出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
% d& e  @4 O. H" U% B
5 W( e8 n: Q4 y* c7 i, ]- l3 i2。下边证明有没有毛病？
# s( j8 [& ?. P# q
设  a=b
, h( L" j+ n2 c! y
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

/ G4 A' p+ R4 \a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
4 ]- Z, f) |7 \' Y! `
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 Q7 ?% `& @2 V( b4 W6 E) G2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  e1 p4 s- q+ O2 ~+ \' j% M" y2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
, Q2 P( k4 C1 E. e5 H0 K( Y
Proof:
Let n >1 be an integer
* G5 R/ Z# B6 k& Z/ H( a! |4 }Basis:   (n=2)
5 E1 _- t5 Y- ^         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
$ M. o% m( F% l# C+ E3 k7 W  U$ Z
* ~( S3 a/ I( q/ [$ }% `  uInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
' D0 D8 s4 m: E                                     K^3 – K can by divided by 3.
) w. D3 c- v6 j! ~+ b/ u- f$ z
9 j5 A# T4 A5 j9 p5 PNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
) i8 o/ R' W$ C; m% FThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
( Q9 v+ i8 y' I                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
1 D9 |1 `: ^0 U$ K                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
- z; F$ Z; a: M                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

& r; E; y2 G. C/ o6 t; HConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
9 e; b* M7 m: r. W5 ~
2 M4 r1 Q0 b1 [4 p! Z" L第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
' v1 X7 \! g( Q) LShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

% h* z  ]' F* s6 e3 K( b" f
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.