出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
9 \  C$ c/ t4 l: Z% R: S
1 x# H3 Z3 h% O2 q  u/ H2。下边证明有没有毛病？
5 A& B1 i# g+ O8 [2 {4 y
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
! M6 |! I, P) Y- t
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
* J: G1 U: N- c1 D, Ba=2a
; r! C/ {* y; L2 _9 ]1=2
  [* B. P1 v% I9 [  _% z; U! S" {
- p. d8 e9 c& e9 x证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
* D! }/ x' l  h& j. m, z
1）不能。比如1
4 U) H" U: u4 [8 u2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* ~7 ^; X  `& I* Y9 }5 p3 K1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

0 T4 t8 S( ?) P% [( V8 R看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, l5 d3 J6 Q$ ~, b% m% ?

  h( h4 K+ k4 X4 s- ~: c6 ~3 J3 ]为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
6 T) }2 [% M$ L4 Z7 n/ n' p5 GBasis:   (n=2)
% C8 l; ^* i& F. z2 a& N         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
- p1 Y( H" S, j* {2 o% i
1 z9 K7 i6 o: uInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
* X; a9 o6 K: [. @0 D- D                                     K^3 – K can by divided by 3.
; u" a# C# s  p4 I. u5 m  _
/ b: b. L; v) a) r. T$ m" N( ANow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
) W; x8 \2 K/ @: v2 }Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
9 _. u/ X8 U) U( ?+ U' O                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
2 y: ]5 u7 Z- E                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
- e3 i/ }0 ^/ h: O" D4 t- Nby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
$ Y2 f# r, E9 H$ O" e7 x4 ~                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

1 [- e" t6 P3 c, v) hConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
; [% \: T4 C( f' h& ^
# d  W, D- u- }8 L: b[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
' Z. p8 [5 u+ o) M( x
" j* x/ j' z4 h+ b* C第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
! Y& _( F9 f3 ~6 TShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

: s$ R/ R) R% u9 R# q) o
7 m  H% o& o8 M- c8 SSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.