出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

: N& C! T. r: A+ N4 I' g# H5 \! b设  a=b
2 M5 }/ T& Z; \3 P
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
  D- {$ o7 a" `+ l3 ?9 t3 E两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
+ t( ~% p: N6 H2 y
) c* Q5 G% |! X) F8 @a(a-b)=(a+b)(a-b)
0 r5 h! J+ \3 `3 }9 o) aa=a+b
a=2a
1=2
$ I+ G% R) Q; f! Q) p0 J2 R
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

0 i: U& X' F: L% d: G; @1）不能。比如1
& X6 w8 ?! W" N5 J2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
/ ~, V8 T8 q0 F; \; u2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* e7 o1 `; l1 D  u1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

$ b, O+ ?) j" x  z. p7 h为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
6 j5 C3 N) p& d0 [
5 V3 r! h7 H6 n* nProof:
Let n >1 be an integer
  ?; F$ p, {" s- j$ sBasis:   (n=2)
, @3 L& q- x% G* y% Z$ D6 P         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
) \9 b. V% v6 v. r
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
, P- y% C5 z+ c# N% u+ m$ T                                     K^3 – K can by divided by 3.

! i/ N% B& V( P+ }Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
2 m; C/ J' P9 A4 Vsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
/ Z7 ]* C2 T4 h- _. d                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
, ?  l" T/ ~5 V- K) A8 w                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: W# W& p9 v; {9 m: Q8 T5 w  mby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
3 w' Q  V& s9 T# V: E1 F) I2 b                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
6 _9 w. t9 \9 u# H
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
0 w( R( L& @. m. v; d
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
6 P/ i: P6 B5 bShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

. i: k4 C2 G& n$ H1 Y: PSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.