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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
( ^6 z  W+ `' E+ D% g# I
9 X" x0 @* |* }: h4 t2。下边证明有没有毛病?
1 t+ X2 s8 X5 Z( H7 y" ~2 |$ Q3 F; \5 @2 D5 T. w3 u
设  a=b9 Y" u% N/ m  |2 i: \9 L2 U9 J9 N

+ {) i, a3 E  D" h, {6 v3 Y则有: a*a-a*b=a*a-b*b; s: h) }3 E2 {4 t: v0 Y
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
6 c! f7 `8 }1 ~0 q! ?8 i) c" A# p* e, k- w7 f, h% ?
a(a-b)=(a+b)(a-b)) _6 u/ r" {4 I! M9 ?3 `" z
a=a+b
7 @- R* j6 A2 X# [a=2a# Z; `3 S# V( j+ I. O
1=29 i3 ?4 b5 H0 D" Z
# k- D' }4 j) @  K1 s6 L' _
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
  d5 E, \* g3 f7 h! H9 j3 S2 }, a  b  [. g6 x+ q
1)不能。比如11 `; f3 K+ S" J4 Y1 N$ t& v. t
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。; d# A) T: o* Y
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
- A, r  g/ _3 _( l, G" \1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
( _- d7 \; [! h2 T! k7 k& X2 [2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

- U% x/ {. ~3 C; p看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:1 T1 {7 X* g/ e6 w
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。( W, H6 t: y2 t$ ^# f

; O* l3 y# I  ?. Q8 ?# K! [1 k为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
0 L; d! R6 d0 X  V
% \( Q2 ]+ y4 Y5 O% B/ LProof: - j, d2 _% O" C" G) U+ z
Let n >1 be an integer
  |( j; k6 j8 ?$ N5 x5 ?Basis:   (n=2)
0 }6 L1 \7 p* f* C         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3* A+ n! e* N1 o5 M8 x2 M
4 s7 a* [! A; ?
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that2 _$ J, o+ L/ Q/ U: q
                                     K^3 – K can by divided by 3.7 b; z" Q: c" ~+ l, [) d$ I, Z

2 }4 z/ L2 R; }6 ]$ G: C. \Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
9 {+ u. M! i3 ]: d: E! q' Vsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem9 J* h* n# ^+ E. g6 i
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1), _- Z. X0 U6 ^" D+ i% ]
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
. V4 ~3 p9 l3 z+ p" r+ K9 u                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
$ s# P' Q0 |5 E7 N4 F                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K); K0 ]7 [" U+ E' A
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>01 p% v( h8 a8 U( T( j2 d
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) a: t2 C5 `9 d3 l                                = 3X + 3 ( K^2 + K)9 C0 x* f  ]5 c! f* L. V
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3" }6 A$ T2 a$ a1 |
0 C, T, B" Y  V) @7 c
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.4 E: b" t0 b3 }( t4 J

0 d; |2 \' D7 {+ M1 n. w[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
& S/ y; e& p1 a. S. _- M' J2 T7 t) F; ^* H, \
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:5 ]7 l' `, M" z4 g/ A, Y
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
0 y! ]* X( m) h1 q3 u% n  Y
# X1 b# K9 L) C. I
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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