出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
/ n2 ]) Z8 i1 N' @8 R
  H* X: T7 J  ~; h# @* r) ^+ W2。下边证明有没有毛病？
& K$ u# ?% S8 l) c0 V5 D- ?' c
设  a=b

8 o% ?+ Z) y# l5 ~7 L则有： a*a-a*b=a*a-b*b
2 n& H$ l9 ~/ N; q两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
' d# _7 [; E2 H; w8 Ba=a+b
a=2a
1=2
% `% g4 |2 i. F4 p' p
  Y! C7 L/ _# x- J# w+ E. ~) ?证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
; G, m7 }/ ?) K# _6 v
! {$ l3 {# d3 n/ ^, v" o1）不能。比如1
' L' p1 S+ P3 A! u* l% q2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
6 Y  z  _( \& r7 D) u" B2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

: D+ U8 Q3 b( S; X( g  T8 F7 k看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
4 L, T# t( s' g7 z9 A" m6 v1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
% \- ?/ s/ q( `) Z: E$ t
Proof:
) J  L4 Z4 d+ [7 t+ uLet n >1 be an integer
, x6 @& d1 `. ^% r% g9 UBasis:   (n=2)
+ `9 |- K, V' M9 i) O! {         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
$ y7 j, j/ _. C/ S; F
6 A, g( u" K$ Q, Y; |! nInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
1 G" G9 S5 P; r! p
: x0 Q' H( W) C6 G% J$ DNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
# g1 s; S* X- R  ^8 ^. M4 P/ zThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
7 F6 z8 v9 ]  i& B  {7 U$ h                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
  I, ^2 e0 a  U6 p- o) d                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
6 Z  b. g+ z( J9 i2 ~6 u& n* e" C8 v
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
7 \; D) q1 f* C. _/ |# `0 V% ^
  \8 k3 t7 A+ O% L$ {0 _* T[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

3 \$ h+ W3 f$ B- X: Z) l2 C& M2 `第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
, }5 p& h3 q* t& _" ~: G9 _Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

/ \' e* T% K# ^1 H  d: U$ K
: P& \+ c. A! SSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.