出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

& S# `! J! k! I0 d2。下边证明有没有毛病？
8 M" a0 k8 M4 s! q) e0 j
设  a=b

7 a" V# s  g. n7 c0 h$ Z: y: S则有： a*a-a*b=a*a-b*b
/ q& t3 y& N4 `两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
2 I0 c- \" z6 F& T2 G3 e( [a=a+b
% _9 {+ u; w0 i3 w/ J, m$ ka=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- ~; t3 P4 }& ?, `! V( D; p2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
0 A) A0 V- O: ~+ _6 m1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, Z9 U4 Z  H* ]: ?  F

6 }9 F/ M( x8 h' U! h: J9 \为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
6 s# n9 Y# U4 v
0 l8 J! c! @  \Proof:
Let n >1 be an integer
" L  D+ a5 h+ D5 {8 iBasis:   (n=2)
& E  D. W: m% D' H! U         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
+ l* g; o5 P! B3 ^1 e- PThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
+ i/ i9 y  {( Z                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
6 W  \7 \+ ]7 v  U) x, w' R$ I. F                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
+ M0 d, u5 T  z) u8 ^So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 B8 L+ O* \! e4 W! A+ G' a                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
3 k6 S+ m2 _* O) h" @% _8 B& @1 q& |                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
" n5 C5 t1 O9 C+ M
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

* y3 A5 q2 Q" Q- V: _4 F. y- l第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.