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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?* H2 L1 o  i+ n0 `3 G
9 N, S' l5 e6 C% w, |7 J5 Z; J' [
2。下边证明有没有毛病?
& d& u4 \6 a2 j$ j6 y9 N9 @! ^
" ^8 P5 R, K3 |; H! A设  a=b3 q3 e/ X( H" X7 V9 b0 w+ B

! F1 f& y9 _6 p6 @1 c则有: a*a-a*b=a*a-b*b
0 Y+ L( u' \4 R0 z* V两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):; `0 M/ P! t5 E/ ~" b6 F6 ?/ G; X3 M" i

7 D' f: u9 ]# y% j" d6 @a(a-b)=(a+b)(a-b)4 ]! D4 X8 W, q
a=a+b
" Y" V5 f4 |) y% w& b, v8 e$ Ka=2a
  H8 B5 H: t3 Y2 B1=2; T5 \/ i( G! K1 k, V( g$ a6 _
0 f* U/ m$ i  m+ {! J
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试1 U8 e1 O) ^5 I

5 K9 o' F6 X9 P+ L+ X- E1)不能。比如14 _: L2 ?+ {- ]- J+ z6 c
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
  K  h' j8 |7 h2 \- c2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:& L% H! l4 Y! ]) u2 Y5 x
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
( r+ b' S. `+ F8 s/ `2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
: m- x$ n: X, B" @7 Y8 `
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
3 }( H- H1 Z! K; |% V" e* \1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。6 v$ E  C2 {4 A/ f# w( b/ \- y' w

8 y) [; A' \& ^, R. N6 i为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
/ X" m8 v" M% h7 g2 m* G# D% U5 S' |- n- ~- g" T/ r# [
Proof: " ?) }4 ^2 i; @- q8 c6 j. x3 q
Let n >1 be an integer
. |, d' P. i  g9 W( ]; n( E# w( kBasis:   (n=2)
" }7 C* F5 ?/ y" E8 a         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
8 |7 V7 V2 e: w
( d5 G: i5 ^) TInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that/ x) Y( i5 g  T
                                     K^3 – K can by divided by 3.% r! b& H2 w5 f! r

! |# l5 c" m1 e4 E/ YNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
2 {+ V8 N$ ^. o! C7 d# u) W7 bsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem9 F' R( J" Y# G" ~  h6 Q: W
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)" [$ L) x( E+ \' Q+ A. x
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K5 l& a) ~0 G6 ]- @( n9 `3 y0 [
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
1 s5 D  b3 n' l; T3 Y* t- t                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)4 ?- y/ j  ^: O$ T  ]$ X; R
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
& s; _% R7 `; J+ G# M; V* j5 P6 ~So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: O! |& d9 J5 p: A                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
! M. ?* c7 c: j" B8 o                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
3 ~7 x0 c# @8 c0 ~: X/ c/ ~$ m2 U' D1 ]# v) }2 }: _
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.: E' a/ j1 B: P: z1 ?: n2 A" h6 u
2 _7 c" q5 |: `* U: m
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。3 v& P5 u8 h% I. g2 }. U: ^

4 E5 w' X8 N4 n8 R9 E0 p4 T7 y" p第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:! C6 `6 x% H' j1 D( v
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
$ J1 S" ~3 I; E: v' j
' @; B3 g7 l( h: @2 V# o
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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