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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?) C, G/ R0 v  x) f3 h1 r) P
! }' X; ~4 k( h: S5 q# A/ V
2。下边证明有没有毛病?
* p( a/ w* @% T2 B/ Q. q1 r! f! \: F
设  a=b
/ G# B" l1 A# c+ ^3 _: Q2 t9 ~. }6 s2 w# Z- D
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
. D8 Y9 W- n6 S! K8 a两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
$ i, k% A0 u9 U9 h( Y* a
0 @# ~: ^9 P$ E, Q! Aa(a-b)=(a+b)(a-b)
0 L9 |! z% n: C( ?1 @, g2 da=a+b! o' Y5 k. x% v/ @- I/ R
a=2a4 T% S8 T3 Z' g+ t3 ]6 u
1=2
3 h+ o  G& B! X6 O2 |5 |2 e! i2 R
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试3 j; n. o, N  c/ [

" k* s! g1 P/ [; N3 r7 @1)不能。比如1& f0 @" M) g! W2 j5 u8 e. E( S8 ]0 N
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
1 R2 k& }: n1 y4 R2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:% l! M" A  l- N4 v1 h
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。6 F9 p: }! K5 S: G) X/ v
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

* I2 N0 [& o) v# }4 z看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
) ^; k8 }9 d* J, n$ e. o* m1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。8 P+ _: i3 Y. ]. K, I( s

' o. w5 z' H% b为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)/ R* K8 ]8 T- D+ @1 `; V- O
' V- G3 f* O% R* f( `. i, ^
Proof: & V5 r8 g3 F' g) N% r
Let n >1 be an integer 6 s* D; a2 v  ~, B
Basis:   (n=2)
9 M; {; U; F& W# V+ x7 ^         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
8 g" ]% S; V+ `# r$ c: k
8 m- l/ U: v! r% s! B' A4 l7 @6 s1 Z! ?Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
* h, p  r$ B3 P/ p+ a. Q                                     K^3 – K can by divided by 3.4 i# y" H+ f; g  [
. g8 o8 e& P; W$ i1 g4 x, O4 c, Q. J4 [
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
7 u( i( z- O6 h7 G5 Ysince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
0 A0 w0 R* ?/ k  {# pThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)1 z& j- t% @/ D* I- i8 U- m
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K; j; {/ o. L$ x2 E) q4 A3 o
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)/ V" {3 Z- q/ Z. w: w( M! b
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)( e4 O) l: A, @- P$ s
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
, r% k8 O5 D; y0 k- g& Y) F0 ?So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K): G; V2 |: z) [. ]& ?# m
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)( b  G& ^% c+ R
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3- Y4 T2 M$ h+ N+ V6 c1 a

! d' f" ]  Q( F0 J! {Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.% B0 Y) F, d0 j0 x: H) j
3 o6 y2 q. s- s
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。2 o0 P+ g9 o' J$ M0 J9 k! j5 c
/ U0 G9 A- Y, \; M, l7 A) @
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
理袁律师事务所
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
# ~$ T9 U  ]2 j+ J$ m6 C% nShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
0 Z# I  D3 V( T0 |4 ^4 d/ k' l

3 F5 `' i: L/ l8 B4 ^1 mSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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