出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
; g7 x( E0 y. D0 g1 |5 W
" j& r5 i/ v' [. Q9 m' B2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
1 ~: I' t: {" y
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
9 W1 i- [$ y8 x9 ?, Y
a(a-b)=(a+b)(a-b)
$ g% K! C* R3 d/ ~4 Z/ na=a+b
a=2a
% j- {! K+ d8 y% d2 V: M1=2

" P% n8 A' _+ G! B证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
# K! D, N2 C# e6 }6 Y6 A
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) B" [& @% Y3 E8 @3 i0 S8 T2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* M3 T* Z4 l# ]% B/ ?/ k" ]1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) n) i" E( v8 ?' n6 V

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

* I5 k4 o! L% y+ w' U. i. Z! KProof:
3 t, d" Q' \# t! I, ]Let n >1 be an integer
6 F9 d" E) y: r! h$ uBasis:   (n=2)
' Q: v& {4 o9 g0 p/ j" h         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
% m4 l: p' s; V9 n2 Z* c                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
% \4 Y' l) q. p; |8 ]since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
/ E4 u2 ~8 F+ o$ A! ^                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
) E6 p: R9 j# P' J                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
. A- a; ?9 M0 z$ }by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
' ?3 N5 Q% p2 \: n  V8 _. iSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
0 ]2 X3 C' R( a3 J/ O                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
8 J3 R* I4 M0 J" b
5 R* |! l& A7 \9 k% I* R) ~8 q0 lConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
3 J! j8 X/ q3 {( G4 S
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

# ~, N+ r: F! [第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
# r# H  w+ [6 K( y; wShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.