出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
6 ?; ~1 ?8 h, f. h: ?5 a' Y
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
3 x6 {* ^" e" e' c0 s
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
" s  m/ T# k$ M
* u9 V' `" v# y4 Ba(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
, t: I( M  N# G1 `7 w, Fa=2a
1=2

; r) O0 p5 i( O证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: T/ J( Q- M# _2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, g) X  X, W6 R, E1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

$ x2 |! G# @1 [4 b为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
6 M, [4 w4 s& O4 p
Proof:
* y/ b! A: v# q+ H* K1 {: A9 wLet n >1 be an integer
( g( e* c4 T9 t" F" pBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
9 U* C' i; u3 v$ a- c/ [                                     K^3 – K can by divided by 3.
/ a$ o& N. y8 S- b# w, a9 B# @
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
* @9 f: I0 z/ {0 F" N) {since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
& C% i( U( l0 {1 S- d1 d2 t" Z7 zThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
" x9 j' p9 Y' {. L7 t                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 Z% T4 v( F: K! f) Q) h: }1 @by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
9 T5 R2 ]2 F; U/ w/ NSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
8 n  l" Y1 a( r/ }" r6 _5 T
7 S! p9 S* M4 x' m( eConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
7 p! T" r3 I  }" {
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
" @% m% H8 o) d. z4 e
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

% n' O! r* g/ e* V/ _. M4 O/ A
) f# F+ y. ]( ?: m$ G, y5 rSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.