出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
/ O9 H9 U2 f9 n9 s6 ^
2。下边证明有没有毛病？
7 U( u5 F+ n, T/ H5 ?) d
' H& _0 w+ p+ s9 W8 E5 v& o/ v设  a=b

5 E8 t. A+ _5 Z  X' t则有： a*a-a*b=a*a-b*b
6 @  g* @+ T* U  B两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
, u: R/ T( c9 I7 X" Ga=a+b
8 f, ?- _, E5 q! V4 J" t* Pa=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

, D  k& y( b" R8 j& x1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 C3 R+ K9 ~& q& O/ f8 P9 o: h1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; |$ ^; t% x/ F$ r

" a9 U! f/ M6 K为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
7 {2 E7 L$ G$ i' v
Proof:
Let n >1 be an integer
3 t% E2 u% y0 o9 o2 P& f, h) {Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
2 A6 \6 a% w) A
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
( k/ [$ C, Q' P                                     K^3 – K can by divided by 3.
! w2 o! u7 u% ^4 A- d8 d' p/ e' m
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
! ?4 C- j2 h; Qsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
# D7 H4 J: F1 h0 i7 F$ v4 c1 }So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
( Q5 F0 `7 M8 f" O( T8 x% k8 W                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
8 {3 z& E9 f, x/ a5 x
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
: Z, \6 r/ T+ e8 Z4 P4 t, A
' S( X) Q" Y5 j  D第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.