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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
/ h2 H5 B- x; X& G
- u# a) A, g% C6 M! F0 o( F$ n& s2。下边证明有没有毛病?! `3 p1 v- y6 W1 L1 [7 |

9 S  M! p( g7 b- N' _' Q设  a=b
  D" D1 u6 ~; X: _6 L+ x, m5 `! B. N
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
- t( S* N* X- ?两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
+ m7 e& _. O% x  F
2 |+ ]3 b  C+ L+ \) I+ Na(a-b)=(a+b)(a-b)
, }9 V0 z7 V; J3 |a=a+b
1 W, u! Y  |8 L: b7 ^5 ja=2a
% f: }- |( Q; m; _8 V9 h# ~/ A1=20 x- N; n4 }9 S% e+ U) g  ]# e( d8 c4 b

. l& Y0 D/ i- e证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
) O1 n, L( k7 b9 B5 j, H- t' B5 U5 f1 M$ }' S
1)不能。比如1! p; K: ]/ }5 ]5 L: J
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。0 G5 r' c8 R5 h; Z
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
理袁律师事务所
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:, U9 t, P( G& w% D
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。" O, T% ]- _* Y& D$ h
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
/ ?' P; ?3 K3 i, [( V1 e
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' }: G( x/ a7 `: C* f! f% P  q; z1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
8 b- h! |4 w6 [' K  H  T

8 B! z7 @0 n. h! `4 ?为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)7 f8 ]6 ^3 @' @$ t+ t
$ k, V+ o8 |& P' ?9 B1 E
Proof: ! ~" m! Q" G; m+ l& j' U
Let n >1 be an integer ; D' b3 W+ p  ?; S4 y
Basis:   (n=2)5 R7 h' @/ v6 o/ ^
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
  A# w$ J* F& {3 H
+ A! b6 F9 F0 n  e$ X& nInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
& P6 ?0 A, e) p+ Q& Z. y                                     K^3 – K can by divided by 3.
4 h3 `  @8 Q& [
' y/ g% V" B0 T7 ^- eNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 37 l0 Y4 `. b' b
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem: B6 @6 {# d# q3 P
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
* |$ x, h! @$ i& Y1 y( N: l                                     = K^3 + 3K^2 + 2K: W- X7 R0 R8 Y5 `  s& ^, `3 R: a
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
6 B5 G4 H( s/ p6 c' r; \- c                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
7 i9 a$ H6 C1 aby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
4 D3 m" X4 E# `# GSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)- r, ]' I' f5 y3 `6 r7 Z
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)) n) g7 s7 [$ B* K- D7 _1 c
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
# o$ r. z% \2 G0 o/ A  F8 H8 `& b
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
$ p, X' k2 C. w: v$ r. C- |$ u" C! A) y8 B6 i
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。5 n9 S/ A$ r* Z1 E7 b5 ^+ z
! ]# C) W- l' W6 p
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:' G" `/ s1 q: }9 @3 [1 r! c( A1 v
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

+ |# W% p( A) Q( o5 h, O$ R0 T) ]8 V( O' h
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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