出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
/ u. C" a, U  L' i" ]2 V
0 h9 ]7 b5 {8 \) y) t8 W. W设  a=b
  N; N' B# ^2 @( h
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

4 }; Q  S8 A$ I8 \3 h) S% Ga(a-b)=(a+b)(a-b)
3 ^, a0 o: I. O- X0 ]. @8 ua=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
5 f. c: `2 t" z% U# l3 z  b+ N
1）不能。比如1
; H. }9 z5 o7 W: l: H: p2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
6 Z$ s7 s* Z& d2 F% b, p. o1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

) U- K% p  B7 x* U1 o/ C看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

& }; ~( W  K$ |; `  c3 |为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
( V" s/ L6 ?1 A& k% a
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
5 j, V) @: @7 F& L         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
: `8 }1 G  h2 f1 Z. {( w" V9 O
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
8 y+ D/ [1 H8 e3 w& ^0 c                                     K^3 – K can by divided by 3.

8 J) `2 X2 P" ~: e: {Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
! c/ y! L( f. U! [5 K4 Wsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
, e, s1 o+ A$ ^1 ]3 F" ?( mThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
* s% O& \" V2 S( R                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
6 U' L# N: H) \. M, Z, jSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

. Q0 x8 |6 }( S4 T0 G- NConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

" G1 ]4 k7 W% s6 C3 D+ @  p第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
4 \' F0 Y; l9 u( w0 hShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

3 C: R' S  C" O! W
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.