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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
2 s3 a6 q- Y; s' L" ], f: M9 n7 J/ Z8 \7 Q" F3 y7 J  z9 Q
2。下边证明有没有毛病?
; U& G6 _, `+ L/ N: `# Q" Z- O# s: a) f3 q+ v. l) v
设  a=b
9 Q& n7 M% ~' ^; \* M% s; ^# Q; r5 ?" V: b9 u: L4 V
则有: a*a-a*b=a*a-b*b9 \- J" s# Z" G% ?
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
8 [6 b% y  i6 N% |9 {# i0 r& N# W2 ?4 E+ R
a(a-b)=(a+b)(a-b); u% R# X- E: t" P0 m
a=a+b* L8 f0 O2 ]/ \  R! L
a=2a, \% v1 m+ j+ W
1=22 D( }1 Y9 }7 m8 _3 o

* M& q# ~* O1 h+ Q: X8 P6 Y证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试- t- P: ~& R  Z; J
0 F1 C8 t* g  i$ D9 S1 j" O  q
1)不能。比如1
0 V) |8 \- i! _9 g7 J# R9 W. n2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。% O0 ?+ ~$ m+ j6 d
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:5 X1 Q3 O# c  G* ~3 d0 S
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。2 g: S5 E# d/ [* f! B5 |
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
( x7 U7 z4 w7 W4 I, k  ^1 M
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:- w  t) v; n/ I% V( Q8 J% S
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。' |- ~2 i( {7 M7 b4 O- S6 V
3 b; G' ^6 y* K) R3 ^. P3 G
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
& H, f+ Y! ?9 b9 W2 C9 D1 ]' q: ?* m  R# s) I
Proof: / g1 X8 w& D! v5 R
Let n >1 be an integer
: s  \' m# P& A% \% |Basis:   (n=2)
- N$ ?2 }' a8 }8 ^+ i7 h9 [         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 34 Q( _3 V; A; l$ Y  y1 W

  b) W* ]. u. X6 IInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that9 j! O+ S3 g* x/ }) O# R; @! ~9 p
                                     K^3 – K can by divided by 3.1 f  I9 g6 }6 {" G
# M2 a* j. a" T) R
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
  @- K: H1 Y& `; z+ Osince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
+ r5 k' u2 c, }1 v* l$ p: U- D- fThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)6 ]* _- o: N7 p& H& h1 u! {
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
+ g* D: ^" S( X* q4 P9 X1 C5 T- [                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
3 n3 V. v$ ?: d8 H( M                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)3 P: F, r" [, i/ h0 w0 _
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
) g/ g* W5 y( u6 I, q5 ^! [So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
* v+ ?. q1 o/ o7 b* S                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
0 R3 x+ M/ Z5 I1 r2 j5 w( R$ v4 C                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3% C8 K% o) a; D& o& r

. \: z+ a% `" b. w/ }Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.& q4 E) @. n. K5 U9 _; g
6 L1 J; E4 o2 b1 j
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
+ j, h- ~( f* o
0 K! j1 X) E) R第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:$ M' ~( i9 a% k7 _
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

/ l1 }. _& D, _
. s6 l8 d& k3 O5 E! V0 @& s+ y0 |SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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