出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
0 C" w6 r; k; G9 t
2。下边证明有没有毛病？

" H7 f, B0 w1 W: f/ a设  a=b

, Z: h. Y- o- f2 m# A则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
. B  f8 u" p3 l
a(a-b)=(a+b)(a-b)
' |' R( ]4 H: ea=a+b
/ r9 u' s" i& N. H: E5 k( fa=2a
8 B" U2 |2 F/ c& R" ]1=2
% I! ]) {6 r4 z4 d9 K" H
1 K: a" a4 ^  ^0 z/ \! V证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
2 k: x8 i" P+ m$ V' c/ T* m
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ ?' x+ }+ T# E- u8 ?( M4 n2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, Z$ S/ H5 b& K5 j% a0 r1 @1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" O' `1 A: b. Q0 z: U  i+ R( q. |! t2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
# b9 s" y: ]5 k. n1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
5 c0 C2 y( P) W$ c/ l" X

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
5 O; ^5 T) P5 V* g/ t0 D) X  P
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
, a; L1 Y. p6 i- Q         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

3 v0 Z# B2 Y/ X5 ~Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
% F+ d7 w, {$ k; {" F' X* u0 R                                     K^3 – K can by divided by 3.
4 C7 [. F2 K  g& n2 u0 N% z. q
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
( J/ G) z# ~0 g) L0 M' X/ C9 vsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
: D5 g) L; N% H0 iThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
, Q# A3 z7 h4 w* j7 A                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
* W& {- J" C6 B. f* L) Hby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

& \' Y9 c4 V9 N# c9 h8 xConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
0 H% S  b) ^+ d+ O
  f1 [& N0 P# ?* e5 [6 b7 C[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

& w0 i" u, B8 ?: l5 x0 h: k% `5 X: ]第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
/ u9 E% D$ g+ O7 W- \2 AShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

4 b. L0 u: N8 g* d4 u' @5 kSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.