出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
0 ^3 O, g( t5 Z  d$ }
$ }5 _% W  p. g; \2。下边证明有没有毛病？
1 t( h! P7 ?" M. D* e+ @0 F
3 d1 L2 `/ V# _2 L# h! m4 x' t设  a=b

$ J. g; H& m, a, m8 j则有： a*a-a*b=a*a-b*b
  |! D  Q- T& {( E- e6 W两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

3 `" e( u3 T) U+ M4 z5 _7 X8 [  k. ]a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
7 j& |$ O: |" A1 ca=2a
6 H# N; r' c% ~$ J1=2
* h9 H5 x+ }: e, U8 f8 O' u0 Y/ R
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

2 K: ?8 K! }! g; t1）不能。比如1
/ K/ e. m/ l; `. H2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* |: ?) V: X+ n4 u8 R" {8 T1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

9 P! `( j# _5 u- OProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
, h* D: p1 H! T( i* O# F         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

7 W: u2 L4 b) u0 A/ n4 @Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
$ N! t' S1 A4 e; isince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
  D8 u9 E+ |! [  p1 d9 ~Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
+ q$ d3 ~7 g0 m+ W                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
" o& g  b: ~- w( t" g  X                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' @; W% I$ F3 U; `+ gby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
) ?1 z6 i8 O: e5 J  F% WSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) [7 Y& F) D! f& u- m                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
% w" a2 D+ F: `3 u3 \
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

' }% D9 R+ C2 s
7 h) t( F0 z( A! [SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.