出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
5 y/ ?/ K. G# w% I
- v$ s5 y% h/ Q7 H. f" i2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
* x" h9 N3 }  ]
% \4 q- B7 i6 A+ I% Q, ^( B2 l3 ^a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
* p6 n0 k; ^# V2 n
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
+ F. X* R& K8 i2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* Y, M1 W3 `! @7 G: ?1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

" K& h0 x7 A6 @! ~3 y5 Z看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ z* H/ q* G# o2 u% _( _- A8 u

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

" i/ n, c, }! oProof:
5 i; ?- F8 A/ ]/ ~- X1 rLet n >1 be an integer
% ~, W% Y1 W" A) K4 Z& w0 JBasis:   (n=2)
% [0 k6 K: F2 A% V2 a. |9 D: T8 L, F         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

& {" z6 ~+ s, ~& K0 S! ?; \Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
, X* ?8 S& v6 M; C! u' w
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
+ G; G8 d: q1 \5 s! W                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
' l& h& W* j, l* e                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
; [6 p% o) T) a" S: c, H1 I, Y                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

$ _7 z$ F4 R6 W( D3 ?3 PConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

* _3 G0 }6 m+ z4 u; ?+ P[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

5 B  }4 j8 `2 s3 Y2 x第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
, X8 C# n3 v) ]. g4 I; lShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.