出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
) _% W( f( w3 @5 ?
$ {& W4 m% e9 h5 l1 v3 Q- ?2。下边证明有没有毛病？
4 U4 G; G) _8 a" b- G  L2 A; ~
设  a=b
* M. I/ Q' D7 ^& a# Z
+ i+ ~' b. ]7 w5 }& Z+ S则有： a*a-a*b=a*a-b*b
* S- t2 B# Q/ L* z两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

3 Y( \  Y; X1 v* {; q! Ta(a-b)=(a+b)(a-b)
- M8 B3 Y/ _% |$ t. a: aa=a+b
a=2a
1=2
& G4 o8 j1 ]- l0 y2 X; _5 c
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
2 F& o8 W1 C6 |
) Q6 o4 S# I+ ^: ~' _( n3 X1）不能。比如1
% W/ Z7 |) n4 N  c. L5 U8 e2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
9 j; d$ d# \+ n" f2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

& K; A1 ~) R* X# O. c3 l看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ H) R! J# a7 M7 [+ [# z! x7 `1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
3 m" ?; }3 u: j6 K" M$ w
  ^  o; h! P: M# CProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
6 k; D! n% X# |) J" E9 P         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
) S- n+ |. i- U# {9 r6 ?
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
# e0 U0 w* z9 O% |. w8 Jsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
* k+ i9 j1 R/ k: l. [+ _' S5 [6 u: gThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
9 s4 a; ^2 e1 V1 K                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
5 R0 ^4 G  a2 f4 Z" v4 A
* G5 l4 m8 g* c) P5 SConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
8 r3 {; [  m* i) M  p' a
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
" F* E! J2 D+ C0 V' mShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

3 Z3 S: @, X# [! Q8 N3 VSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.