出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

  n9 J( P& C; x: z. E* U2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
! {0 Q5 V8 p' Z7 ]两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
& L4 H! E7 _7 Y) ja=a+b
+ L  Q( n* T8 v! n! I3 pa=2a
& s/ j, j+ h! _: p4 B( A" A+ r1=2
0 g9 F3 o7 F% e2 C
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
; f6 K3 P/ `. `7 W$ [! ~% P
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
! ?* B, I* q! \2 m7 _6 z: S& b' o2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
9 U, c9 P3 U! [. J( b2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

7 E  I9 T8 C8 s4 ?- ^看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" P# A2 S- C6 ~0 x1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 [9 `! n3 B* m( S  @

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

! E; g6 T' g8 L8 c! hProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
. S" I6 Q- b- X2 S         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
" R0 i" o+ @. A+ R                                     K^3 – K can by divided by 3.
5 d1 j# b% j% Y% h; f/ i
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
1 C4 G" s2 s7 o. \! K0 M! dThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
  ~1 i$ S4 M( z9 Z. `" [                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 ~6 ]2 p7 d# C- H! J  y  G4 p3 {by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
) \9 E- P, q; v) e" r3 {So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

! Y5 c* w# R0 F+ Z7 H7 yConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
' G: w% X4 h! a/ W
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

. S" P% C5 V9 J% C0 I第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
8 T9 f/ g- Y* J) }( [4 f$ m1 YShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.