出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
) Y- K0 a8 P4 [0 H) T' j
2。下边证明有没有毛病？
6 S, P5 C. \( ^  l9 ?
1 W  v' I3 h7 j设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
; [$ }( B. ?3 _# \- V& ~+ ^; Qa=2a
5 C% l: _, g! o# U) [1=2

: \) ~- B( L7 p& H# B; f9 p, h证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
) i* q  D' Q6 ~+ M
: f( b# R  F: [3 @1）不能。比如1
! U0 D  m$ c, Z$ g  V; R) W2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
. @. T8 y# O( m- j9 D) x1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

0 r0 H- e  h# H2 r为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
! o6 g+ v' v& K+ u" _: e         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
* B6 F! @/ ~1 h+ t6 Q
; @: f4 ]5 J5 c; xInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
9 a+ C+ u/ P0 a# Ksince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
. U4 p! D0 g5 ]                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
% e# E& Z0 v5 W# N! H1 a                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
  n& U$ G2 J) Fby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
$ |/ V4 a( a* |' q3 I1 [5 ?So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
2 Q! l+ ^& k! w                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
* _* m2 l8 H3 k; z! x
+ p/ [3 `" `. h8 EConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
( E& V: U; T9 g! G& k2 G, u' E0 a
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
, G5 I* `  M, \) Z# ], H3 e
. k* F, c' J0 n* h, b第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
* e0 O" T5 S! M1 gShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

! S/ H% z/ |4 H6 h' J
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.