出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
# Y: F) s% c6 K$ {8 }
2。下边证明有没有毛病？
: `6 ?% w! K+ i+ h7 L; {% D# e
2 s% b# ]  V1 K8 f: r设  a=b

3 m% d% c9 P% Q5 X/ Y% F则有： a*a-a*b=a*a-b*b
% J) C. C- Q( A( ]! k6 E- v两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
  ^8 E8 P- r# [3 I: S0 F5 S% Y
) j3 \8 S5 V4 c' L0 E# Oa(a-b)=(a+b)(a-b)
( b; g& X4 m1 m" s7 n. j' wa=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

+ j' r' F+ ]( W6 V& j1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 u! \5 W) M- w6 c' H7 p2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; }0 H0 D) v$ H+ M& F2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, `- j% C5 S5 _# k2 [; A

) x% T& O9 u. K; L5 U5 D; E- F7 j, j为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
3 X. ?6 _4 H0 G- a1 ]
* a4 P  i4 w& w3 b: a# hProof:
# l1 v  H7 ]: ]Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
, M5 p4 P( y" Z
  H1 p; a* y( h% @: I0 F% DInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
8 \1 t8 b; k( g4 b4 _                                     K^3 – K can by divided by 3.
; _) U$ T/ y6 `2 R- B
2 l$ M# ~5 W0 I5 ], @3 ANow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
0 |9 @& s; D# F3 mThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
  e9 i! W7 J6 G% D                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
# l0 F* |3 f/ z% q9 k  A( |1 ]                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
0 e* s& j6 h3 w& q1 V3 K- W                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# C2 d/ ~& s9 a8 n9 l" Rby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
4 h% ]1 ?. ?6 I* P; b$ d$ O                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
: d% u3 @, |) Z1 @+ ~$ G
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
* O) q! |, R2 ~2 ~2 ZShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

' U$ `# l- s  y  j$ f' _
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.