出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
3 M1 `$ J( C$ u4 ~
+ T  S# [4 q: r( h- t8 w2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
: [7 A9 B5 N/ x, V
3 d) F( c) ~2 ^4 [- B则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
  t% |1 Q2 r6 }7 N% t- I$ |' ^. j$ la=a+b
$ ], s+ K- B' D2 n" M! c" Ka=2a
, m4 c5 l; a: I  }8 j1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
! K9 ]6 z+ F& ~) Q2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* j" t  S+ }9 X: @) ?/ {1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
: `; B& U% I- u3 i1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 t  ]; I& _/ u3 H7 \

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

- H4 X$ J6 s, o% xProof:
9 W9 ?0 O% J( f! a- PLet n >1 be an integer
7 R3 c9 C7 K. T0 ^3 z* sBasis:   (n=2)
7 G0 j0 d; {) i* Q+ p6 [         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
3 o1 y9 G. w7 Q7 t/ @9 q5 q# j' C                                     K^3 – K can by divided by 3.

$ |- D$ M$ E* g* [: DNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
5 g% g. ^: A" b, g0 Q! J; q  KThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
: \  W! _) J8 d# ?! H3 S                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
6 y0 p& z0 X% _7 |, O& R3 M: r                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
: z9 x- @. R3 D9 c8 V0 r                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
5 N& E9 b4 \$ f) l% X% cby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
4 U  w4 U7 n; d. m' @So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
- j7 w! `/ ]# X                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

- G4 U* A8 K6 }0 ^! q' fConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

0 u5 r6 _9 b, u$ _( `7 R第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

: d* `3 m9 u7 L% MSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.