出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

* H% R; R" h& Z. v% c* |' C0 Y2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

% a9 _1 z) j2 V7 U8 i# f; z7 }! z则有： a*a-a*b=a*a-b*b
/ _# e: Q" f, ]9 t3 }两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

2 |) X% Q+ l: q9 O3 H( E1 Za(a-b)=(a+b)(a-b)
* `) D; S$ ~) W, L0 Aa=a+b
a=2a
4 l$ J$ k  }9 P! ~+ y0 @7 A% m( F1=2
! S  \7 `( c7 V, y/ Y* m
8 l& J1 o9 f& g; M* n证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
! e8 s/ b' n8 q* X$ x5 [, v0 e
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) V' W5 C5 {- M6 a5 r( i2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
. V+ B8 ]# d* ^/ z) J$ O2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

9 V& J7 Z' C; A7 ^, u- a看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' ~( C8 y9 I9 N1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
' x% o0 v" Z/ `* d. n

0 y! D: I5 O3 j9 f, P, Z" d为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

$ T- F3 X1 s6 C( h8 T. DProof:
7 [2 a0 x4 Y. C, R. _! r4 k/ _6 SLet n >1 be an integer
0 ]  I0 M. n. Z6 ]) o0 SBasis:   (n=2)
/ }9 ?: j) d+ b3 U" D- g         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
7 Z$ H; k& u6 |/ a2 n: A$ R
9 ~( n' C; d6 [  ~Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
, J7 O1 t$ `! F
# H% R# a" U. v( P! i' S% INow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
7 E; l1 h! L8 O  }                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# B) @9 N" P" a# Hby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
1 W3 e& I. w& b+ P% c9 q- B$ X' \So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
0 ]( w: T7 G+ I# o- E                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

) R  }* s: t8 iConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
, T' R' i- o- }- X: {$ |& {- k0 W
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

& m$ b; \( i" `0 K4 D. `( b$ L第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
5 e7 `3 K! p" D# g! vShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

( Z+ T  N3 C1 \4 M" TSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.