出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
% K' \$ N/ p( u5 V$ b) ?
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

5 p" f& y, b% w, H则有： a*a-a*b=a*a-b*b
% x) v- o+ n( e, F/ d# P两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
- ^$ f, M7 I% D7 B1 O8 g& i
a(a-b)=(a+b)(a-b)
* u% [! p, m! {+ aa=a+b
9 e7 S0 r' Z3 v7 _3 e5 C4 S: la=2a
1=2

/ w9 ^( ?2 F( W  \$ F# n2 q+ ?证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
+ ]3 S0 p0 X- B; h) h3 A+ ?, S
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
7 ~& Y7 |" |! i2 h% b+ ^& l4 `4 x1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

7 m& w: q: Q/ u7 v4 ~( }* n为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
# k1 m* _* R5 v) f9 pLet n >1 be an integer
$ U3 ], S7 s4 p6 T3 t5 s, @Basis:   (n=2)
# C. Y1 I) B8 D* e8 Y9 U" ~         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
. X' e1 B/ i0 U/ g' |! M9 ^" E
0 m$ p) c& s$ s4 cNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
8 Z. x* _3 h9 H+ ^5 |6 BThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, j" {% Q$ f& z% u; Pby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 s, s, r1 B5 _  s: u- M                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
9 u. m( w8 l$ y* H1 a
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
$ C3 J% H3 |& \! L) T' d! Q
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

3 U2 z, c# e) Q/ t
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.