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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
  S) D  L2 w% d9 k* M  t0 i3 r$ v
2。下边证明有没有毛病?- U  E7 A: u4 ~# d6 M' ?
+ ]& O7 O: M; J4 {0 r
设  a=b
' ]! `% D* D9 b* I7 Z6 _2 @6 I' l; t5 u. [: \4 k4 _3 h( }/ Z; T
则有: a*a-a*b=a*a-b*b% Y0 x: U$ S! q& S
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
, c8 K% x; c. m4 V4 H1 x6 d6 ?4 j1 h: j5 A$ n1 w
a(a-b)=(a+b)(a-b)7 B: w7 ?/ U; p$ h, J% r+ y6 g% c
a=a+b  S) n* I) Y/ A, m& B4 ?2 D5 n, U
a=2a6 M7 ?% V) |7 F& q0 r
1=2
& U2 J( f( Q" `
! a1 {2 U# L0 G  u4 [" j/ O证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试! V5 |6 b* |* j' z/ @: H) ]2 A
: T( O  e* @0 n% x
1)不能。比如1
6 O4 V6 m2 B% \9 D& }1 ?2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
( ^6 s: ~" k4 I0 z" W+ @2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:* A9 B3 g& N& b- U. }
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。" f0 K, @$ Z- F& f+ [9 s
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

  `8 v4 E5 f3 i" q+ u8 m6 a看!有高中毕业的!
理袁律师事务所
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
$ S" s5 y9 z  d- g: L7 b7 j1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。" M$ S8 ]! P) b  g# q

* Y8 D, n; L( q; I为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
7 F3 ]$ c/ d4 n2 p- D& C/ h1 `: e6 t; a5 s
Proof:
5 T+ ~2 Q3 {+ r0 SLet n >1 be an integer
7 q7 @# E* a7 Z) t5 U" ABasis:   (n=2)6 P4 @0 B0 h# v4 e5 C9 h* T
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
+ Y9 M6 h4 X8 X2 B% o9 t% B; v! {2 z" |" ?
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
; w; s' p+ E8 {" W* f+ \                                     K^3 – K can by divided by 3.
# b% c3 c1 h; P; C
: c; F! V; N& W# VNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3& N% v& }' z& H$ c# I3 }9 R2 M6 t
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
- Y7 E, p% I! u9 d: s( TThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
: [/ ~7 [) o! L                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
5 B  k0 [7 ^* b4 i0 z                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
7 p* ^) B1 i/ ?7 d                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)  h5 A% `- Z5 ?( A; V
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>08 q: x5 {; a' i- Y7 ?8 [; G
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)+ p7 z: V+ I8 y/ s  U# F
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)6 N8 _) I4 s3 s' k
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3! y5 b- h2 h2 q' ]  b
. \; \) {% I, t7 a1 D
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.+ K' @/ s: P/ ^4 f" n7 Z
% @. t2 \1 N) @& N
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。$ U, r3 t( b! P
, k" F8 P/ D9 ]7 z7 }, w8 T' `
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:9 f2 z0 s" e1 d( C- W
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

8 W" d% C: _+ V4 _- x2 B% v4 o" z, D$ v7 t8 v0 Y+ h
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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