出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
* n- n/ D) r& W
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

+ Z7 Z6 C4 n/ t; y则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
! W5 c, l4 D, g2 i* s  }! B
a(a-b)=(a+b)(a-b)
8 t. V$ ]6 ^; K7 c& na=a+b
a=2a
1=2
- D( B7 S1 R) v) J% g  R- c: E
& s) r7 }5 g2 C" P2 D6 `证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

/ m! ~2 h. I. ], {看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
- D$ n9 e/ G4 S$ ^1 s) M! D& x1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

8 l! q1 l3 t& }- `( O为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
% C. v5 I" t( h5 nLet n >1 be an integer
- F# A- `+ c# Q$ t  JBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
9 h3 g- b0 ~  H
! G/ n7 z3 z0 U5 ]& g: ^Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
: Z+ }: Z; Q. K2 \9 [5 i                                     K^3 – K can by divided by 3.
% W. v: s% w. R6 O, S, y8 q9 A
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
) Q6 v7 w5 Z7 ~& r7 Y; M. _' Lsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
# H6 E  x( x6 N/ @  uThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
: x* o. e$ ?6 |2 b& E. O% Y  n                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
9 b: ^- V$ r1 Q3 h; }8 T                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
$ Z* u8 `; y, Z4 Q1 Nby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
4 R4 i7 A; p" Q! P& w) w+ L1 S                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
! N  D! [/ y( D: g! G+ N8 f( s
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

! b$ H5 r! `+ Z# P5 O' i( R# o
+ h% N% J  q4 i4 g  R8 D& ]* A( ISORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.