出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

/ t1 J# k1 S5 F; s1 g* w* U2。下边证明有没有毛病？
& o8 f- I1 |" Q" B5 b2 q- S2 l% E6 p: c
0 B( ^% n0 k1 Y6 w& B设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
  [( {" m, }9 G% ?' _5 i+ \
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
3 A) K" S; H/ u6 B$ D; ia=2a
9 U  `1 x  T$ L7 |1 C1=2
2 {& D. k5 |- p
8 y1 D1 [! T9 I; H: z0 t证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
5 q" C2 V+ ~0 {; {, Q' {1 a) {8 l4 v
& m. ?: Z8 U% ]; d, ]1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) v: N. f) Y/ d0 z2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
9 G: b, \* q  R# H  c0 D2 J' A. ^1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

8 N! V- U. C. B- G# ?为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
9 u. g; d& u% w2 ~& |& o: Z
$ I2 B& M- k$ ?" j0 ~: UProof:
# z4 S2 P" i5 t/ cLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
8 R2 b2 f8 K# H, U         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
/ |+ {) t* G8 [
2 N3 W8 v. F  I% w2 eInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
' m. H$ q( h$ n  C9 P8 S                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
5 ]$ \. I7 z5 {: L+ |0 L% N3 Zsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
8 W# ]7 H9 y0 ]  d5 E& X. vThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
$ ~" t' c8 x) ?3 b9 v7 W                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
- `+ ]* g- R5 ~. a$ r+ |& I9 f# Mby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ f) X2 {6 s! Q8 x7 m- i                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
8 E8 @/ O2 Z. c- B& w) X
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
* }; f/ Z5 {& n/ ~* \+ Q& @) w4 L$ y
0 ~+ T! |# q, z% T3 M% w4 N! o[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
6 U! R: l' C* q1 @- @; W
# D5 f8 F  {9 {! ]* I! i第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

$ D% K9 z/ q! \* x9 m
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.