出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
8 a) m0 ^" b- ~; n+ [$ ?
+ f. G7 @" S8 V9 k2。下边证明有没有毛病？
% C+ \; d" W& n$ q
+ j; T* @' C: _设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
/ g( s5 p" o% r, v6 Q/ Sa=a+b
, S" w6 L4 A% H% J) Ra=2a
2 ^( H7 S( l7 M: |. v1=2

: N5 @1 @4 [9 t/ j2 x3 s* I证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
) ]5 m  X+ y/ n! T( Q
1）不能。比如1
( Q: S5 y6 }+ p1 W6 H9 i# V/ i2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 V6 ^, n% o% c+ k3 w2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
: H* q. T: P  ?5 k7 ?1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

" X) m% q% D! \Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
8 B' u' T" L: r         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

; s: M8 b. C8 x6 s/ \6 w* [Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
4 [7 p# y7 O' E; V4 y0 A
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
& @5 s. c/ U$ Z) v* psince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
3 V' a3 v, m* {0 ]$ I& ^: @; K7 n                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
5 z+ Y7 E0 L' a! ~, |! E! c9 Uby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, ~, Z4 {1 w) u- c, {                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
) l! M4 F8 j4 H1 G) O) a3 J0 j                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
4 M, K' ]* U, P$ c; o) e4 |1 f* I
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

. x, z8 A% i6 H0 E) j[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.