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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?5 t4 x% q8 w( `( ~" [

* e1 c' {" i0 x/ [2。下边证明有没有毛病?' G) z" R( O9 T# }2 S+ C
/ C' ~& d3 j6 a3 E
设  a=b1 [) n7 r; Q* b- Q
/ G, _/ `8 O+ c* ~# _
则有: a*a-a*b=a*a-b*b2 W  d# P9 P, m! z9 i% h& T- _# r
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
9 U) S, D# V/ d: ^+ ?# m6 ]9 \& \& a1 z' B1 a6 v3 M# U
a(a-b)=(a+b)(a-b)
$ c; W( T# w$ Y, l" B* j! |a=a+b
$ s4 u; @  p% ga=2a
4 Z" O9 S; [( y8 z* z( t1=2
$ g2 n" a  N7 q8 V9 d1 T$ `. }! S3 o6 @
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
3 a! W& X! ^( x2 N6 |9 r; e
# e% D7 E) d2 O1)不能。比如1
1 C) o6 a9 r) F  }' {2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
  a( l# B! l6 u: \& Y- G+ j/ y* M- o2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
3 Z1 ]' H9 u9 M/ e: Q% b- l1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
3 l: D/ r5 Z1 m6 F2 s' g9 {3 n2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
" i1 E% V4 z5 z
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
$ {) t( D6 k  k8 b( X1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。- F/ z4 v6 R8 Y& m* I
7 k% D# S2 x4 Z6 M
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)0 A$ E6 @( e7 i
  i$ p# K, o/ O) x7 ~" Q; ~
Proof: 0 g! e  e$ v) c6 _( A7 {1 @/ I3 o
Let n >1 be an integer
# `0 |; y; S6 `' }2 b3 E; u) qBasis:   (n=2)! C& h" Q; _3 p& L
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3+ ?# ~9 H$ D6 ^* Y
  W* U2 p: @* D& q% ]" @8 l
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that2 y. o" B- c' p" p; w
                                     K^3 – K can by divided by 3.; ]2 D1 m) k1 l: D( Y( p/ |
, ?9 o( y% E2 H  A( ]1 U* \0 Q
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
& k# X  z- ]5 V* ]* e" Isince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem- h) Z; T7 w  a9 F
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)2 u: W8 W! i& l/ D7 n" x1 Z5 I
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K& ~$ N- }4 |1 y. a) @7 q6 u
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)7 W- C% O2 J* ~: b3 S7 i; _
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)0 E4 Q) M9 T, Z, v, _
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>04 m8 c- e  O3 N% E
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)6 Z! }9 K# H4 R0 `3 y' D$ q5 L
                                = 3X + 3 ( K^2 + K), i" `6 g* l( ], ]' ^7 n9 r% a5 s
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3( P# I, b0 r  e
; V9 O1 \( i4 s, A& j3 C
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.- j$ o; `8 x8 v( t
: H( o6 e4 i# u# ?
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。5 h) [" x+ k# S( |0 @: Q: n

& ]4 ?( o" l2 l; [第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:5 h/ R9 @' d& l2 {
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
; _! J' ]" ?/ u& Z+ t
, w) T' _  X% O- Z
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
大型搬家
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