出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
/ h2 H5 B- x; X& G
- u# a) A, g% C6 M! F0 o( F$ n& s2。下边证明有没有毛病？

9 S  M! p( g7 b- N' _' Q设  a=b
  D" D1 u6 ~; X: _6 L
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
- t( S* N* X- ?两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
+ m7 e& _. O% x  F
2 |+ ]3 b  C+ L+ \) I+ Na(a-b)=(a+b)(a-b)
, }9 V0 z7 V; J3 |a=a+b
1 W, u! Y  |8 L: b7 ^5 ja=2a
% f: }- |( Q; m; _8 V9 h# ~/ A1=2

. l& Y0 D/ i- e证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
) O1 n, L( k7 b9 B5 j, H- t
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' }: G( x/ a7 `: C* f! f% P  q; z1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 b- h! |4 w6 [' K  H  T

8 B! z7 @0 n. h! `4 ?为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
  A# w$ J* F& {3 H
+ A! b6 F9 F0 n  e$ X& nInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
& P6 ?0 A, e) p+ Q& Z. y                                     K^3 – K can by divided by 3.
4 h3 `  @8 Q& [
' y/ g% V" B0 T7 ^- eNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
* |$ x, h! @$ i& Y1 y( N: l                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
6 B5 G4 H( s/ p6 c' r; \- c                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
7 i9 a$ H6 C1 aby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
4 D3 m" X4 E# `# GSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
# o$ r. z% \2 G0 o
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
$ p, X' k2 C. w: v$ r
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

+ |# W% p( A) Q( o
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.