出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
* p; n/ A. b( S- m/ g1 j
2。下边证明有没有毛病？

0 D7 L$ T4 g7 C5 F5 `设  a=b

( z7 m+ t' M' W; i则有： a*a-a*b=a*a-b*b
, l# R- H7 w1 {* J- K/ A  F! l两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
9 X4 k* z; m( C+ R7 }5 @: o
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
6 V, u; s# ], x% t# }2 }1 K! `
1）不能。比如1
! {+ g: @- c4 U6 @; a2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
) S+ l/ D  y; ^$ |# Q" u1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 F* i1 T( }; a9 O1 Z2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

; S$ l4 w/ ~. z3 \; T* B4 V看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- Q; S9 Q6 S9 f! I0 P* z

: ^7 L. j+ e  M为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
6 q4 A6 o+ O. a, R
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
/ A- G% Q# Y* b9 h4 F( k% m7 x         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
! Q; S1 k' C2 ~7 b                                     K^3 – K can by divided by 3.
0 d( v- R- u: s* I5 X
3 C' r! e  \  o0 ~& o$ u/ p0 {Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
9 q4 e0 `1 j  asince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
1 }2 {4 O. l0 b2 g( j  k4 l& VThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
# R( \# W8 m& N7 a. r$ ]9 s, d                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
8 Z1 z5 `0 _' T2 s( s+ ]                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
: i4 A* F- O" Z; T6 V- F                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
$ s7 D9 a* X+ V; [' C5 zSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 |; S( D# z/ c# x                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
6 i6 T2 N2 l: A" X6 R                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

" {4 ]/ `6 h5 M: GConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
0 y- L9 d7 V) R' e8 A1 E3 e
' ~& U4 u7 r+ k* G0 U2 A' H2 ?7 Z[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

2 J& r5 Z* C' h8 r8 V  `5 ?第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

0 s/ i: Y6 z/ QSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.