出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
* V* R4 ~. f6 _, I
0 a6 a8 ?* H5 ?则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
* @# |' _7 z0 t; n% t8 T# b9 t' w! v
- E. }5 O; H- w6 r' O7 A* Na(a-b)=(a+b)(a-b)
! w) g# d9 ?  E: a" o% G  J" v. r; qa=a+b
  q' v2 \$ h, n! j- Ea=2a
1=2
2 c; I6 b% _+ a9 }7 j) W
, }: _3 N- r) E证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  R+ x# j. w. B% D6 W4 G& [0 H1 H; \% q2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
" I0 {' C0 T  O/ @
Proof:
  F6 D1 J/ v6 \+ hLet n >1 be an integer
% M+ J5 B% J' O' F* \Basis:   (n=2)
  y2 m5 ^3 Z4 F2 q, u: f         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
3 A* P( G' g5 A, l) o4 ~
3 n6 z3 Q; g4 M# |0 lInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
8 O/ z- P6 x8 r+ V                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
9 E, K3 d) b" ?2 J+ Q! xsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
% J5 r% @7 u/ i9 g$ n                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
) A, h* ?! F$ Z( W4 p; E                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
# R2 }% d% a3 T  N                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
  X% W) B5 L, Q  L  z2 J4 q7 O" b                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
2 ^- i! p7 l- H* @4 x' @
) T4 k/ l' R9 }# }, N6 e9 MConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
& X8 F( T4 e; s$ F+ {
7 M0 @7 z: H' ]: B0 A9 Y第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.