出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
, L3 m- n- o  ?+ j
! `2 ~0 `# i2 g# D7 w7 B7 I2。下边证明有没有毛病？
$ c4 @0 b7 E! h) E' _
4 o9 u: j. @1 G% N% E; F5 [' O设  a=b
- E. c; Z3 A. P- k
# F* B% t" w0 M* o, f则有： a*a-a*b=a*a-b*b
) _: J4 K5 x$ @, j3 k4 _& L$ H' h两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
& v9 ?5 y( F5 @$ c. S$ y( U. l
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
- t; L& L/ k4 o) i
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1 M' {( a, l6 y1 |- ~- w# Y1 F1）不能。比如1
$ q. T. x0 O" ]( P2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 {! v0 E4 y& ~3 o, T( O2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
  a' l' K: G1 S( P0 h! v# r1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 b! M8 R/ a4 Y: H$ B0 D* |: b" m2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

# V; H" Y$ p: P6 S看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& s: I" i5 [, V) L; @1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 X! K2 i* H" w( E& [" B5 ^

# R& g% O7 ^; Y8 x' C+ J( y$ l, a为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
/ a# f; @% g8 ^1 B" ]' x3 D
Proof:
0 L# E" G/ B# H+ eLet n >1 be an integer
, B5 F4 @* ^+ {8 L) C, s+ P. z- ~Basis:   (n=2)
( `6 U& _; K& p7 N& g         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

7 u/ g/ ]2 X2 v0 E& jNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
4 _: ~2 h) _8 J  f* n; lThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
1 i/ ~4 E6 w  ~                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
; y. D7 b6 Y* y8 `' p+ I' r                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
4 o' j) A% w1 S2 K; L6 C' Eby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
5 ~9 \( x9 g5 r: r& I7 r! cSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
* Y5 s; n4 D. h/ b$ R5 h                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
$ _3 P8 Z  |& Y2 S- c                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
6 A0 s2 ?: `+ q; }0 I
& P: S6 c- D- ~5 E; u: ~+ v. I! F) }Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
$ p, e: L' u3 w
% k' Y! p* V  h. l0 I9 K" i, E- ^0 S[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

( m1 @& ]4 a  p3 r第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
9 ^% D, U1 i# r# ~Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

/ p/ Z3 A' _4 h/ ^
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.