出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
0 s# g6 h' c$ H7 @  I( x7 g/ Y
) B! i0 [9 a6 G7 ~1 b/ y2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

4 S. O. a+ v1 N! u3 A则有： a*a-a*b=a*a-b*b
1 z' B# y- O  v3 C' @两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
9 c: U% @  v7 F# j
7 Y. L" s# F, f# O+ h; N) ]a(a-b)=(a+b)(a-b)
' o/ H! g7 f/ V2 F! z3 j  n! pa=a+b
9 m  I, Y6 T: L. ya=2a
1=2
. U& l3 M9 S; ^* _
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

$ a( B4 q' w0 P+ e1）不能。比如1
8 e+ h* E$ Q/ g! Z' E: f: G2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" U4 `$ |& S3 I1 B$ a1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
9 c( Y- [/ p9 m& u& |+ I2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 }, [9 c4 T( p: N; p) y

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
# ]) c# `0 E; q; C
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
3 ?. u, @0 }" F0 _         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

2 g- N/ P( Z/ rInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
3 i  l1 q+ f, p4 H$ x0 k. S
5 O5 Y1 G! x5 f  N/ WNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
: K+ Q7 ?3 Q$ C; LThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
3 c7 \, O8 Z" Q6 M8 j                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
; ]* Y8 i- B/ i; s: l( L; [                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
* ]/ X9 x+ Q' o1 ~" DSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ m# h% a/ T+ a- E# {5 a7 g                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
3 Z6 g) g; N- A  T* O+ p1 F* S
( n; Y* a2 P4 A9 LConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
$ v$ v$ o& ?  R
3 n$ f" k  N1 u7 U# H0 o' q, X[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
8 P6 M, p/ Q7 @" q; N7 _; J
& o& A$ C  i  c* h" \第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
& I3 e) k! `; y5 m/ T  hShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

# g, s  q. Q- a2 l' `; ?1 n
1 Y# w8 r# [8 w, H' A" g9 A; p: qSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.