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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
$ s% u% t! I+ t, W2 v3 G5 r' }
2。下边证明有没有毛病?
  J/ Y' S9 q" W% @$ E+ f, p- Q7 ~/ s
设  a=b
$ m9 H  H- ^2 [! Q
& C) j2 O% Q/ y3 _则有: a*a-a*b=a*a-b*b% B# M: I9 Y/ p' }2 D
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
: S. K1 x6 @2 Q1 o% F/ Q! A
, w7 d" n  g. G  Oa(a-b)=(a+b)(a-b)- |% C. J' S# `# g
a=a+b+ s" G# O3 V0 o. N
a=2a
: H0 H0 C" L; E, y+ ~1=2
/ g) G( h% |: B+ g
1 s  U9 x2 A/ n, X1 @' _: p证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
/ @' x$ e# U3 K0 a4 v4 |5 P- @. M2 h1 d  Q
1)不能。比如1. l5 X- `0 ?: k  Q
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
8 H) |3 O5 Z& T5 t- q8 H2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
0 A4 C8 N0 Z* u3 o( [' `1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
, {% a+ \. O; L" k, f* f8 I2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

! I! N  g3 U& P/ p' N* a! I看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
  t" W- o- A  i# O- T- k* m1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。7 m5 k7 N5 @; P. u
% y) I$ s3 v& n$ I+ ~
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
# t$ O, k( B, k. l! J; ~6 m+ N  m4 C1 P! _" \
Proof: 2 B, s8 `' I6 V6 w- t0 b
Let n >1 be an integer
8 M' C5 j: w& F# dBasis:   (n=2)
* w6 i& D, f9 u: k- w/ ^# S$ P- t         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
9 e6 a7 w6 ?# G2 V  r5 M
- \4 t( l/ U6 q" QInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that# A. u' d3 r$ d* n" a5 \& e) ^
                                     K^3 – K can by divided by 3.: f$ D; o" Z& q/ ?, f: b

4 t' b" G+ n7 J3 k4 N# s# x- F* bNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3' o4 m' Z7 b) D
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem9 A7 @6 u! _3 W& J# q1 o9 c
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)) L  s8 Z0 z& x; T* U+ K
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K- [; {& N) z2 F- ^7 [$ t( P( z
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
- S8 Q9 u, V' h! z                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)% L- d* o  {+ f! F" c8 e4 x" F
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
# [7 j" b4 `9 j0 m8 pSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K), w/ ^% q/ l; T- Q; d
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)7 b2 ?- e- L& ?1 K
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
$ t" {% ]4 n; J- Q' k: {/ ]# Y# q3 y& v/ C9 n8 w$ d: e3 D8 C
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
+ m6 A2 d  [  @* x! U1 q% [) a/ E  R. T+ ?) n
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。7 W( {' J& m* @2 e5 O

) f( G0 H) J' A" E& N  I第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
/ ~7 H. s' ^* `$ G% DShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

/ ?9 E: l" u4 l5 t5 ~5 k  S6 t; {9 G
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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