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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
6 ?; ~1 ?8 h, f. h: ?5 a' Y1 K& D7 Y9 q9 k/ i- H! z
2。下边证明有没有毛病?; O. @; x/ B4 W1 E/ ~6 Z# S& {/ _/ I) v
1 A( e/ |3 S3 L+ n
设  a=b
3 x6 {* ^" e" e' c0 s4 i" o; \" P. ^/ j$ t- C
则有: a*a-a*b=a*a-b*b$ U+ y: C. `" k
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
" s  m/ T# k$ M
* u9 V' `" v# y4 Ba(a-b)=(a+b)(a-b)9 w7 J6 r! F$ B4 m/ H! l5 C' g+ [
a=a+b
, t: I( M  N# G1 `7 w, Fa=2a& f/ d; H' q3 c# @5 ?1 Z
1=2% `) `/ Q* P# _1 [. Z

; r) O0 p5 i( O证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试; ^" z/ r; @) k- V* c, H
4 h, H2 D2 s. O$ a
1)不能。比如1( i9 s, Z6 j# e
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
: T/ J( Q- M# _2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, g) X  X, W6 R, E1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。( g2 O9 D; p. n8 L$ Q% @) a  x
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
9 H8 H: |+ {: E3 Y# K9 a! G
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:  e, P; W' v8 r2 F7 g0 Q
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。% C7 I# f$ z7 V0 n0 V

$ x2 |! G# @1 [4 b为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
6 M, [4 w4 s& O4 p! j! L0 Z" y' r% n! y; U
Proof:
* y/ b! A: v# q+ H* K1 {: A9 wLet n >1 be an integer
( g( e* c4 T9 t" F" pBasis:   (n=2)3 A' u! \! N3 C7 \1 |2 M7 O% Z9 R
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3% j+ ^5 g* k- `+ o0 B$ z4 x- T
4 b  n7 P, I6 @' K8 z, \8 z. h
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
9 U* C' i; u3 v$ a- c/ [                                     K^3 – K can by divided by 3.
/ a$ o& N. y8 S- b# w, a9 B# @1 K# k1 ^: B4 k) T0 l, ?2 Q
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
* @9 f: I0 z/ {0 F" N) {since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
& C% i( U( l0 {1 S- d1 d2 t" Z7 zThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
" x9 j' p9 Y' {. L7 t                                     = K^3 + 3K^2 + 2K! i3 m  O% @: d7 s/ x% w7 Y7 X1 B
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)4 P" x) E  S  i6 g- }
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 Z% T4 v( F: K! f) Q) h: }1 @by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
9 T5 R2 ]2 F; U/ w/ NSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)- U5 H/ e* m9 ~- ~" f* k) D
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)- `4 V6 \0 A2 Y5 b0 B5 R' I
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
8 n  l" Y1 a( r/ }" r6 _5 T
7 S! p9 S* M4 x' m( eConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
7 p! T" r3 I  }" {3 c! v# {: [0 q7 h
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
大型搬家
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
" @% m% H8 o) d. z4 e5 X8 P9 f, r/ \% _* I* S) [
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:7 A+ e) f( C  E1 Y( Z( S
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

% n' O! r* g/ e* V/ _. M4 O/ A
) f# F+ y. ]( ?: m$ G, y5 rSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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