出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

6 p& P1 w1 R% {2 W; _, c2。下边证明有没有毛病？
3 Q% z1 i& M* X- w  o
设  a=b
7 d  T, Y5 _2 R3 N
: v9 k* `  L- ~# B则有： a*a-a*b=a*a-b*b
( |: f1 L  U/ M1 E两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
+ {1 N! t" ]( I# Ta=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

* |" W) C7 f! j- q+ ]1）不能。比如1
5 V. r) u7 |* I% |" k  ~# `2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- `$ j* w! C; j+ [& F2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 I/ l. m/ E  W% Q$ y& `5 [( Y5 F1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

/ m# j) e& ^% Y/ g) l3 g% }2 |为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
! p* `0 j0 Y7 \& F1 n1 _Let n >1 be an integer
+ I# h6 v; ]7 i+ c* x8 n+ }4 EBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
& A4 T5 Y2 e4 h" n0 a6 c8 H
, ^; N6 l; H% U* V2 m" JInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
* G4 V7 B' Y6 ^9 \  g                                     K^3 – K can by divided by 3.
, P! ^5 W) Z% ~& N1 Z+ }6 C
3 x! q' H9 v% g, d( h; HNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
9 @) z3 Q7 w6 Q, G& [Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
+ L! o1 {, y4 d                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
5 J5 x$ l: A0 U' J* y; k; @                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ ~: s& O$ s; y: Y7 s, z- iby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 ~0 u) [6 C& a. P, f                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
4 F% x  c4 R( z& q0 v  w                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
6 X& n: s% x) k! I) t+ z
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
: X9 @/ P* U8 V- g: z) F6 \9 _
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

% B  m* l" d+ y  O; X2 Z第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

& {  c& ?+ T& E* h0 @! C
; S5 C! z3 Q5 t' OSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.