出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

( V2 C( k9 ^9 b* S: n设  a=b
3 q7 U7 Q) d, n& ]$ {" I' B/ P
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
% e% j7 p; U/ v: _% Z- m两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
1 k5 b$ j! D% Z# p) l# `4 L
2 }" E- B1 n' @+ X& I$ Z( Q5 M% }2 da(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
+ h! A2 v) `$ y  @  Q9 _3 u; Y
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
, @- {  k# k8 Q9 u" H3 V& d. I: ~
8 {0 R5 K- i# a) e, T6 n; |9 z$ M1）不能。比如1
3 e/ {% b/ f9 J' _2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( ?) {, g% ^5 r5 C8 z0 q" j7 i1 f  o2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
- n8 }( B' `3 G- |! \8 B) G1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 T- H  q) g, m. e! u5 d8 D2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
2 R$ S4 l: m; `( t1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% O2 ~: e) |0 L7 o2 P7 z9 B( l) X

' E$ X: U. b) I- }# C/ I为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
; d& H2 X( a4 N. i5 V2 r
1 A' x" P: M9 k, |$ KProof:
# L2 {. {6 |! TLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
3 z3 b( C. F! y1 V% Z" Y6 D6 n& N. o                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
0 ~- D0 c) M* S# T2 L2 U' B# J3 ^since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ x7 o! q  {1 {" R6 R& s& g3 p$ iby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
; k" E+ V+ L8 y( A6 k                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
& t! _1 N0 D' ~" w+ n% X0 \. B
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
& d$ i; O; v" C% m2 b1 K
/ }- N7 q. J2 e% R[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
$ ?! C. {% B9 \" e% S! tShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

9 D5 K$ X3 s. f. `: Z8 J
6 g; {* O( u5 PSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.