出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

. |0 @) G* S0 [, y" H: y2。下边证明有没有毛病？
# Z) V, R: p3 q  J
) ?$ N( ?! Q7 D+ Q设  a=b

. j: H( @0 \, g6 v! b2 e- k则有： a*a-a*b=a*a-b*b
. f; J2 U+ ~" \- V两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
9 r& y3 L7 U( O" ?9 p6 _5 e
1 o! i5 {) `; p: W, j; e/ @a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
  w( U' a1 e. `7 I$ d' A
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

% O2 [+ _2 J0 G% C* Y1）不能。比如1
1 |6 W7 q. _( M% n2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 {3 h9 a4 n6 C# K* r7 m$ S1 h, F6 L2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
% j) W  R& F8 j- h' Q# R1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
# S0 {" H" w, [& X, K5 p: w6 o, _, s
3 s& y4 ]3 Z7 g) @1 RProof:
, g" H8 |# P: k- Q% c: w9 h" KLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
& f% Q" E* N6 D3 D! q% P  C
3 T5 ^. v+ F/ t3 v7 VInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

; `  x9 u# z' j, [: @; \1 h; }Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
3 s7 [5 t, k% _& wsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
( g$ _' M, h$ Y( fThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
) O' `- I$ U* T0 {! j% D                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 O4 j, w# z0 @! m0 Qby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
" h5 y8 s7 E! g* m' `So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
9 \3 K8 ]% x% m/ ~                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
$ {4 I" V3 ]8 S; ~4 ^9 U3 y9 w' e
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

4 ^+ d- a$ r8 l. S) p% E[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
5 y9 E% H+ ~. p5 [! `
# N$ Z0 V5 R; C5 h第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

6 _1 t5 `! v- D. h% A! h: R3 fSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.