出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
) h3 x+ ~7 L) b0 }5 P6 ~
. v! W! h$ Z' q6 y设  a=b
& l! `7 N5 B  s" A9 |, ]5 T" n% W
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
# S5 O0 H* O5 ?) d/ e+ Y, d" V
8 Y$ @, p& P! M( Q4 U# d3 S8 b/ }a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
* }. i: D* E1 h1 s8 M6 I0 P, d6 ~a=2a
1=2
! ~% {; I: J% H' b$ e
+ @7 H7 W0 i5 D% f$ F证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
0 Y1 `6 a+ V9 \$ v) h  T% ]
1）不能。比如1
! T9 R& G, ]2 d2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; o$ }) M3 x. F' p7 [2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 N! Z7 D: \$ S& e8 t1 {

' ]0 {# c) M! `* {) O# \为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

3 ~' C" `8 x6 w+ u% x! P& bProof:
- N/ W4 p+ Q' H- W1 W+ ULet n >1 be an integer
7 n$ B. q4 @( v7 yBasis:   (n=2)
3 K" D$ d( t7 i& y3 l         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
: U' p# a! Y0 O& Q6 N  V9 g3 i  ?) H
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
& m2 u8 m* Q: ^! p) k8 A* KThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
( T. e3 K/ K3 T8 g6 s" D/ Y                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
. z& z" G) d, o+ v4 |                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# \! `+ a; p  p, @5 p$ ~0 Yby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
8 |% K3 E( g1 V, N                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
- m1 o; j6 s, m: q% u. m1 v0 r                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
% P. i8 F3 R- x* Y
6 W& K! l5 I1 U0 DConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
* h( K9 x; d+ q* ~6 r! s
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
& e- H* f5 q6 n: S2 ~
/ t) e& \( ?, F第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
  @; z. k8 g: M/ c  q* m/ B+ F7 ~Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.