出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
; i) j) t* o1 e3 E. g
% ~" u+ T$ |1 @& X- r: i' z2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
7 Y: F' T4 R- C" D) N
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
4 S: x/ Y' ~. t; H; w. ]$ w7 \/ ~两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

4 O) E4 \3 Y7 t! t$ N2 b* ?a(a-b)=(a+b)(a-b)
" K+ \# g' s7 n$ ya=a+b
a=2a
# p+ S" r# F, P/ S) s: y. r1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
- h$ _! i  z, g! j2 b( c  M
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 c$ o$ z4 }6 g, j2 M2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
6 n' g; t. B( z* [6 U/ L: X

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
6 }6 B& |9 g2 d& y! a
8 k) S* @; x8 f# DProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
2 s# ?6 V% |6 _8 t8 z
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
* S3 p" j: s1 e6 Q/ j6 ]since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
& L& |* }4 G8 g1 v4 U                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
5 ?$ z2 i* R# y& I) yby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
; ?0 `2 ~* H2 T4 U: m                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
( _( Q$ m  a1 _# N& ]                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
; W" T( m/ \+ }1 I8 f/ C
9 X: G* _* l5 Q3 {& N% {- u- }Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
& J: j) \' R& n* t" e
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
5 m& \4 A3 @- y% g# CShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

$ U, t  l" j1 C+ X, M  K. ]
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.