出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
0 p, K) L9 B$ s3 g2 o$ c
; M% |2 p) j1 H. o- a0 \2。下边证明有没有毛病？
0 Q/ e) j( ^# y, x* G
4 l$ t: O3 ]# S& w* A设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
0 r% v: E+ f5 f% Z' A两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
" m6 h  H& G* L/ H# C% f
" b, [  c3 v) a* i" |3 ya(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
! U( {* V# ]4 l- b
8 l* z, u* l. D1）不能。比如1
) B& B1 c4 [) p, |2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; P& Z! ?! [8 Y; _2 Q, h, S( U4 Q5 ]2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- Y( f) h( ^$ V. m0 z% M2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

0 i  k) x/ [$ O) Y8 y看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* h9 @0 U) ~9 i& g1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  F; f# ?4 q; X, h! h! n

2 W* j& A. I/ J0 _3 [6 K- g' V' r2 x为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

* c; x9 }- k& xProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
5 f6 l* R+ e$ N5 W& b6 m         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

# l5 ^; N$ h. R8 L, p9 WInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
+ `3 u: r+ R6 Q+ V5 P( y                                     K^3 – K can by divided by 3.

6 J/ q% }4 b- f' z( F, i4 z# B! GNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
- }# h2 G) z* ~; Esince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
1 p: n$ u& }  A) ^Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
( }- Q# P& I+ {& `! I( n                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
8 p4 \* B% |) y' w6 K1 A  a4 q                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
4 ?0 P' k- m( I- F                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
2 n8 ^8 P, F2 S                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

' r7 Z4 z8 ^- q1 D" ~9 FConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

$ a& e/ N- \% U! |4 ?: r* P[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

1 E0 X; K; M$ g3 I$ z第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.