出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
& b/ E1 U; N" ~* |' T  P
2。下边证明有没有毛病？
& S& o5 }! V6 j# D% \  C7 K! ]
设  a=b
& Z8 n* d$ a5 D4 A* m* A6 Z! A; Q# L
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
2 p7 a/ j, X) L9 G+ m; H3 A两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
+ h. J' b4 [  I7 q# w! b+ Z2 c; Ma=a+b
) U1 l& q/ G. c. ]  Za=2a
1=2

" h' y% {# ?" t" w证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
( Z: R0 k" v1 t( m
1）不能。比如1
. ]7 M! w8 }% n9 ?6 B% Y; R2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
( I( U/ s( e$ M) Y/ u% O1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

2 t" Y, o1 T5 l, `- o看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  Q* L+ e7 {+ D- v: t. ?

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
3 g; s! b) X2 @7 e
' F& E2 ~. a9 s2 V+ I; dProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
' P/ Z/ j3 h  w
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
7 p. H3 M" d- ]2 p; B/ E" [$ f  ?' ^since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
5 r" q) `7 e/ E( e. l* ^* Z                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
. Q" F0 h1 y& |% z. v9 D1 F6 F                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
% t/ P% c* \5 T) W/ U' O                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
( P8 ]7 @! n( d) `
( `" W, \$ F. AConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
  N' R2 }( A$ M% ^+ K  T7 c
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

5 ]9 o6 v# D5 k* J0 a第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
! E% X1 J7 f# J! {5 k/ TShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

7 `, `. J4 J( P) o. c+ PSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.