出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
/ k5 H  K( Q7 y, S6 k! V
2。下边证明有没有毛病？
. K3 r" ?6 I! p  f0 B
设  a=b
6 p1 {! y5 D4 y& r, k$ y
8 q9 L8 S6 [' s# ~6 @则有： a*a-a*b=a*a-b*b
; X; h, a( X2 n$ ?两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
+ Y6 \, k/ u% d9 y- u
a(a-b)=(a+b)(a-b)
+ P8 V: L1 S) h( |& U, Ba=a+b
a=2a
/ C' X3 s8 h2 W  I, I4 |1=2
! F& B  N2 g' ]% [
6 ~4 n( l- |3 O% [证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
: R; G! h) a0 H. ~2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
  X4 A6 C0 ~$ x; _4 ?1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

  _) V* A. m  Y6 ~1 v& l( t8 N看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# F7 O( w. _0 K; `3 G4 u) k

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

3 G% b3 a% f2 H' g7 S, ]8 lProof:
5 A& P8 k8 V; S; C0 ?9 ZLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
) `2 d& j( E5 d  c
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
9 M8 O7 L- ~% |# ^- H
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
$ l) @# r, v4 o) ^1 `1 A: h- d& Z                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
; p$ I3 z0 g  j7 ?( |4 K% j8 y/ ~by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
- q) u+ e# f9 N" tSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 r2 Q8 J( o) w. h3 v                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

3 ?: E: J0 a, L6 H. }Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
6 l4 t' T( h- A8 L" ?9 e7 ^( |
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
  x5 C$ e$ o5 B9 z+ zShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

! h, Q+ C( D6 D0 h
0 V. |( J+ d- ASORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.