出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

: b4 K% e% ]# X2。下边证明有没有毛病？
  ^! `3 Q( u6 E+ ^6 W4 A
0 X" J, G, @* q8 B设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
- o& ?0 h7 X, c# W* R$ s# y; b两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
1 c+ p0 M4 Y% e+ K
a(a-b)=(a+b)(a-b)
) k9 I( P% e2 U5 l% f2 la=a+b
a=2a
1=2
4 [) \0 \, e8 f: _# m  B" l3 x" t
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
# F6 b. i3 W9 A
" \4 P! N, x( g; D2 p1）不能。比如1
/ r$ I% g9 J5 q; D  o2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 g) M1 I# |* y/ V: k( E3 N/ I; E6 l2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
; z' [( Z* W) p6 S# P1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
- X% H/ [2 w7 s* y1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

" s! X: g, s0 O为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
* L; M4 ?! O7 n! O" b+ [
Proof:
0 y1 {% N4 M2 u5 U: ILet n >1 be an integer
# n) y; {2 Z2 iBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

9 A& K7 }9 m6 q  I1 \( K: ZInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
* z: y: x- H3 }1 d* R7 i
# ]3 M/ |' j. A8 W# PNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
! l; q" V4 V9 X; n- CThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
* ]5 R& y2 ?; C7 \" {) c                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
; W( `( Y: U: V4 W                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
% z4 e" Y/ }( h8 rby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
! Y- i) U# c1 M7 GSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
* d: s3 s$ w4 q. }                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
! v$ c7 C7 [# w* c3 e9 R
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

% }' I+ `8 w* N+ ?* {
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.