出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

5 w" b" |! U# Z. m. d设  a=b
* d8 E: \# H; v6 ]# n# C
+ G$ g1 v( ]. T& L+ P1 x则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
! D' [8 d* g8 o& h2 n' ra=a+b
- O# l4 S8 K3 L& C3 m$ ^+ ka=2a
; Q; P& v* S3 p$ @! t( x8 r1=2
6 }4 Q8 d4 q$ o; X1 k/ ^
9 [6 r2 o- Z( G! z6 N( r5 @  v2 ~/ Q证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
+ G1 K3 M5 `- k0 @! Z# c; f
1）不能。比如1
) ?: w& Y* `4 J4 w8 Y8 x2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 f- B* D# Q' B0 W9 J9 I2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 T* b) j; ?4 R9 n' g. Z- c

2 W" e' R- I, B7 {3 m! R' |为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
1 N% I/ d, Q9 ~: P  Q' Y" t9 y
6 q5 Q5 M: l: [7 `9 a- Q/ DProof:
+ A4 n4 V% `! Q" j; KLet n >1 be an integer
1 o, |5 h# I, p) }2 ?Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
: e8 e( D) o2 W
# P' W4 ^. Y: @Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
5 Q4 Z# \% h* |4 ?1 b# \* S5 k# y                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
& R3 l2 K' c1 K* g2 Z+ A                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
6 x1 N( v2 U& m8 u. i+ oSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ F7 }1 v! _& i1 g' W                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
- i) K  v8 q% E                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

' e+ ]* H; {& [- h9 K[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

  h  X8 w% j7 u/ l/ M$ ~  ySORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.