出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
) V2 c9 o% D- t6 {
$ p* u5 {% p9 H  _  G3 m; E2 o设  a=b

* M0 ~0 v5 z# s1 ]/ m则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
# K! q7 Y! }2 U. H, p) `, Aa=a+b
' }" c  m  z. y; g2 W) `5 D" xa=2a
; c! K1 d/ h" ?. u1=2
. i' _# H4 q& n5 B" M; E0 a5 _2 i
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
- ^0 J( k, q& {4 M( J- P0 R
1）不能。比如1
7 m/ m  ]8 U  I2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& h2 j0 P+ i' R0 l+ C3 w/ X/ H# n: H1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
6 r# O0 I# S8 h0 I& v" J8 f9 I4 P2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
$ k! `' Q2 [7 L/ N( r( k1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# R# Y% F5 ^7 M& T( R5 W+ B- h

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
2 k1 N* k7 N& ^
Proof:
4 l( r6 X9 l; |Let n >1 be an integer
1 ?2 ?2 _6 Q4 t+ i) {Basis:   (n=2)
7 m9 V. c# e6 M& e& I! ?% N' `) ^         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
9 x$ g0 u% R9 g( u" x2 v
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
1 x" E. m4 u: u                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
- @' h! G9 F9 T                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
; u7 G, ]$ N' kby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
  ^, y/ ~8 c, A/ P( fSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
1 S: W/ B1 E9 E% [                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
: M2 E" Y+ W, v/ h1 ]$ ?. d
3 w/ Y/ @. {2 O3 {7 NConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

9 E* u& q6 K6 P3 Y/ P[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
* z6 X" Z7 c! E; X* z
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

* Y, F0 U# B( j6 N
4 @* }- U' @7 Q+ A5 aSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.