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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
% K" W6 A" `0 {' u7 @
* a9 z$ R# ?% y& E2。下边证明有没有毛病?
. }/ {4 H! Q: F9 a) \
: Z! |8 D( r9 A9 v/ E设  a=b
" m3 T2 H' H% N* g; a' r% \- C4 [* g
则有: a*a-a*b=a*a-b*b, J! F0 k/ d& Q6 |+ t2 o/ v* P
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
/ z9 t- h9 V3 j9 V) I* W% ^" L% l9 `
a(a-b)=(a+b)(a-b)
1 z# L; }5 S6 I, f* Va=a+b
; z" G* T* d6 J0 e. d1 ha=2a
; L; p4 o( ~6 N( V% ^1=2
- v# S  j; D& _& k, [  I$ y! }. y# w/ f4 n) @
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
# v0 N* @9 V7 `9 k; O  r! |. A0 `) j$ c) l
1)不能。比如1
3 q" Z7 a! O6 c' }7 n2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。- `6 t, {. d9 V4 z1 Q/ \: }
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:. u& H! E7 D4 E0 K9 {3 m6 B
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。4 g9 Z  H, `" \) j
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
$ S1 e' E+ ]) w5 z# {3 j$ o( T
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:& U6 r$ v3 H, l" E$ b. @( V3 d
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。! V$ C* L2 |8 n
5 m" P+ I8 ]. |3 X$ V8 C) w" l
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
# j; ]: E# p) f' q# A$ G5 G
0 Z* y# {- _+ DProof:
6 R6 s0 b9 |& e, m2 D( ~2 p1 s$ RLet n >1 be an integer
. A1 \0 c/ ], v- z) p8 [Basis:   (n=2)4 Q0 ^" ]% v. B( V/ @
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3( S5 l4 [: a" K2 F; M- r1 p
" H/ N: l, u' f& y5 y& ^% Y
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
# g' d, c: B2 x4 H6 I                                     K^3 – K can by divided by 3.
2 Y" [5 p1 Q7 s$ b0 m, N
+ Q% ~5 y& e3 u, e' {! mNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 36 B! \1 g; D0 o0 |
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem- B' o: g5 [( j8 q; ]. y
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1); }6 k- G5 J; A" c
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
0 U- b9 z* |, I+ e                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
/ I2 p- s0 ~. b' ]2 v                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)1 O% k! l2 {$ N' a
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0: j* {! m0 {8 n* g5 i2 p
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) Q+ v# w! `, z) C! B: u                                = 3X + 3 ( K^2 + K)3 y5 P4 C8 y0 v9 f# S+ R: j+ J
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
: J9 J7 z. G3 U9 x' y
) Z. i( V0 x( s+ c( ^' C9 a% aConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
3 Z; p: x/ c- u# d6 I% ?# M! K1 a) _; r; r+ W6 b+ a# f0 Y9 e
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。7 }3 y9 z( Y& @) B0 n
$ F" Y& f/ `, `3 \3 k
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
" F- F2 A( J% @' ~Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
' k+ i% V* _/ }
. o: H0 D- |+ D) h8 t4 \
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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