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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?5 f  @/ D8 Q' _5 p) J6 `6 q9 j8 z6 @

* W6 K6 W# E& E$ y& e# d4 o2。下边证明有没有毛病?% F" [5 m4 K  ^, m" q
& t* F# C* X. N4 ]
设  a=b0 L0 M4 B1 a, H/ w2 r& G* G

! o$ }5 \( \. `+ d则有: a*a-a*b=a*a-b*b5 I3 {6 T  ]* T" i
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
$ G1 ^* v5 j$ d4 G) l
" m7 s. g1 [: b& ia(a-b)=(a+b)(a-b)
$ g/ P1 y' a3 F. n; Aa=a+b
  P  h9 L5 x5 d' \: t/ X% f/ |a=2a
4 y4 z3 k; K% Q! b. i9 n, ^: o) g1=2
; U2 f! d4 P. @1 m' U1 Y* X) e5 u6 d% }- a; y
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
, D' R3 }( G" b$ b7 F$ d, ^
0 n) I9 F% h# E! }9 D& u1)不能。比如1
; E( c- }2 g  x. x2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。+ _( U. J$ P' T2 x
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
理袁律师事务所
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:- T2 I0 a0 J% b* ?) H: i4 _
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
2 `" K5 t* R7 y( L- H2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
( y& \; ~, A5 z' c/ O
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
5 u, ?9 ~$ q4 U8 Z) D) k- ?  f1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
6 L( u5 A* n6 O% I
3 F: G0 c& i7 G7 U+ |2 [, f+ b
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)+ ~8 @$ p8 f2 i# P0 s5 c
: y' l4 G0 h' Y5 A" ]. Q
Proof: # S1 J/ I. J2 O- w4 X
Let n >1 be an integer . v7 e) L/ H- c" G  U
Basis:   (n=2)4 B; C7 |& Z+ v& C% l
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3" f6 F3 ^5 q4 L

$ v9 s6 T( Y1 N5 U" Z1 B3 m$ UInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that5 f! J5 f: c, `7 W" i7 X7 X
                                     K^3 – K can by divided by 3.$ J- E1 ]' o  @1 x; o

  o$ {/ w8 V1 ^; @8 j' h7 Y, o4 VNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
. j+ o8 B# n- n0 H7 U6 Ssince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem# e8 B+ M0 [/ {+ a* P! _
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1): w/ r/ Y$ Y  L
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K3 Q) Y: v6 z3 A$ C/ i' H3 a, c6 o
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)* H; M; c/ ~3 H; ]' a' N2 Y+ I
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)3 O6 M  P3 X# \7 r2 W' i
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>07 V% }: z0 Q' \0 ^* G# v' {
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K); X+ v: b; P; V0 F9 n! u9 n
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
( G8 K( m0 }/ a/ i" h; a" X                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
7 s. B3 @/ G& H# N+ m6 ~% L5 U" d9 L/ p+ g% C& Q$ A9 E
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.1 M% x& G6 s: R. }# ]

- W! b$ m* o1 c1 z: k[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
9 {  R! Z; R  h$ D2 G1 J
2 _$ A+ ]8 Q% I* N9 y+ S. q第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
1 ]: r! Q4 {) |: c) o* y& J, BShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
4 w2 m' g* U: @7 I" `
, l: |! I5 p( \4 X2 f
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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