出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
2 s3 a6 q- Y; s' L" ], f: M
2。下边证明有没有毛病？
; U& G6 _, `+ L/ N: `# Q
设  a=b
9 Q& n7 M% ~' ^; \* M% s; ^# Q; r
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
8 [6 b% y  i6 N
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

* M& q# ~* O1 h+ Q: X8 P6 Y证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
0 V) |8 \- i! _9 g7 J# R9 W. n2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
& H, f+ Y! ?9 b9 W
Proof:
Let n >1 be an integer
: s  \' m# P& A% \% |Basis:   (n=2)
- N$ ?2 }' a8 }8 ^+ i7 h9 [         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

  b) W* ]. u. X6 IInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
  @- K: H1 Y& `; z+ Osince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
+ r5 k' u2 c, }1 v* l$ p: U- D- fThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
+ g* D: ^" S( X* q4 P9 X1 C5 T- [                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
3 n3 V. v$ ?: d8 H( M                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
) g/ g* W5 y( u6 I, q5 ^! [So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
* v+ ?. q1 o/ o7 b* S                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
0 R3 x+ M/ Z5 I1 r2 j5 w( R$ v4 C                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

. \: z+ a% `" b. w/ }Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
+ j, h- ~( f* o
0 K! j1 X) E) R第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

/ l1 }. _& D, _
. s6 l8 d& k3 O5 E! V0 @& s+ y0 |SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.