出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
/ ^0 @* Y0 H% g* c! f7 t% i
5 e" [0 l  P/ |# v0 P2 M2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
& F) K% |% F8 I( C
5 q4 g1 @0 y( `0 ~则有： a*a-a*b=a*a-b*b
+ b; Q. D: S- r& ~两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

; a' v$ ~2 f$ i9 x, ra(a-b)=(a+b)(a-b)
" Q, b/ S! U+ g6 xa=a+b
) J9 ?  P; K7 ~& @3 x, [" Aa=2a
8 H6 b8 E+ F+ B1=2
! v6 {: i8 {/ D( C/ C$ _
( u9 v0 \3 k4 D0 k证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
: H7 x+ U6 q0 Q9 p. Z
7 `1 p8 B. |. X6 k7 \1）不能。比如1
1 B& N# q% l% U/ ~+ _0 [4 Q2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% Z! s9 c; p, v5 _2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 I" |# W  A, U2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

& a' ]- n( O, R. k& y6 k看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
) T+ N' |) t* S1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

3 W6 `0 u2 S5 e3 ]/ G为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
9 K" Y& T2 J9 C+ h! O7 l  l9 ]Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
) C; A5 s+ f) Z3 l0 R# d: l0 U         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
7 Z+ j* w! N: k
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
& l5 U& ?# |+ l# \6 p8 W6 U; n3 c" I                                     K^3 – K can by divided by 3.
( Y- a$ ~  `8 \) u% X8 u: f3 |
0 r& ?4 s2 G  x8 Y  V" K( _Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
3 J+ Y! p/ w. M1 S) K( L; N                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
, l- E3 c, A. n8 B                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
$ A& p  s* x9 z# p9 ~4 Uby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
" m, @, f* s3 K0 b( }7 ?                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
7 G- J) ?  \( B$ `! W) m
% c7 \4 w! M( _' Q5 D# P, R, [Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
/ {$ |+ a( Q( c4 T$ W0 N  n4 O  f
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
1 w" u7 c6 C: L( d
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
$ D* }& C6 I* I0 ]# B; vShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.