出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

; p$ p8 w, o1 X% J% x' l' z则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
- S2 Q+ @% [# k2 y3 ]
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
5 G$ a4 Y; M) m  s4 ya=2a
) U% w6 s0 U1 s! O  A. t1=2
9 @! h3 }- ]9 H8 v3 F5 q
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

/ t3 x) R$ g( H1 Y. x4 U1）不能。比如1
3 a4 N* D' d# K5 V- O& J. Y2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
$ O8 _+ D: w% Q) x( e" f. E2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
% `5 J; y8 x9 p* c. i1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% Q2 t& m8 W% t) O. f

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
+ b3 g4 w  d$ L& W1 m/ Q
3 Q7 P7 t5 _" z$ w0 RProof:
Let n >1 be an integer
" q* \. m1 i( |5 c& h' eBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
% q2 U& z# U% u
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
; |# w5 D* G% a+ \" k( ^' |
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
# w' |6 V+ F8 u9 \2 [; s+ n" @                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
% M! j% f; v) Q1 rby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
% x& _5 J( N6 j& U$ A- r2 ^So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

3 t% _! M( G" ]# l, L% x9 V: WConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
6 K1 s+ h7 |( L7 P: n4 T
8 A% m2 Y6 S+ B1 X2 W1 x$ ?[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
1 `) d7 j4 E" Z" T8 v
+ ]! v" G" s& r7 F+ n! `: I. z/ h第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
. i4 B6 B- E& N4 q3 ^+ lShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

6 }2 O8 J5 r) F! M( }! ?
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.