出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
; R- ^# V# a8 [两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
" a4 z5 ]/ l  h" g" X5 Q5 s! Y
2 A) [: s- X8 V1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 h- F$ E% W5 B1 V( ?: k: M3 f2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 n' }8 C8 V0 I2 N

! }( P( t& L: e! Q' D& c' S; |3 q. t为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
3 ?& M: s  u; V- U4 t/ ]4 eLet n >1 be an integer
. z6 ?3 ~1 w4 Z. @( F% fBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

% K) j  F+ `: }  V1 i8 f3 JInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
& c$ k# N  Z: a8 L3 |                                     K^3 – K can by divided by 3.

& e  N+ }. b7 r5 D  T5 oNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
9 A1 X2 R0 k. e1 l" j+ hsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
4 S! f8 n5 D: W+ P# Q% wThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
, O  z/ P7 |0 |- I; @  K" @9 `                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ @, `( ^0 t8 f: x9 [by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
! m  H) O# p$ H: ]( Q% {/ M                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
9 ]( H+ V& T+ |3 h+ h
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
& i8 B7 V+ e7 x/ T* r6 y4 f
$ Q& r  H: o7 F- G0 ^0 d, |- B+ a( j  i第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
4 U' B% X4 A2 x% v) ~# UShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.