出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

4 Y+ p' @8 W; I2 h: V6 z2。下边证明有没有毛病？

6 o5 }' ?1 K5 M设  a=b
5 Z& M/ _6 ~7 R: _0 w
1 ^. c4 R4 K6 `/ t/ c2 [% p4 ]则有： a*a-a*b=a*a-b*b
: I2 a! k5 m, O% M两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

/ R  j4 ?7 h6 Q3 |% za(a-b)=(a+b)(a-b)
$ q6 _9 y0 `, x+ t& \7 Q( ~a=a+b
& P# h4 R  C; h% Q" _a=2a
1=2

6 Z5 X. Z% F% C3 J# {证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

, G+ A: F) X2 K0 P* s6 g/ N! j1）不能。比如1
% K- O' D; o) o1 u0 M4 t5 d7 M2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 s) g7 O  W  a8 \+ j( Z

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
9 T; v, p: v9 v' \( p& RLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
0 v, t' b4 O2 g# R( J         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
: R! _" C" z- S1 n
/ ]8 @" k& Y: N: R: ~/ A. }Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
+ k) K' O7 Q6 F. c! t* g                                     K^3 – K can by divided by 3.
3 R9 X1 P9 V% Y. @% {8 N6 [* D7 d
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
9 w+ y/ s% `5 d- b' Z2 }                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 S# T' P% C4 oby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
, v. T& X& S' YSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
) U# @% L, e; D3 ?
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
* \9 f$ @+ \" C) T; yShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

: Q! b8 Y$ R6 ]# U' U6 I: DSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.