出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
  H- r: x* A. i# R: F: n8 ^8 k
( o. W- r) e7 B( t( t) ^- @4 a2。下边证明有没有毛病？
! D. G9 _4 o+ w3 ^& m( [: T
* {/ O7 [3 K) n! u) j2 G$ g% F设  a=b
& |' W* O1 {( U  E! S& |+ x
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
6 l4 F, D1 o5 o6 I4 q  @+ A) ?
, F2 u' Y: y. t1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
* i4 D) E, l- Y, q- n$ ^

% K/ b' d) U$ D: n# u. ]+ L6 s为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
, A) f. b7 {9 C+ ^
Proof:
5 l  x- W% x8 L8 O# vLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

  k: f) a9 V4 ]4 AInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
' \+ Y$ d" R+ ~, @6 b  w
: ?& p5 u  c! D. r9 uNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
& v: ^' N: v4 g. L  A4 HThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
- ?8 u" s/ h1 o1 i: s                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
9 l3 `) u7 F  W/ e4 G                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

9 w7 u( {  q0 ]: c- {. kConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

2 z; E8 l- }5 p3 Y[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
/ E) x' i0 W2 J4 A
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.