出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
& ~% X5 B4 C; \5 [
2。下边证明有没有毛病？

6 o+ j5 h) Q: L/ ^$ Y  n设  a=b

$ S3 z( P8 |1 a7 a0 ?( _. K则有： a*a-a*b=a*a-b*b
1 u/ N. u) a$ r" b: a% m两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
, O2 R- e! x- x  w
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
: b# W7 V2 z: ?- S0 u! H  d0 }a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

& i; e% k% B3 P: R, B看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 s; p2 E. m5 C7 ^: o6 ?" k+ [1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 l$ M3 w7 P2 m( y$ w0 G1 ]+ o

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

4 L) D- v" j2 E% mProof:
Let n >1 be an integer
, I3 N( ~1 ^8 U/ k8 aBasis:   (n=2)
6 y" j, I& U. D" v" w4 P+ o& S         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
- `- J- q0 ]3 [  u" {% [  y
' q; X; e& X* r; I# c) `Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
7 R* H; G3 e8 g9 m, {                                     K^3 – K can by divided by 3.
  @7 v4 [! O8 S+ V
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
! h6 F8 d- ?# X& M0 Z6 }: q* H, w                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 _4 c6 U3 F4 y( t' q+ K                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
- y3 i& T/ y3 G, N1 S                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

2 A3 R8 B# j' v$ `Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
) y/ M5 N* H4 _; N
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

! U/ b" S; _8 k第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
1 G4 W  R5 T2 v4 {/ YShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

2 t6 n: Y4 e- O( T
+ e8 U  n/ R- WSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.