 b9 d3 @$ H2。下边证明有没有毛病？
. E1 a  a8 s% y6 B3 M
设  a=b

/ o- C3 J6 V- y+ B则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
3 W9 i6 U4 O" _
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
" N* \8 W8 K8 f$ L, N# s, Y6 Z! Fa=2a
  v0 R  W: X$ c2 U& L; ^$ J. D1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

; j5 h- Y' ^8 L4 m. [1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 ]* t  F1 G- x$ U! N: Q  b1 D/ C" Q2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
# H: @; B4 I5 \. j1 B6 H1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
/ W. r- A+ T0 Q, }2 A2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
! T9 z5 q' f2 |( O8 g. ]: ^

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
+ p, j5 ]/ @  ^- S$ ?& KBasis:   (n=2)
7 B; a  Y9 t' `) W( W         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
0 D5 k; Z$ Y2 @/ ^* W
9 L) H7 H% T2 e7 M/ QInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
) Y6 Z7 g. O2 S3 Z$ P
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
/ i8 f3 o; J) G) k& f( g4 t7 Q                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
' ~* }/ P( D7 h# BSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# q. [- w0 s# B' b                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
; M' d+ e6 v5 N$ {* @
7 U( o+ G' s, B. i+ xConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
/ v% [  n2 W7 M3 E- l% h$ N
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

5 T( T3 _$ a- I7 P( p0 b7 B第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
2 @1 l! T! j, M/ h! q4 MShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.