出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
* k  Q9 C; r: `6 Z
) A) Q5 q* M. a/ L设  a=b

3 l! m6 ?% w  k( T6 }则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
. ~6 J. t6 C% X8 [$ ea=a+b
6 p. z3 i! u  E* d, X9 Ua=2a
1=2
2 X0 ~+ k9 {6 e' r  ^- l2 X+ ~& Z
. h) H/ O4 X6 Y8 f- A证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
  l. @6 H4 a+ p' |, t0 Z
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
6 ]# m( z# y, f2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
7 J2 ^( a# _8 o+ |8 n& m3 v7 z1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

$ P6 A' Z* ^; q1 r- Z, p看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# t+ Y; U4 }9 a+ w" s$ ?$ X

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

/ `7 A1 H, ~8 x/ ?. x- t# H. JProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
6 {" C! t! Z0 r4 {1 g6 i0 u7 w
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
% G7 y( P- X# C5 t& ~                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
( d4 b5 G4 C! Xsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
. C. g; H: i# B8 l  \/ q) w, ~by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
6 `2 r2 D$ g: QSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ Q$ D( M# l9 Y& ^                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
  x# L% K2 ?. _* A  F! `                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

' |5 h# J$ J0 z[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
/ x7 ~5 Z9 a$ P- w; E9 M
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
/ j2 k: H9 t: y( e" S$ _Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

: a6 j+ _' B5 m% m# ]& H3 q
) Z4 T- E  }  A/ Y5 Z7 Q; lSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.