出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

) M- s; L. L/ n设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
+ O- R: N7 V, C- g& A, b3 ^两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
. B+ s0 z' x: i0 _a=2a
9 Y% Z3 A5 W6 B: Q% ]. Y. n7 \6 D* g1 `1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

" K) ~% S) a. A/ a! I5 v6 i1）不能。比如1
. K# J* I0 s" o$ Y& S2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

9 t! F# p, {6 X  q- y  g看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
6 {7 y  \3 A" \3 V9 t$ g- S1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 S1 L7 h8 |( ?6 ^: v

$ E$ w% r, _$ X为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
- Y* H* Q  U6 {; V
& w* z2 v: [6 AProof:
- g) N/ V, j+ |% k. q2 Q; oLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
4 z% T- w& N5 r* J3 F7 W         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

" _) K% W3 c! f$ w1 W8 q$ @- RNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
, n4 u0 W% {) z  r8 Rsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
# J0 ^1 |, Z' _$ }Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
# Z% t6 P8 _5 i# l. c0 C- E$ i                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
! _$ J" S% |- o7 f+ ~" y* U6 n& V                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
7 z1 v- A) e) K. c* zby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
3 Y9 w$ B9 d& T" x7 X7 K; v                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
+ G; ]5 {6 Q! y$ K* J; F4 S
3 j7 X" d7 ?$ h5 ?4 [+ ]Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
1 }8 @6 A( p2 b5 }# a
* M) J: }. K( w: R# N[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

* X7 l( Z, U: |: s% v1 Q第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

( s: n; _$ ^% q5 |: v
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.