出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
# H$ G% M( m4 W% D
) v! I# \$ l; r+ J2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
7 L& v: v. h; B' q6 Y- l
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

/ k# X+ F, g0 w# K- ^: X: sa(a-b)=(a+b)(a-b)
6 C1 {; m' U& [3 Z( X1 B, I7 Ba=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
; A7 J" g7 I9 q) w, O1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# e$ J2 S6 o( p5 v( D0 q" p2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

+ V9 t' L8 |5 {+ R& r为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
1 v9 {; d1 `: K$ G; R# `
8 y, y8 e/ `4 g4 a7 {# W9 bProof:
Let n >1 be an integer
. y" r( F3 F+ h6 f' t! Q$ w$ _2 MBasis:   (n=2)
: j; M& M; W# K         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
! P5 n- T! e4 q
: s/ S2 o: ^! g/ t* K3 uInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
* ]# J# }& D. ]since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
* b% d  Y. t$ e* ZThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
6 U- G, t5 O7 ^7 P1 l. c+ A3 P                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
# M! a8 q% r% o0 T/ jSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
* g4 C, W- \: o! G9 M7 c0 k                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

0 T: r4 {2 L' t[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
' n. d8 h. _1 u9 |+ E. |
5 u) }, U  `8 _  S- t& S4 l- X, O第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.