出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

2 R9 K5 e" |- a8 A' t$ _5 _: U( Y设  a=b
* N9 G8 F0 A$ \) _5 V) z
% X2 Q2 O8 V( N; D+ Y4 t/ C则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

: }" t; e' K5 g$ h5 E' Y9 m  ~5 sa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
5 k: k" k$ [2 }  q! [$ Pa=2a
/ H( ?+ E$ V: I0 c" {, j! H1=2
8 I. x8 u- a! i0 J
, o" D7 _7 ~5 z+ g$ F9 i证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

; T5 N( O6 y* `9 S! c, s1）不能。比如1
# ~. o7 i7 y& [" s2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

' M/ B3 T% x7 F! B为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

% X7 R' K$ \1 ^! |8 O( fProof:
. {& v/ G9 C% u6 c: l! C' [" ELet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
2 a9 @! _% n# d                                     K^3 – K can by divided by 3.
5 y8 u1 [, T: n7 o: E
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
/ u0 w2 H6 B3 [( b1 Y: p, Q/ x. S1 Asince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
% o2 @  k5 ~+ u: bThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
1 @- B9 z  g/ L' }6 K) Z; r& b4 L                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 i3 d" L8 m' e$ k0 Cby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
" [+ A# Z7 S$ m- P% ^So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
# J/ W; P+ p+ M# z  r# `/ r                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

+ r4 q4 a4 R8 n. Q: oConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
9 m# d  ]2 B7 O5 M; l
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
* l% V2 T/ `* ~: D
5 A' r" R" P, D! y( G4 [: W第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

' ]; y- I3 r# j4 r
& ]4 W$ F0 e6 |SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.