出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
  J" J# \; l+ f6 D
* W$ |2 k# y: k) n, m5 k" M' ?, g设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

( E, q3 k1 h3 Z/ J. X4 {$ qa(a-b)=(a+b)(a-b)
/ q" H" h! ~, C4 k! Z, }# A) ka=a+b
a=2a
1=2
) f/ c( \3 v, }8 o' l) T
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
) v" ?5 {5 R% P2 M9 X3 F
1）不能。比如1
1 _7 j- l/ N0 a2 [6 O2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 e- E4 f9 }7 V. |7 m2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
2 A. L; r; S/ o9 u& s! V7 @" B1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
. Z9 k7 s1 l5 @2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

- o0 u5 M4 ~5 ~+ R8 P& C为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
; j$ d7 g! t  ZBasis:   (n=2)
+ u  Q: x9 i- R( g, e' P         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
# P/ w, v7 N  U5 g. y8 g                                     K^3 – K can by divided by 3.
7 L% P! u$ `8 u/ M3 c4 ~+ m
; f' y. M" T: PNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
8 t7 o1 _0 r, U% `& z, b6 l* Asince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
$ Z; M. M" i6 Y1 c2 e/ P) R" l. TThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
4 N1 I# H6 t- r! p                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
9 ]* k5 \& }) x) [                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
$ L' x7 e' p5 f7 j
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

8 A! G' ~9 ~3 z+ X9 {第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

; I) U7 E6 S! ~  |4 e9 t; dSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.