出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
/ z1 o: ^- P& J: u
) V6 T$ K7 X; S6 @# x2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
4 _, ], o2 G5 ^8 d& w
1 w% Y  N0 V6 P' I& c% r则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
7 V2 E# \2 {  ^  e5 J8 P
6 J. v7 l9 G6 N3 i8 fa(a-b)=(a+b)(a-b)
; g3 I1 X7 q- K' v7 K0 ea=a+b
a=2a
1=2

6 [8 j2 h" P. D证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
6 U0 z* W- w$ U, Z
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% L- A7 x2 g" |. W+ [1 w2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
2 l0 M3 v- c, D" |5 o# v1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
9 u* |8 J" h: r/ g& F

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

# r3 Q6 R& ?# h5 q! `2 PProof:
Let n >1 be an integer
2 R' S$ Q/ \/ D: tBasis:   (n=2)
8 ^2 A! [1 ]- [9 q- M5 c         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
1 L! X% l1 ~8 t1 E( s                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
$ k" P5 g3 Z' X' l% v: e" Msince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
9 b* i# @- R$ o' @) Z: j                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
7 U+ ]% f- ~/ Q, O                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
% u& `9 Z+ @7 |. ~9 LSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
% u3 S. \4 X0 z7 K  j" ~0 R  T  x                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

6 F; w2 {! Z- |! I# {* _8 z# z0 ]Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

3 ]8 p: j9 d# H5 g/ j& Y( W) X[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
. [! K) i" @1 m& N
/ G6 g5 j+ b7 r第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
2 K5 ~( O) Q# |- H& b. t* TShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

0 P4 Q% B0 s) x" c% i- \SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.