出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
" N4 K' d3 h1 f- z# z7 e/ b1 L
2。下边证明有没有毛病？

. C' W: ]' ]# m, z设  a=b
' J/ |; }) Z. m+ ]' c
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
# Z2 F1 o1 Q; c" \" M9 M6 Ja=2a
1 x; S# R9 @! S5 h) E  d+ q2 W1=2

/ p( @8 @* {2 q1 @证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

( `& z9 k( l# J7 {/ a1）不能。比如1
% O0 D! d7 B2 T) M* |# @* |2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 \9 W4 S/ T0 C' G1 E$ X* q6 ~1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
' Z. p( F9 c' q' X5 {+ LLet n >1 be an integer
- S, {; r) E4 O1 F. r8 jBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
8 J3 |; j1 o! A; q% Z4 F
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
' ^# q( \  ~9 c: u2 [* j                                     K^3 – K can by divided by 3.
, Y% o# t! U1 o$ Y# a  N3 q5 G
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
1 Y: o- b) L5 {% p7 C: QThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
5 a, ?( Z, {; U7 O; @                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
( U* k" P  O3 c# ?+ |* |; @                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
" F; N5 a: K2 F! }& Xby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
! _8 Z. C  h3 W/ t# K% r" c: VSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: b4 t5 g! C8 ~( d6 r                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
6 b, L' y! C, L9 X) `' t
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
2 r: E; p2 t- c5 V
1 G7 B* _2 Q7 w[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
* X4 O: n) Z- XShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

9 {& F/ x3 G7 R9 o3 T0 X" O
' e! z8 ^' V' o) e; b& u( N' QSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.