出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
( V7 Z8 G$ z8 j: R. @( n
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
8 w- w& u" |5 `# U! ~
. Z1 z- K5 X2 O3 {1 o( la(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
& M6 J8 H# x. S+ x, g1 u% @, q! m) [+ n
; b1 g2 R9 v# Z' d1 p& n" o证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
! x" _" z- ?, Z$ b1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 s/ ~6 s5 P7 h) Y0 j2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

2 I% t0 `' U9 A: A. f; o看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
# C; A( h7 _4 u: G9 k5 W1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
' P0 [; ~( g8 S7 X

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

1 Q: u8 }9 f- i. D' J% F6 JProof:
Let n >1 be an integer
0 Y$ W# Q9 M& A, Q2 f0 PBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
/ S9 O1 Y, N  {) R: H$ w& _0 K# X
- i1 E9 n- t, L* P$ DInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
; }3 ^8 E* T- Y4 j/ m                                     K^3 – K can by divided by 3.
3 g. t' L0 F* _8 Q# p% s
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
# h1 n8 s7 w, m6 O( u- r( Wsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
, n2 }( v; c9 P, iThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
( `0 W& ?. d! }" K; M) V. s$ j                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
, u& J  L- s) [0 J+ ]& R+ `                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
( p& b5 j  [. b# O                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
2 H$ g4 I4 z! {/ R6 a                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
, b7 B% V" l! y
4 L) ^0 \- [/ o: C, m& MConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
+ o* L7 `, b: e
0 L, S+ b8 N8 m  E9 J. u2 j[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
0 ]9 a+ B0 q5 |- C
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
3 H) _* e) Y9 W- E8 jShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

$ }2 N% Y( E4 M5 A
" i$ X3 l, o8 \- V1 w4 ^- \8 @7 qSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.