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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?6 R. J, U( W6 K2 I; O
# Z5 l) K; f9 \; p7 w( u
2。下边证明有没有毛病?
3 ~* Q  h6 v! B7 ^+ h! n- v  |" i
, S1 r3 r, ^4 `, ^2 M; _设  a=b
' Q; O' M  ~! g; z! `( J  L3 G6 T0 y, n  [
则有: a*a-a*b=a*a-b*b( V5 P: W8 i4 E6 e
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
! S! H% u$ B% q6 r4 ]% G" J* m8 H; Y+ |0 G6 ^
a(a-b)=(a+b)(a-b)9 _2 U2 |$ E2 V1 Q6 A
a=a+b  J  t# L, y; d6 L' x6 T7 R
a=2a
; L3 ~9 s8 R, D6 z1 t& O1=27 O* N9 B3 Z5 _# N

$ a2 _! K# s% U- D5 w6 W5 ~证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试& B& [+ l: i0 _6 Y
# u9 M" r! s# d1 }  C* t
1)不能。比如1
/ e: G% A4 _" w2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。6 o0 x3 `; _0 {2 F8 C" D. ^
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
( s" @0 J+ K: H) ?. ?' o1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。3 g* G% Z6 @- B
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
9 C5 |9 [1 j+ i2 S
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
) }) m) H( t; O. t% D1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。9 L4 ?+ k$ r4 R7 s

; P3 S  U2 c; C# z为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)1 ]; K5 W  T! Z( y3 V; T$ |* ~
6 b9 C) ~' S  j% W5 H9 _1 Q
Proof:   v! k# M) f% s" v
Let n >1 be an integer ) ?& |4 s$ e3 K& ?% h
Basis:   (n=2)
0 c( B0 O6 ]: \2 ]' U4 B* [" J         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3, p- W3 U: y  D9 ^
: @1 j$ n) d% }7 \& T: q* F% J1 S
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that2 d! G8 j) H( Q% [; J9 Q3 n1 t
                                     K^3 – K can by divided by 3." f4 p+ x6 F$ G# |+ ^* k

, R  P; L  W- ]Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3( g3 y7 {! E4 ]
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
5 t: o) a1 A9 J+ t% xThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
. e9 O  l$ |# y$ N                                     = K^3 + 3K^2 + 2K# t7 p' {$ C+ L/ |7 s
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
. M! `" u/ @+ Z                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 S# _0 x! n# U' G( s$ Mby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
) w' Y0 N* v! i* FSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: I6 R- a3 C4 l1 a$ a+ c/ D; \                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
) ^6 Q3 \( p; B                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3+ y1 [" i' o' i2 p

. T& Z5 b$ g' v- iConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
8 ^/ S4 a" f  N1 U, l& c: Q8 c7 T) H' `
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
) L. J# \1 G7 v' I) h8 x" M$ {! t" E$ r+ S9 k/ X( n# p' ^( y& r) |
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
1 W. V: T" [$ MShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

2 l' V% W0 x2 k& b6 x1 r7 F4 c, I; F
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
大型搬家
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