出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
* w" d' o# N# U+ Q6 \5 A
2。下边证明有没有毛病？
! J6 J2 C$ k+ W( d' U3 m& N
( s' @) P) I9 C3 O" o9 q/ Q设  a=b
: ~0 W0 H- g  t3 F) c. x
7 Q# h  p/ F5 p$ D则有： a*a-a*b=a*a-b*b
/ m' V7 `( [* A9 |) j. o$ h% ]两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
' A2 k) S8 `% F; I; t% M: ]* D
" k9 z+ Z8 m4 f  g+ V  _9 I  J+ W  ~a(a-b)=(a+b)(a-b)
* I& N/ N6 R( C1 F+ h: Ra=a+b
; i+ ^: o& Z7 f& z" q& H4 c/ D  i( [a=2a
: A* B1 y% F9 M1=2

$ f0 ]6 L5 i. M. V) d& x证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
* r  {1 E* D! s# {& M( |  b; N2 g
1）不能。比如1
3 r) d: D; W1 u' _7 ?& W- {8 r2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 O; v2 }' _8 D" g! P2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

  j( n$ O# T$ Y为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
4 b  y( w$ \1 m% I$ \# s: f8 r3 t4 F7 m
  [7 R: O# i% j! ~! `) G" eProof:
Let n >1 be an integer
- A0 r' g. o, ?2 W9 c3 `8 `Basis:   (n=2)
0 u+ m) Y: f1 g( X  ?9 F         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

2 v3 p) J3 j7 z) |  ^6 J+ KInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
; z, ^) t/ O% O
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
8 r, h  {! K) {* ^. zThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
( p# n! U) K# d5 Y' i                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 S( i6 U( X, @0 {- K/ w2 @by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
/ f2 k! h/ j- H0 X: qSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
$ a" V+ t3 V4 H- e  M* B4 g                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
/ l) M" r+ ?) j, H4 h6 o' a                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

  j: ?! i: e# e. B7 i3 zConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
* U0 I. A: ]0 q- H5 I) j7 L  K
0 s$ s% ]6 X, i8 r[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
2 U! L6 T9 e6 K5 @' K% L9 F6 A" ]
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
4 B5 t8 e' g0 I& eShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

: J" v% e6 M( Q, ]5 I- |, t
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.