出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
2 J) Q4 }3 Z0 M8 p6 U6 w, \
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

* R" E4 J! o6 R& q; n1 ?a(a-b)=(a+b)(a-b)
2 W% I- Z/ E, G- s4 i# h- Pa=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
( X: t  `& [/ R4 |
1）不能。比如1
# S- ^5 ?" l; I$ Q$ h2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
9 Y7 [1 i) N* I1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

, r% ]" c0 S8 F! [看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
& n8 }' ~7 @" \0 k0 h2 ZBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
7 P! A& E. I) b* P, E! ~+ ]
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
- v8 d4 u5 s( A1 s9 \! v% V' N
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
+ t, h2 q; U8 P/ X4 o                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
. I% t/ t" n2 Y' q2 b$ ^                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
+ V: X- B* @, U) |/ @! a                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
/ E6 r, k& Z8 b5 s) N7 C  wSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: V1 M& ~( M5 o                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
2 I  W. D' h- f# h& u/ p8 g
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
, m4 z. ?: f$ [; O* y& g3 K( Q
' Z' b) c0 P+ w7 {第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

- @8 g1 X3 ~0 l& q* M
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.