出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
) q5 V  x$ o( f0 z; c  H
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
* A) P' V3 W+ K" f: `
7 k5 p$ ^5 c% Y( o1 a. i% i3 f则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
2 S( |8 W# S! j$ f( }  _' ~
1 m: {# g$ }6 p* Ca(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
5 ^: k( E2 L4 V6 M5 a- la=2a
1 _2 z1 C; W& W0 X1=2
( g' v! ^# {( ?$ h( O& e) _
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

+ a. y  l* X0 b1）不能。比如1
! \* Y3 b- o% h3 G2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
* D" H, [) d" G/ `2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* f% l9 E, O& F3 ^4 \4 X$ Y1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: G: ?# Z/ D# h

4 ^# c& a' X7 M/ Q3 [: H/ R( r+ i为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
# Q' J+ e- _* s: X
Proof:
9 U: ^. l* `' \2 S  V% Y" Y) `Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

( L4 m7 @' |) Q8 lInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

- G0 a; Y9 {* {: lNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
8 @9 Q) M$ [' V" D4 h3 EThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
& l0 L% g5 I) p- b# B3 w2 w                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
; S' `6 {; [4 m' p& b- {                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
: j4 l  h8 z% t% y8 K5 Z                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 [1 m( U/ x& r; D7 E# fby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 [# A/ g# {, R3 a7 R! q                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

- E4 J: i2 I* x, Q[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
$ Q) R+ B; v% m9 Z
; _! W% D* W9 C第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
) q1 D: L+ \$ f6 X5 |  X, m1 VShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.