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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
  H- r: x* A. i# R: F: n8 ^8 k
( o. W- r) e7 B( t( t) ^- @4 a2。下边证明有没有毛病?
! D. G9 _4 o+ w3 ^& m( [: T
* {/ O7 [3 K) n! u) j2 G$ g% F设  a=b
& |' W* O1 {( U  E! S& |+ x2 r" a+ q) z: M/ H9 Q1 `! s2 C+ f
则有: a*a-a*b=a*a-b*b* m1 s* W, p" e) O3 l( _' B5 x6 T
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):) a  \( w: V5 Y+ Y4 F) f) @1 d" A3 }
2 ^" t# ^8 e0 S7 c
a(a-b)=(a+b)(a-b)" ^) u9 X: x) t8 k  ]
a=a+b  ]- ?+ e. ]/ r- N  T) p
a=2a0 m1 @. U. W- V
1=2# @  ^7 L! F! Z6 L0 F
0 c/ V5 T9 h9 K# \( |9 t" I9 Q4 J
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
6 l4 F, D1 o5 o6 I4 q  @+ A) ?
, F2 u' Y: y. t1)不能。比如1+ ]9 H4 b" J: W3 N) Y
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。. X/ D) p6 g0 K
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:" c" i3 S9 \! e0 I/ t" x
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。( [; Y' w# C# I) R, D1 |
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
7 x% ]' Y% H& S$ n% c% G8 d- e! y
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:8 |$ j' {5 [  P1 e: o
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
* i4 D) E, l- Y, q- n$ ^

% K/ b' d) U$ D: n# u. ]+ L6 s为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
, A) f. b7 {9 C+ ^) J& {. k" H, z* j2 l
Proof:
5 l  x- W% x8 L8 O# vLet n >1 be an integer : H% w/ y7 _( U8 o& g8 w
Basis:   (n=2)( h% {0 {( H7 e. h$ N5 ~' L0 k* h
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 31 l2 N5 }" }% T2 W) U& z

  k: f) a9 V4 ]4 AInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that8 y# u( n6 I% F8 O  |6 W
                                     K^3 – K can by divided by 3.
' \+ Y$ d" R+ ~, @6 b  w
: ?& p5 u  c! D. r9 uNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3/ F% B" Z+ m& p2 [1 l# {$ |
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
& v: ^' N: v4 g. L  A4 HThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
- ?8 u" s/ h1 o1 i: s                                     = K^3 + 3K^2 + 2K- I. I0 U; J2 L6 e. Z9 R, p4 l
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
9 l3 `) u7 F  W/ e4 G                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)) `; D1 Z. u/ }) Y# L) s3 h1 v- ^2 E; g
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>04 P$ S# j! D2 r! J  C( I, I) V
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)3 N- l; t3 v% K" ~0 u
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)& ~- j, f4 ^2 q/ n$ S# t! N& r
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3% b% ^5 Q0 x! x" w" j7 t, g

9 w7 u( {  q0 ]: c- {. kConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.2 k  t, A" H8 u# g; D3 i, \6 k

2 z; E8 l- }5 p3 Y[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
/ E) x' i0 W2 J4 A2 l+ Z: b6 F' Q  i6 f
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:" l0 `( \3 @- ~1 c0 D3 f
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
9 |  i. w* U- V  X- ~% H( O6 O% j* H
4 {# n1 J. H9 R3 g2 C+ m' I
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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