出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
& A6 v, g. M" r/ n7 q4 x+ M( U
4 R, Z. M8 D0 A! M2。下边证明有没有毛病？
" W( s" l( i! C6 J) Q; X* W* G) F
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
# u% K2 h) |6 [+ m! U$ z. c两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

4 ^# \9 e' y, g- `9 ~% s. l: b% Ua(a-b)=(a+b)(a-b)
- h; w3 S! m! f1 [( da=a+b
- d) y) b& A- d: s/ Ma=2a
1=2
5 z4 z  N+ @' y* Q
: }) c" d% y! Q8 F7 n% y# x- y4 }! B* ~证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
+ K* n. m* V9 Q6 ]2 p
3 [) ^+ T( Q2 Q: M& C# b( v1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ t/ x* m1 ?, I; C7 y2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
( F( ?. t5 B$ I- W3 M3 X1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
: }4 s% z! a+ B( X+ L: O2 Y1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
/ R* ]# Z( J- y# p* j  D% s- i  @Let n >1 be an integer
) O( l4 w7 a7 t, nBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

6 X4 r/ n, Z& V$ X9 t9 K$ gInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
) a# y" v1 N0 B2 m  n  v  E* M3 E                                     K^3 – K can by divided by 3.
: r& N% _8 I: Y4 r# |* s
' S. k$ m+ |8 M/ w, I% q% Q* T2 iNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
. d+ |; v" p3 p) z0 ?2 wsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
: k. ]3 L8 \0 n# R! T, dThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
; g8 m- N6 d( m# x* Y: ?by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
- `6 c4 s, f4 R4 @. \                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
$ {/ K1 _2 I# ?3 j
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
) U  J/ {: e) ^( G' F
. o& ]3 M- t8 y, Q  U: r0 {[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
4 A7 ^! @/ Z5 i# j" z0 {0 |8 |
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
5 i0 j) o" a7 S. qShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

# `+ V2 \* m6 M( k0 `) o/ J
8 h2 h+ u! H- [$ G) _# ^( gSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.