出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
! v! B; ^- c5 P; w* R
% y6 g1 x( }+ m/ o/ Q, L设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
6 w: s" v8 C; K- Ta=a+b
0 i+ Q. O0 \7 y* G7 S. ^8 Da=2a
4 e* E9 F9 K) W1 D/ D3 M1=2

) j6 j) H/ U2 _: M# {; T7 W/ o' ?证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

) d# ]2 O! a# C3 c; Q1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  U) {% c7 e; l. J& d2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
5 d1 ~% q) Y. m# ]" b: S1 v1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' Z2 v1 f0 f9 s2 i. G* u1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
/ `# i8 q" V" v8 ]# L, N

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

, L8 Q5 P" }9 v3 [Proof:
* m$ a2 t) z1 p* a( vLet n >1 be an integer
) W+ b9 t: {; L' z3 ?, P# VBasis:   (n=2)
1 i" y# f1 A/ F         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
( P' q, Q& @: [7 V* f3 J
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
! l9 v1 Z3 r0 p+ Q1 w$ U# ~
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
% [4 M/ c$ f5 dsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
, @' @- i# {$ B; n                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
8 A  O3 y- H& c6 B& ~2 t# t8 N# j                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
8 ~' ]& z+ D$ ^                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
: ]" V2 j: O# c: P1 z. d                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
" p: b1 g) r- G3 W- B# H: t8 _' I
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

- N; I$ p& t4 ?. y. \[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

( ]8 x7 g. v  |3 z% Y6 J第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
' w* V0 E  N" Z& G9 M  nShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

' |5 F( X$ f$ {& c& T: s
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.