出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

3 I' F. ~# t+ p: }. K  I0 t2。下边证明有没有毛病？

9 g4 C& M. \6 p: O/ O& Q设  a=b
* j; P3 S! i) i
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
4 F4 \( c7 |# L4 z
( y; N# U' p' W6 G* X& m; Xa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
, l% t# L1 ?6 z1=2
( h; H9 U" e8 N+ R. G9 \; J; @
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
2 j1 S% f& M$ r, a; W9 k9 y/ g
1）不能。比如1
  g8 F1 y/ v# u2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
0 M2 n$ ]/ P1 M. |1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" J0 c" r! t+ C/ y/ V; P! l3 y2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

9 O2 J. T  z1 P% c$ y- k( |+ {& q, e看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
: n+ K3 n1 B9 C% y) i1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

# H' j. e8 h8 g# n为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
( V: i5 i6 C) r
1 W$ N- \/ ~7 a) xProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
- q# Q. L7 F4 q9 B2 T* M         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
: D, M7 ~* Q' C! H
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
4 k3 b: ^5 D8 W! K) h5 X                                     K^3 – K can by divided by 3.

! {/ C  n7 u/ [) i. B  r2 N$ xNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
( F, V, d; V! x5 U! [/ y, Xsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
* x; L. g5 M+ {- l* e& z5 f* \Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
- y  J) i, W0 u% p8 `5 Q+ H. |                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
+ @9 M  S1 l/ B" J4 c% Y8 A) L                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
( q2 ?! p5 h" ?2 b$ {! {; p% jby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
. g3 P8 B/ |8 z% p  Q9 C* sSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
- D; I2 M* Y( b) }- g' a9 e
6 D; A% N7 L1 Y( i: j' ?' IConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
0 B- j. {% d1 H
8 A9 C  L5 h* s; E( q: d# K( N% u1 Z第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
/ X2 Y) C1 [0 RShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

" r4 L3 M  |# S
" ~* L2 N" V0 lSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.