出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

) w1 [0 R. O) r5 E! n5 M设  a=b
! [. Z5 H  H& s4 [- e- S6 M7 z$ @
. W# O5 b9 m% x4 w0 U4 D则有： a*a-a*b=a*a-b*b
" _& c& ^6 a, {9 O; Q8 d两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
6 y/ O8 A& F) x- P- X: @- e2 x
/ _% ?" p/ \- C8 f: r, {! pa(a-b)=(a+b)(a-b)
* `* c  s( ], A* ]( N% n1 I) Ea=a+b
a=2a
6 x; m: x6 L) |6 h2 [1=2
: A  g( h: s9 Z0 i/ d
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

4 S% a; v1 G. j/ W& ~* R1）不能。比如1
+ T5 n* K: Z: N- X2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
) Q4 L: a+ ^5 l! w1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; }( a8 B1 k* o1 z$ h& V! K

5 S2 ?! E4 Y4 }( L为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
8 s0 }! ~, U9 D) q# o- @4 H" P
. O- \( V' ^; a5 BProof:
Let n >1 be an integer
* U; z6 d0 y3 k3 @4 k/ LBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
7 p5 i. n/ k5 _
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
6 {+ y( P  F' ^  W1 k5 L- o                                     K^3 – K can by divided by 3.

) Y2 p# W. w5 Y1 L4 j0 [' ~Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
9 s% m- {$ V% @, q6 s" U; wThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
& w2 H) ]+ Q# }( d) [4 W                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
. X+ l  v% o4 H) P6 l2 ]' a                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
# C  k. D/ C- t6 c( ?So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
/ `/ X9 P% M+ J3 g+ v" f
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

% K1 X& d! j5 K0 R( i第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

4 f2 Z) o. D; o9 i0 Z" x7 M2 n
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.