出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
  Y, f0 x0 `. G" Z3 k
/ ~# z7 `! [! q2。下边证明有没有毛病？
+ C4 ^: c8 _  ?5 }' f5 P
) ]6 ^. @7 J& Q! f7 B设  a=b
1 ]" G+ Q6 f$ n" r! p
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
) M4 Y. d+ Y7 |  \
a(a-b)=(a+b)(a-b)
2 Q7 x! Y) z+ P* N' S7 Qa=a+b
  I. X, ~% X# I* l- J% ^a=2a
: A1 n' z, P/ y0 Y- O1=2
+ i. C+ x! |$ W$ I) u
  i/ K; i4 q  H$ ]: E: e% g证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
) l' c- g: J: q. g2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, @1 j: l1 l+ A' _. _1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
$ q! i6 m% \, I+ u6 E  q2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

1 n* F' m4 z& J4 z5 V看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
7 p! g( v" t- ]6 W1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
* g9 ?6 D; D, S1 M- C
- w* E" u- a) H- [! C1 d9 gProof:
- ]; z0 g: q9 Q( g/ z! ~& v* e& g% iLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

! D% W0 }# v- @Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
& _, ~1 O8 E6 \' X                                     K^3 – K can by divided by 3.
  j7 ~' a2 ?9 Z8 k7 J8 M
" U$ Q0 J$ H7 ]( }: f& |; HNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
' H8 O! B* ?; O5 }since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
# r0 @- T# A- i+ f# v3 Q                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
% l1 S6 n: K& |) h) |% v+ d! }by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) I  L3 v8 k% ?. v                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
2 W! f6 s1 w0 T, h                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

% W8 S3 o: P3 b* W! ?Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
' v. T  N1 _5 {7 \, _8 U+ c* a/ [
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
: g3 p. S( \8 O4 c* Y0 P
$ K# N# X$ o  [9 ?  z+ ^第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
, E) t1 }7 x* z, e4 EShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

& ~& l4 ~# V+ z7 U2 A3 N9 F0 t9 Q
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.