出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2 D) U1 ?. f; Y3 g2 X2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
5 D1 L/ h' A2 \6 q. wa=a+b
$ \8 Q7 W1 K4 K$ j: n; l" O4 la=2a
1=2
4 [' H+ m7 \0 i6 a& ]. I5 H
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
$ C# k* I& ]. p2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) Y0 R5 Q- ]3 c% f! W. z9 k2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
: ]+ o- u" a- X5 S1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
/ U) B; f8 w( d/ _4 J7 O

9 I" g) `  r1 b- v8 t为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
' M! Y1 y$ n, z# E$ d* i
Proof:
- Y5 w' O8 z+ C& _Let n >1 be an integer
4 x% g9 Y: T5 p+ O* Q3 q' N* MBasis:   (n=2)
4 ^9 X9 K/ m& C0 c- @         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
, e5 d$ x9 P; r$ P) ~6 K, V1 }Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) Z3 @. U0 W8 N, h9 [7 {by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

4 s9 G. W) M8 T! A# h: _+ WConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
, l' A+ s. y& I4 i! a
: _& q' Q5 O3 |; V, ]9 r[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
( D8 E' \' J; A  I5 B% x) v
/ X& g5 N/ O9 C2 a, X第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
: G  x. E8 L! fShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

) a9 M' n% S8 c. Y7 }9 ?
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.