出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
* ]  A2 o% l- }0 w6 N
设  a=b
9 n( G: l* X  r$ X7 y8 m( ^7 K& m$ K- |
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
' z& e' z6 x6 Z1 d两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
# \7 \+ @9 v) n* Z  ~
. z) @- R+ v9 n6 Ba(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
8 \, `/ U$ D; m' p1=2
9 x* U9 \) M' W9 _$ y6 e0 |
$ a. ]. K# J' Y* j7 @: g  Z+ e证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
5 b; v1 E( E; B: C4 _6 N# m
* O: w  b5 u; R! e1）不能。比如1
3 y& N! B# I6 n! ~  |$ u/ i8 F2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 R" B" U: A) o/ P& i: s2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

" Y  t! Z, u+ W4 F" E# `. l0 |0 V看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
6 a" x! L7 C* e3 W1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 m: m5 k- T. @+ W  \( ]

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
9 Z3 }# B+ \- w0 F+ {0 e. z1 C( XLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

9 b& M% T1 q1 a. UInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
" t  t* c; h2 ^! s" N+ A+ R% v6 n                                     K^3 – K can by divided by 3.
% `) m7 n8 f2 E" A! n
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
  D! t  ~  Z1 c' R* R7 ~since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
+ G8 s6 r) P3 U7 o, q" ?8 K0 o: @                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
: R. ]! D8 R; V% M9 \( w                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
3 x  K+ N: d% A8 _% l; _                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# v6 ?  Y# w! L* I2 |! W0 [3 Gby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
% i% z$ X( q3 @# q. _1 ^1 B$ qSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

- m1 F" C2 V" D5 M1 L; M; yConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

2 }9 |6 Y* _" c9 T, Y7 n1 v; V第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.