出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
) Z+ Y7 U5 s; ^" g# k, T. e0 l
1 ~0 R, ], Q& Q- a6 E7 b( w% g9 @设  a=b
4 Z9 m0 W! r) I
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
5 E( {& X6 ]/ ~. O  b
/ n  ^9 ]+ i( h6 {/ va(a-b)=(a+b)(a-b)
- g9 I. L2 C, {" A) o3 V- v% a# Qa=a+b
a=2a
. A6 W) r; ]+ a: g1=2
; F+ g$ X6 B" F& D
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
1 Y0 ]$ s' R4 s+ ]7 W8 R. m2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ X' G/ y: O: M$ ?& }1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 c- [) R7 l; A! ^! k7 U2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

; M# t9 {$ x2 ]2 _' o为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
3 W; p, p$ y5 u4 h( k5 ~
Proof:
% i/ ?9 i9 G8 B: z/ iLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
! Y6 O) O: J4 Y0 V" j% W! k; i% r; G         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
+ M# N! K4 K  M- O+ \2 {5 m
: q1 f* ^  g: u! xInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
' J9 h( ]7 D" j" t' W                                     K^3 – K can by divided by 3.

/ t3 X8 p% \1 h+ Y4 _5 C- qNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
: [) T$ Z# C2 H0 |: q6 j. F, j! E6 K0 O                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
6 U$ @( W/ y; u( V9 QSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
" K& t/ I1 Y! @! D' o0 n6 _* l
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
. A7 k6 d8 ]* |1 Q8 N0 ~
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.