出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
% u/ ^3 x+ a" u  E- Q% ?* Q
2。下边证明有没有毛病？
8 G0 E& O. U% r% J. V; k0 E
6 }2 o: p! p& t. F4 l6 b! U设  a=b
3 X; |) |  a5 ?! {4 F
  ^% Z, T! B% l% K则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

% j& z6 x2 x; v: |a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
4 m& G* ~. p1 R% Va=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

! S* h+ [$ q9 f1）不能。比如1
7 A5 @1 K7 }7 S; ^( P& c0 j% _7 ~2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
7 h3 t# X# R- F- N8 r: f! t- e1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
6 J0 [: h# @; [# l9 k( w+ c2 a. m2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

1 p9 P3 [. `5 }3 u* G为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
8 p$ }: D, T; G$ ]; |: ?# N$ U
Proof:
; F- ?. f& N$ V6 c8 E; GLet n >1 be an integer
0 ?  g% f! I; s7 DBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

2 }# ]) D$ ?# W3 d4 I, B0 F- B2 o0 uInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

4 c6 b( E: S" q  h' rNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
4 z* `9 x( v' F7 |  p                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
4 v2 x+ l# i' ]/ I! M4 m                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
7 d0 r6 E, j  R2 x                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, B& B# }. L( r( m$ G7 aby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
1 F! C% a' V0 G; u4 p                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
1 |1 a8 k+ u9 K, |. `
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
7 C. d* \. m% K" V, \
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
- D4 T9 x- x  t
5 X" t( ?6 C1 m4 Q) x% O8 r第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

* [# y' H# q* }
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.