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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
0 e- ~) q2 @/ m0 i% {2 }$ T+ u
" [5 }0 t; o2 L1 X# l( T( y+ D2。下边证明有没有毛病?
: b" S, A5 K4 B; j' @0 x
9 g2 X" K* c% y/ {9 x1 ?  C1 @设  a=b
4 N% X* w3 U$ r: C: f2 _0 I
# A$ b# x, {( a; U2 `( W则有: a*a-a*b=a*a-b*b
: Y! A) `- J: h: H, P, P两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):  @- s( ]( p& c( b
% O. ~# _! L$ W" f0 c8 C( M
a(a-b)=(a+b)(a-b)4 ?5 Z" ?% B% ]  |: T8 T" J
a=a+b) _) M/ ~& g* J9 P, E
a=2a
/ `& _: ^4 L$ S/ s3 I3 Q* T2 h1=2' M8 S- p, O. I. `8 Z: i

! T2 p1 U; s! X' P% l0 y& ]0 B证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试3 }# `/ `( z( m4 @- F( {) C. `
" ~5 y+ n) z0 S: k; Q, Z
1)不能。比如1: M: M( c- i2 |. K
2)a,b不能是0
大型搬家
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
. e7 Z  F; x! P  x8 Z2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:/ T0 g# e& G) R, A; K$ N
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
+ {$ Y5 K9 T$ B3 S2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

2 y6 f) L  a8 C9 `# [! O) T0 O看!有高中毕业的!
理袁律师事务所
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:; D4 f. T" N" N" F# ~
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。; H% W# D: ~# g+ _

' ?/ n* Z9 H( l为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
" L7 O. o! \* V; {1 v5 Z6 U( _9 a  q. R: A) ^4 R8 F; N
Proof:
8 ~/ c  s! x9 M0 [; \$ Q4 F# _Let n >1 be an integer
$ D; O. |1 p) W( p6 J: F/ ]1 `2 cBasis:   (n=2)' L! ^+ {! o+ u2 a9 j, S2 B
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
; Z# v! Z2 J7 q
: D! C1 U9 C* u' Y( r7 ]2 wInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
# r; [( X  r0 ?8 _. x6 R3 T) D                                     K^3 – K can by divided by 3.
6 @% Y, t" y3 P
3 N. ^* e& h' E( j  g* QNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
2 J8 |/ G' P5 ?. R! Dsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
& ~( l$ k4 _- ~3 ^* o6 vThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
3 w( D7 f6 k& D- j3 ]. [+ B                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
& C5 M% u' I* m  \* m                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)9 M( f: {5 W& n
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
! [% J+ D; Z3 v; J" U- ?1 i7 d; Aby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
5 {1 w$ m1 N9 E5 h; Q  ^# qSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K): ^5 F% b4 r: `4 c
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)9 K6 C7 O, B4 c* B# O
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 31 @( Z1 V) u( B. Y( l& e9 G

* k& B1 _  Q; r+ m7 b( b3 ?Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.- L  c% Q* c3 W% P6 P8 l

& P$ l, |! l3 w* O& D2 G[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。4 s4 a6 `" j: a8 n- {$ c

6 C; o; Z8 q( h- i; V5 l第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
  z$ M9 i* V! \3 d! C7 I& M" cShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

, i' `- S) f& Z6 q, I3 c, V4 D6 z" w% [% H# ]! m
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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