出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
. Z% t/ G! W( `! V
2。下边证明有没有毛病？
. ~" i# O! |' o6 U+ e6 Y! R
. p" w4 N" w/ T. v0 z' ~. ~, e设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
9 O/ g2 k2 q) I4 I, R8 ~" ~
" Q8 ~) G8 ?: ?a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
3 K1 b: N9 i4 F6 v+ L6 ?2 g6 F7 w) l
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

. D! H1 `$ N, v6 |1）不能。比如1
* S: s0 ], C6 t6 @6 s* J2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- A; U/ |! W% {7 H2 w2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
; V5 q- i) T, a1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% T5 l; G4 U4 q3 r; A

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
0 ]$ @2 I) k8 RLet n >1 be an integer
( E5 k0 \! n+ n: T" f) pBasis:   (n=2)
; n! {4 j4 \: R$ n- G% b         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
/ y( g5 M+ V: p% W5 h9 l
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
: [& C+ I' C$ f- ~3 I  }. i
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
7 Y4 G2 `7 R6 i! m+ j' `$ p$ d- {# q1 osince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
! M5 o; z! \0 G: c; }# ZThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: o, a3 o, D2 H, qby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
" E8 G5 f+ @6 [) y: S* T; n2 WSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
( [1 `" k) }0 |- R" N4 F" P2 v                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
( p$ Q& L0 E# j; Y0 r/ v& D4 E
+ m0 z% C" w# m9 ?1 n( _Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
) U' z. @7 _9 KShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

) H! D* y/ J% p# N( R3 K
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.