出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

$ k" H, G4 ~" T2 Z2。下边证明有没有毛病？
: P$ z- @, S- a: S2 k4 T2 x
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
+ |) C2 l5 P6 f5 W  m+ P两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

/ X, m3 O* M" z. Xa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
4 _3 \2 n$ u9 T2 Z9 O/ [1=2

+ f& t& \& y- k& x证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
' i( F& f: K2 K2 ]; m& z) ]
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
. M! L7 B# F/ J2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
2 l6 t$ o- j, l1 b8 G+ ?& }% z1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
5 B% b) D( o1 [' _' w# A& _1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  y! a7 U: A4 ]$ {

3 ^2 |" G9 u" z" r# y& e为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

$ n/ ]' ?: O* C; o' M! w1 ?$ CProof:
8 A* f5 }5 q$ A. F" M+ `! h; V- ]Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

+ @2 m* o7 L! r0 ?" ^- iInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
7 m5 ?) f& u, E. d6 e1 b
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
1 I, U3 z' N; d) Xsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
  w" t6 i' ~$ ~) C9 i% l                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
( H5 `- H, W9 }                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

, F% m- K4 Y. Q8 DConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

) n+ s& \: C7 q7 ]
3 r' K0 [! z5 T! m0 h# S# h5 O( dSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.