出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

* E" Z2 k/ G9 H( K0 Y" t* Z2。下边证明有没有毛病？

# H5 M1 O" T$ o  {* E' h设  a=b
7 ~( e; d. l) T9 ?
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
3 }% U/ k7 b! h1 U4 |8 Q' b两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
' R# j6 F. n, E
$ \2 |) K) E; L! z3 O9 V/ Ia(a-b)=(a+b)(a-b)
5 v. K  b: l- ?* G* C4 ea=a+b
# i7 O7 o, O. ]5 g% w- v( M, ^a=2a
6 d: v: Q8 I, J. o5 k3 e- D( H1=2
; P# m8 h3 J7 W" s
* c  q5 Z; v3 ]/ g1 ]; z证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
$ b+ l- y3 v  m* U% d5 O
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( \1 J2 p1 l0 m" Q1 L9 ~9 D. p2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
- V+ C. j. R8 M8 Y  p/ d6 s. s1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" `  g: a% ^7 ~2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
% D- b4 l* _, N- R1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
# r. U2 l6 s, TLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
# C1 ]" E! C% g         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
) x# R* L8 h. R
6 D" Q: y7 Z& v4 N9 b# e, RInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
/ I2 C( L3 c7 ^2 t( t' p9 k/ [) B
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
4 e6 M& _8 s7 [" E+ A7 S" W1 g                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 X0 J$ I. [' w' V! x' Vby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
0 @, M: l% e/ h3 }/ ]* X8 y                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
* Q9 x6 j/ ?7 H8 `
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

: v) y" m& D7 \% @) {$ n/ I( X  j第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
# e- Z1 ^# f! @7 IShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

# d* d# E4 i& G# J1 k1 f" USORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.