出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

4 ]7 t1 u8 e, @9 e+ t1 o1 O2。下边证明有没有毛病？

7 R$ Y1 v: s3 J( m8 Q, F/ @设  a=b

. I+ v  {; F! y1 R: y5 a- ~则有： a*a-a*b=a*a-b*b
) A, \7 E" C- J& U% }4 u两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
* l0 X/ E. ]" R
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
6 K% R& }: S7 h; Y9 i! d: N, x4 {+ fa=2a
1=2
; h1 o9 y$ N5 J" j
. ?4 C4 A* F4 a9 [: x+ w% @证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
7 G6 H7 R4 }8 @& \+ w: m
. x, E  N1 H0 J1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
/ W- C0 N4 N2 E) r1 `1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 x: S  M0 ]; }7 r3 I2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

2 s2 X0 L) A& e, j) q看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

$ |9 X3 O+ [4 N; hProof:
9 ?8 u5 o; M" q; c: E, x3 `Let n >1 be an integer
* z5 V8 C# G2 MBasis:   (n=2)
& l( {, e/ ]8 I; `! K! Q1 ?) p4 a         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

  p2 Q& r; m$ S9 M% CNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
; r+ U  t% O/ q/ M4 qsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
, ?6 m' u' P# d; x  KThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
  r4 G, _( d: |; `                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
4 p, g% g4 W; s                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
. ]  t! p# g7 s( C                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
$ a) `& d# `* k  P3 |" e- Z1 Hby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
: F5 J; m! w( e; WSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
; L$ h5 ~5 K, ^7 o* u                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

1 T1 C* d7 }- |4 zConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
% K% a4 e% h/ V/ ~
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
2 f( L/ ^6 c7 n# I& o' ^
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

& a: X" S3 z1 ~! {! v0 a5 I
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.