出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
) r& t) }& p3 L! l9 o) N
. T6 |( {3 ]# w; h: |  r1 ~8 j' w2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
* V/ N$ x9 v& X) p8 b. A& s) C) H两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
; M- M6 t- z& ~# l: ~4 P
4 z6 n8 X) {; X* k$ x5 ]; L' P0 La(a-b)=(a+b)(a-b)
( e8 `& E1 P$ ?, n/ l5 pa=a+b
* @5 @  R& d3 a7 K5 M. xa=2a
1=2
0 H# I- q9 z4 Y# f
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
6 R4 n# `$ e' |; G0 Z5 o
1）不能。比如1
- T& _$ g3 s6 M- d* Y2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( i9 v3 `+ x4 }2 e2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

: l% C! u* J7 _. }4 r看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, j$ q" K/ @% E. X9 v  a' o2 h1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 ~4 @) f' f1 ^* U7 O! y6 H% Q$ ~. k0 v

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
% y: U. w: v* s; L
Proof:
$ a: h" x' t+ pLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
2 z1 Z% I8 b4 B+ W/ g4 O         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

! C( b5 \) b. E& _. wInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
3 J7 C; J' }1 e5 i0 x: ]0 I3 G                                     K^3 – K can by divided by 3.
" Y; J  B) P) q) |6 S
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
0 ?, T& j5 I, f5 j8 o: k                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
. f1 [8 s' h2 B* I0 D" d                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
: S4 U* y$ S6 Q8 v
8 ^! m0 Z0 a% q* S  j4 N. pConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
; i; d6 k* H& g
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
* C9 M4 N) `6 \8 p6 T* g3 NShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.