出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
6 x* a5 v' p" [+ z$ ^
2。下边证明有没有毛病？
6 H6 Y1 }. I4 [( m8 q( H3 B1 D
" n. D% k/ Y- P# P3 Z5 Z- v: g设  a=b
3 R; w" n! P6 R  v4 D' {3 ]0 D/ X
  A* \/ C8 E" \9 |+ k3 d6 L+ h则有： a*a-a*b=a*a-b*b
' Q5 G3 I. U  ]: `6 E- _两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
+ ^- q3 A2 f3 i- d& l# G* _
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
/ K: o( d& d+ w) r4 m( _6 F1=2
8 a3 G7 s9 k# l- P+ l+ p# w' k2 {
, m, p/ b1 h; Q$ p) v! |1 T8 e3 Y7 n证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
! s9 Q  x2 q5 }, o! O; b  o' B8 j) K
1）不能。比如1
  H9 ~6 F' e7 D2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" {1 Z  ^6 |0 M1 d6 O7 m2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
  T& d' G3 w, K1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

* b2 i. O) N: m) {: A看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
0 G; S# X0 F7 D- Y5 c1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
. k( B& [: i7 o. G6 ]! F* }9 i- wLet n >1 be an integer
- M5 H! }: ]2 _& JBasis:   (n=2)
4 ]6 E9 w9 Y( g6 U+ P" _  u% I         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
2 G: t( i: M' l; `4 A! t" A0 |
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
7 q8 y; _5 B$ g3 r8 g1 c                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
. ~" C# a, g9 E5 F( W) ^since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
9 R# Z! E7 V& S$ r# Z                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
% h( c9 T0 Q1 X9 x                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
3 ~& x, E- q- O) h                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
5 }$ a1 q9 c( k0 Z" D* Tby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
$ i3 D7 r, L6 x                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
% Q4 G: D; I8 \
0 f$ U  v% P. Q% M" S[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
" `0 L$ c7 {! a+ X0 i% P8 r3 o
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
6 M% }* h" Y: L7 ~3 jShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

6 O  ?! Q( X/ U; C; ASORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.