出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

' u) |9 W) y/ T/ V2。下边证明有没有毛病？

' d, |! F" P! O! K( b" s设  a=b
8 F/ M, v0 ^2 w! P" Y
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
' s4 r" o# Y  j4 H' H6 B两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
. f$ ?# A" B1 Wa=2a
2 |$ \6 `9 @, k9 @9 [# Z1=2
. J: L  t, o' O, L9 n
1 d& `* j1 |# w; Z证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

+ k$ Q" m- Q- m6 o; m( K1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( w5 S9 Y, o( X+ i5 i3 ^$ @0 E2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
- ~& Z; h2 J5 G( r7 F- t1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; _+ G$ y4 }: p! X2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

3 Y) D6 x( v/ K$ n' p看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 N4 K0 s7 k" l5 D. h8 \1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
* i8 r: m2 F" Y: U% g

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
9 _, ^3 P3 T; ?3 {  n3 }6 d/ k
" \" C# N# m- \. r# M4 S0 {Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
- C& a4 w+ e" ?2 e! x7 D         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
" ]6 x6 U3 W* |9 ^; A1 L/ \$ G! W
% f0 ^$ K! M6 K, T# y4 ~Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
" Z8 ]( K- ~' a- E+ w& R% X0 u) J
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
- I8 y4 ]; i0 B' g/ Gsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
) {( ~3 z1 M' I% Y/ G/ H                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
0 d" i# ]/ Q9 p7 D                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
, d3 B" v+ {' ~% }3 nSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: X& o' g1 v. X8 H/ K! @                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
; u" F( s4 p) |' @5 ]                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

3 B2 ?/ I6 v9 Z2 O9 _, \Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
. l+ C; g7 y9 I8 B& D( v
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.