出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

- s! [0 G' }$ f$ v2。下边证明有没有毛病？
+ d' p" K7 @1 c" t, w% L- `
设  a=b
" l( p/ `1 t& _
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
& q, L  ]  y% ]
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
5 G5 E+ O8 ^$ C2 m9 k1=2

+ A! P6 x: c. f证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: s. _; h- {$ z/ c" c2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  s$ H: b" I+ G9 ^! |6 x+ z2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

, ?+ o8 L* K8 H9 o看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 H! T; F8 G1 B1 ^1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 j6 E$ P7 C1 @3 V" o* F3 Z+ `" X, w

9 w  c. v6 x$ |$ V为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
* K" _& X# f# H1 b
Proof:
Let n >1 be an integer
# E1 F; ^; y6 b9 d) u! F1 jBasis:   (n=2)
/ |" P0 m3 |" A* g) o8 q         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
6 F% z, p9 S5 ^! Z6 {( }2 A
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
- Q& n0 _! A# ?4 T                                     K^3 – K can by divided by 3.
/ ^- J  O0 L2 c3 E; V
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
, Z0 F7 @( h( A: ?Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
7 e- v* D1 g, A# ?                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
% S: n% ?& a' `8 h1 `# ]  i                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) m4 Z0 x. ?% ^( I; }; C# t! b                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
% k* {, p5 C) ]4 ~& \
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
/ @0 p6 ]4 p' I$ c* N* J1 I
& W3 C. U4 p; o5 `; K8 d8 [[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
% m2 J- T/ B) \8 u' E3 H7 v
4 ^! h$ S6 l# J( W# J第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
1 y) O  W% b3 ~5 }Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

) M7 [" E  p" @7 o  x* K
2 D7 p, y% L8 p5 Q- D  M. u" sSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.