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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
- f0 J& e1 G  p6 ^7 U) {- Y2 b! l( ?0 Z, c6 b
2。下边证明有没有毛病?: `7 H/ ]6 P' M' i2 Q6 t

9 A# e/ q) r8 c设  a=b' n; G& ^$ _: j" A  h7 s
( B  W2 O8 e0 H/ s
则有: a*a-a*b=a*a-b*b# D: S% o( ^! K: k" R, q7 w
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):" s* B3 z1 N; ?! q# I7 ], X

6 f2 D+ D" b* P  g' na(a-b)=(a+b)(a-b)
1 G$ U9 D: J# t+ [a=a+b
3 x# l; L" y# n- K: f* Z; }, Z7 ^a=2a
9 [" ^$ g/ I1 G, ]' o$ e* d! N1=2! r  z0 I5 X9 d$ K" y. d
3 V, L$ r; b; T8 f
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试5 L+ C4 r% Y6 p& i$ n

2 _9 {5 S- ~5 L, e. @" ]6 s1)不能。比如1
- x8 ^6 J. V6 z2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
! @( l8 k/ d8 H, M" {# V. ^/ Q2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
% M5 ~; T( x% ?) ]1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。5 H# D  m. f3 `2 T7 P% j4 l
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

2 D6 I' `0 e2 b3 @% {* c看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:" y# a  P0 I3 d' t8 G
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
# Y# X' I& S9 f5 c7 H; A( t* L
8 c# r( ~% v6 Y  x* s' U, }
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
) a7 C- _* K) Z0 f7 J
. V9 F1 J/ q- h8 jProof:
: _! B2 l0 Q- ELet n >1 be an integer 7 v2 L, Q9 P& G$ y# @" g
Basis:   (n=2)( k$ d3 P0 k+ V2 C! [0 \$ S. ]$ b
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
( w. \9 ]" }2 A9 B+ l" Z* @; Q3 f! |+ Y2 B! u; s
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that8 \5 i5 w1 a/ ]1 q6 C, w
                                     K^3 – K can by divided by 3.7 d  A1 Q$ X  [4 Q0 G
3 O0 \# d6 U8 H7 e8 h* L( @+ t
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
2 A: w" r. N* ssince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
6 f5 \' q" W, b/ gThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
* a) r" A2 L' P8 W6 L+ q3 a                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
' d$ s  U& ~/ `& m2 ?. g0 o" c7 O                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
, c/ R! q7 w* G; o                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)' K* |! d4 \) o' d( C' Q
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
# M6 [) I7 {0 _5 q" r" W! ySo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 T: w4 g6 x5 ^: K' T                                = 3X + 3 ( K^2 + K)" L8 i' W5 p! G% V& X2 H, j* K
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3+ ~' w* ^1 ~/ f  o& a

7 o+ r* t, U- ?  UConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.7 [0 u8 F" b6 s+ U9 t  {
1 |7 k5 }4 d9 K1 t3 Z  ]% C
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
% M* W9 h! v; c, v, I2 f" Q; @
* b' I0 V# @' J  U1 m第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
( w- d) H* k& q! JShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
4 f7 P9 J% V! p" \8 R( C

3 k$ ]0 s" W) hSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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