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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
8 a) m0 ^" b- ~; n+ [$ ?
+ f. G7 @" S8 V9 k2。下边证明有没有毛病?
% C+ \; d" W& n$ q
+ j; T* @' C: _设  a=b3 @+ Q; r7 y; f. x/ \: A
5 [* g# x# t- p. w" O
则有: a*a-a*b=a*a-b*b9 t1 a- i" z( z
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):9 p9 @+ C4 i+ ^" [
* t9 p, J  E' B  o
a(a-b)=(a+b)(a-b)
/ g( s5 p" o% r, v6 Q/ Sa=a+b
, S" w6 L4 A% H% J) Ra=2a
2 ^( H7 S( l7 M: |. v1=23 S7 A2 x( f* o) K* k* i7 j  U

: N5 @1 @4 [9 t/ j2 x3 s* I证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
) ]5 m  X+ y/ n! T( Q# R3 a9 q3 `; k; q) g, m
1)不能。比如1
( Q: S5 y6 }+ p1 W6 H9 i# V/ i2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
1 V6 ^, n% o% c+ k3 w2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
: H* q. T: P  ?5 k7 ?1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。7 [, B1 q7 g: T0 l
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
8 m: v( _8 j) B2 g: `7 ]5 K  w
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:3 r9 m$ _8 A5 J0 |8 p1 W
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。' `0 N% ]( W' C. {" e
& T. ]1 e! S  D( \
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)2 Z% g  \' l: A- e/ l1 W: o' W# o7 [

" X) m% q% D! \Proof: / v* M* J4 f! o1 v8 a
Let n >1 be an integer " T6 z) h( k1 q% I% J
Basis:   (n=2)
8 B' u' T" L: r         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3# {0 |1 P, G/ j+ }

; s: M8 b. C8 x6 s/ \6 w* [Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that. p4 [) U# L4 K' m( N
                                     K^3 – K can by divided by 3.
4 [7 p# y7 O' E; V4 y0 A& X( K, m# `/ @$ A
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
& @5 s. c/ U$ Z) v* psince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem: ^( M( Q6 W8 {. i4 y) c% Z7 l
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
3 V' a3 v, m* {0 ]$ I& ^: @; K7 n                                     = K^3 + 3K^2 + 2K0 r; A4 M9 ^/ [6 {- o. }3 S
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)' F8 I2 l0 a. f3 [; ~, Q
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
5 z+ Y7 E0 L' a! ~, |! E! c9 Uby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0/ G: \* Z/ P3 v6 g) D. M2 @
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, ~, Z4 {1 w) u- c, {                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
) l! M4 F8 j4 H1 G) O) a3 J0 j                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
4 M, K' ]* U, P$ c; o) e4 |1 f* I% [* b$ P) c0 q! ?1 K  V  H
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.' l' k6 r( Y. }2 s. z$ u+ c

. x, z8 A% i6 H0 E) j[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。: K! W  e3 j8 b! b
  s; P7 Y, p* Y
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:' L8 K! [# R% @0 `
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
' L6 j2 {: j8 \; Z' f
( F( m7 g3 c- t( t; O
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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