出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
  J! N0 y& F( w( [, s+ Y
) s* M$ h! |3 v. w" ?+ J4 j2。下边证明有没有毛病？
0 Q* B) |, W% v
1 s& Z  W! n' Q: `4 l, W4 G" ]0 s! {设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
- a9 ]# L1 Q! F! h2 f, K6 ~6 X7 w
( S8 ~, M) _$ Y4 Z- `% A3 Ua(a-b)=(a+b)(a-b)
; I  y7 \% k4 X3 l/ j; F  F; X2 x$ za=a+b
/ o0 `# U' P/ P3 P% b- ^, Ta=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
4 b$ C; ^8 n+ @
; R% J' t6 D" s9 d1）不能。比如1
8 I$ {0 R, ]1 H% z( h. \  X2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 z8 c4 v& M# J: O( x. {2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

, r3 {6 v! T* y- W看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 R. P& `; Q$ |5 _) c7 ^1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" O2 F0 U6 J4 n  T% t8 k

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

, _- F' a1 V* `4 A7 B# }Proof:
6 g0 b" S& [5 L7 O; Q, ?# {0 _% `: CLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
7 e  S& V2 Z+ E" W, [9 {0 P         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
' Y/ }7 ]5 J" O
( z8 f. c# X# O, R! v8 n+ P( X  vInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
/ `% w. C; b; F                                     K^3 – K can by divided by 3.

! v8 i& P/ a' ~- W+ I" ^" ~Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
5 E3 ^# V" i6 V- MThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
7 I( n8 e- O& ]5 w$ ASo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
5 j1 |6 p* ~$ m. S5 L. w                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
; s1 a: G5 z$ ^7 o4 ]
% O0 g' i( g3 \7 x9 P- jConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
% Z, ~6 c4 ~+ b5 R* h" |8 [; c" g
2 R5 H4 q% m' j2 [& {- J% b[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
& I  ^9 t) y% N& {4 N4 t/ q
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
# a. v  J' \% L  o1 CShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

2 L, r/ ~' j8 Q, j% b
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.