出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

, ~. m4 ~4 s4 H2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
7 c0 I. ~0 N7 B4 b
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
$ r7 L3 V# \) Y; m3 x- f- V
. {, c* z1 K4 j' _- P; \( v4 Ha(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
* |" h( b2 m& a
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
0 i( o. O/ Z/ E3 ]1 Z- y0 b
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
5 n( C' ~5 @* x! U6 E0 O  Q9 H2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

, `& W0 V9 {  e* }7 u# h. g看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
$ i9 h, d5 x! d1 d! ?0 z

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

  e) \1 y! X6 R; zProof:
# b) g4 o; t- p- [4 `Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
4 W7 ^6 F7 e" O# Y* j0 _         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

9 v; h& H7 U' q8 v4 ^" _/ W' }Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
# k- B& ^( l( Y0 R! p7 j8 y' @
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
; a+ `% M# J1 j% |' ~, z; n2 g                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ c, ]9 x  K  p( d4 e2 Wby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
% ^) X8 S4 @6 ~( e2 B/ N2 U( \1 h, S  u                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
% H' m2 J3 k5 \% p' g# u                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
4 }7 w8 X) m" |7 ^5 c: I/ V) T( d0 @" R9 y
) o+ i2 t. p: n; }% aConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
9 q) Y5 ^, h" m! L% z
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
) _- y1 U( |) a( E, o" ^6 }  `
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

' Q9 K7 P! b5 c! o- m/ _5 M
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.