出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
* p( a/ w* @% T2 B/ Q
设  a=b
/ G# B" l1 A# c+ ^3 _
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
. D8 Y9 W- n6 S! K8 a两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
$ i, k% A0 u9 U9 h( Y* a
0 @# ~: ^9 P$ E, Q! Aa(a-b)=(a+b)(a-b)
0 L9 |! z% n: C( ?1 @, g2 da=a+b
a=2a
1=2
3 h+ o  G& B! X
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

" k* s! g1 P/ [; N3 r7 @1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 R2 k& }: n1 y4 R2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

* I2 N0 [& o) v# }4 z看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
) ^; k8 }9 d* J, n$ e. o* m1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

' o. w5 z' H% b为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
9 M; {; U; F& W# V+ x7 ^         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
8 g" ]% S; V+ `# r$ c: k
8 m- l/ U: v! r% s! B' A4 l7 @6 s1 Z! ?Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
* h, p  r$ B3 P/ p+ a. Q                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
7 u( i( z- O6 h7 G5 Ysince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
0 A0 w0 R* ?/ k  {# pThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
, r% k8 O5 D; y0 k- g& Y) F0 ?So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

! d' f" ]  Q( F0 J! {Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
# ~$ T9 U  ]2 j+ J$ m6 C% nShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

3 F5 `' i: L/ l8 B4 ^1 mSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.