出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
: T" o- e4 e3 ]1 v& d
2。下边证明有没有毛病？
4 Q& q0 D' r& C3 n# w0 A
7 r5 z" D$ a$ w6 e设  a=b
+ a4 p2 ]3 n- C5 W6 F9 H2 ?  z, T
! A9 }" C6 b2 Z0 l3 Q4 k* S则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
4 J/ ~: F4 B9 |
3 M- `  F4 I7 K/ U9 r8 k7 da(a-b)=(a+b)(a-b)
2 g/ p6 Q( U0 C" @" a8 Z$ m* aa=a+b
" ^5 M$ T8 C! i3 ?a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
; ~. v& B  [1 v: ~; A2 g
" t3 c3 S. O; \8 C+ i1）不能。比如1
' D$ f3 P& M( j. I. W! n. R/ Y: F2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- A% d& P  L  w9 m0 P+ m/ s, }* P2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ W3 v& k4 G6 D3 r2 N$ C1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# g: u9 |& w) g: L/ D2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

& P. G7 g+ [9 q& \$ @5 Q看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

+ Y+ m$ H. D( O. s5 {/ \* w为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
; ^$ f4 R+ T7 i) Z# d. X& Z# m% g
' O* U: t$ m) W, J; kProof:
' z5 q) [6 D! [+ F2 W& R( G) SLet n >1 be an integer
9 g3 n5 o; ~+ @( TBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
7 p1 k2 b$ u' A" Q& |  d
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
6 Q/ K5 e# l# O! f+ T                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
9 a# B; e/ |, b* j9 p6 u1 ]' B                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
3 S8 a9 n1 i% e1 d+ o                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
- s1 K% A* g( }8 P# m2 n! `  D9 a0 D4 p" Tby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ ?/ x+ Q2 l4 ]$ x, g" |, D  T                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
5 Q" ?7 p0 I0 v/ y; d" {2 U/ G9 ^
9 L# j- k4 y& w[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.