出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
" G) l& [- b' S& `  s/ J
" N. u  Q3 X' G# O2。下边证明有没有毛病？

8 T! F5 |! S0 w. D+ L设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
9 l1 n6 D. J, w+ m1 M5 m6 }: w- n两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
, Z4 w; ]/ n  L- }: b
! V7 z5 K7 b9 x# E( xa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
2 Z1 P# \, U% V1=2
& n9 }! i/ l% H8 ?6 R! S
1 f/ s+ n! F0 O/ K# y( n" f1 v证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
7 t% o% @, v9 F2 ~0 K
" C2 D4 l( U- h: n0 ^, ~" d+ N' Z8 D1）不能。比如1
. h3 L4 v4 h% c( A2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
7 C1 J6 Z' |' X1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
; o* e$ D7 w) S% S4 r' H1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" N" {6 }2 j) ?" W& Q; T

/ [  J" F( u. R+ q, _" o为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

! C, [5 o5 S9 r) VProof:
Let n >1 be an integer
7 }1 b$ h2 r) f0 b0 }0 ?Basis:   (n=2)
0 q. c, p, @* M' \         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
+ h* |* Y6 Q5 }: K) `/ G/ }
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
- z/ t- R8 b6 a3 Z0 x& B! E                                     K^3 – K can by divided by 3.

+ U4 `% m3 [( `  O' L' J2 tNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
; c+ A1 I9 G1 U2 asince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
/ Z# X+ p" `$ I9 g% u2 }: d                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
' q  C) C3 h4 xSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

  t; h7 W) J* h# _# G0 I
) u# a4 E/ n$ s  ]7 Z. {$ z* j- |SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.