出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

- g% Y  o6 @$ J4 |设  a=b

0 _" v; j6 q' K6 H# W  b则有： a*a-a*b=a*a-b*b
3 j: l! j( @; x, e+ N8 a两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

% |. i, P/ K6 @9 ~# f+ |a(a-b)=(a+b)(a-b)
; \) A" @# X) Z6 Ea=a+b
2 R2 x6 p+ k3 Y* b  ?# ]3 ^5 Va=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

% |1 m! b5 Y0 p- F2 O7 x1）不能。比如1
7 g2 ?" R  g* r9 k; `  ?2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
) a. e; J- y  ^( N2 _1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
' A5 H& ]3 x+ d2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

7 b% g. D4 ?& N8 N$ ?看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' u! I( _" ?7 o" R$ e) P1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

, `" G! `6 _7 Q, z5 ]Proof:
0 |6 }- \5 I( r8 w) u) Q, n- ]! DLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
! S  P' }4 H3 r4 h# v$ e
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
1 L0 U, E& r$ w# ]  @$ ]
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
9 Z: ?9 o) A! k% e3 T; Q2 J( }since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
' e: o# f) @3 j0 O                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
6 z  ?  ]4 S, |5 F8 s. P- C9 J                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
' f- E; o0 [$ {+ w& q: G                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 |9 t' Z$ ]3 I" [9 q; Fby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
: F3 q0 T& T" `) n! U8 q% r" iSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
" h& f9 M, y6 r% S                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
( V, {% j) M% t6 ?
$ c4 ^, v4 m4 n/ z7 dConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
* ]1 ]% L- C: ~" r8 M3 k+ j
! D" D$ e% W5 b[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

% I6 Z9 T/ a4 @$ T' @8 E9 C1 R  G第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

5 p! h, y+ I4 V6 @. z! C& U# g9 w# t
: J  v4 R8 f. l  l1 x6 JSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.