出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

( |! F! k9 O9 a9 B4 C  {# K2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
2 B. A$ ?5 W: ~8 z9 ja=2a
. p0 M4 v1 K" }/ \; \( m( d: W9 s1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( J3 K6 F& \2 m) M2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
  a6 g, I& }/ u1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

" H2 e+ L1 @& ]: w9 i看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
! N0 \* k/ L6 t: A9 V5 W/ H

3 A2 `& X+ ]" M% `) S为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
7 @2 C0 J& K# ?! eBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
& l" v3 O/ w1 R# K0 r& E  F) Q
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
8 V6 o! m, a3 G7 h5 R                                     K^3 – K can by divided by 3.
# I& [8 M: o& [. d
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
) @8 {+ s; y) Q# a( Dsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
$ X# Z2 b+ V: ?1 M+ IThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
! C) S( U7 B" s                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
# U3 a+ L4 V! s4 T; {  s& J7 E  vSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 c. u6 U3 \3 ~9 b) l  ?                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
, y/ _2 ]( O. J8 e! s7 @
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

& Z! v( [  f. t# N9 ?1 k/ j) M[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
3 r" O1 A; P9 k: Z/ H. fShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

5 l3 v: {, I8 USORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.