出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

- Y/ r" ~: }) T# n: B2。下边证明有没有毛病？
, q! V. r" l) y& _4 X
( c/ E( s; ^5 ~; X" r设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
# @) W8 r% z$ d3 w+ f两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
8 u' f7 t8 @. U
: v+ U. _6 p. X+ r5 l" b4 a; La(a-b)=(a+b)(a-b)
6 C4 q  j2 q! B# z  ta=a+b
* I! @) K6 |$ @* T2 c7 B9 ?/ Ha=2a
1=2
8 a- p, B4 C' V0 a5 c
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

0 w! T3 `9 @5 D$ N1）不能。比如1
3 q2 y1 U, I& h$ m, \$ y2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' X( H0 c( j1 X# L0 c9 k) D1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" u# |6 J# |  y9 D; I0 @5 ^, m* L2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

# ~0 f/ ?( j: a; L2 w8 D; w! w: B看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
: l% z; I" o" f0 U2 Z# h% }1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  U2 [! H+ c& [# x( C+ n0 B+ @2 @

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
! h" h% @- E- R; v
6 v. d0 `9 z: `* p) fProof:
Let n >1 be an integer
  ?  V, w' ^0 Y  h; |Basis:   (n=2)
. i& q# H! b' D) H+ t         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
. ?; u6 ]) v4 J' J5 D- esince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
/ U& ^) p8 b/ T7 \+ O; n6 o                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
/ H+ m6 x# @1 z2 X% J6 \) H8 O                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
1 s4 T  |4 P' Q5 \, g" M+ n4 B2 |8 b$ |by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
1 o8 l' _: ^7 C9 q7 J  Z' I6 G) J9 ^So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) ?) C" O! B& K' j$ T" d* b                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
7 f/ c! S* W4 h( \5 s) {" t                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
% D' G0 b# Y1 E% a& s
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

) E0 e+ j8 W, m1 |( }- `6 n2 J[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
, _5 n  }6 _0 v3 z, l! R
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.