出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
* X& {' ~8 ^0 Z* V, m
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

$ K* B% @6 g! Y; L6 Oa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
* ~* D; y' {4 |/ F  Da=2a
- p2 {+ F" o7 M1=2
7 p$ i% s' F0 T( E, }, q4 s
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
' L* N. H% a# E. B& M
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 @9 P: s+ w7 A; w1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- T* x# b3 G& _9 o

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

5 `# r, k. y8 mProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

5 ^& P* ]9 t( ?+ k, G! T; v! bInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
# d5 `7 V( x  W
# V7 s7 x5 E9 W8 q3 rNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
' k! J& |6 u$ Y7 r9 nThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
, n4 S8 [. t3 k9 A+ k                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
7 y, ]3 X: S4 F, [9 z% L  A                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
3 f' M) c/ r; n! f8 YSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' |, W& c  K7 u' `0 v. L7 W& ?9 f+ Z                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
, |" W+ ]5 R9 V# D2 p* Y0 W" e. x
( s( ~# ?9 o6 O) k$ H0 G% zConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
3 k3 O" _" i, H& E  |( c2 j
0 c8 w$ r1 \) x9 E+ _, H  t[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

" |- s$ C9 `# ^& t2 `/ O0 f7 [* {第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
: D/ j" X/ I" O9 z9 c$ MShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

$ O3 P6 M# t) N* g; C
' g! w3 q* U6 WSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.