出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
. I6 x# y% a( q" T3 C
( k$ F  |5 n2 P0 o2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

' P/ M: h  M9 h6 ]& F则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

5 \, m6 D6 W7 w1 M8 a" r5 ?8 va(a-b)=(a+b)(a-b)
' o! L; @3 r, S1 v3 ja=a+b
a=2a
, M' _' _- }) \5 m! L3 i/ }' y1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
6 n  d. P; `4 a) A4 g1 ?
7 c+ e3 T+ f- M" n1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

& T- i) b  N# ]看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
; W/ Q  X1 H& z5 f. V' `& t1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# q& P0 C! q4 F4 p# E4 N3 x

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
9 O# {0 `" F  }. X6 x& h3 {/ d
Proof:
  l$ W( d7 \0 _# y; x) [Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
7 R! F# F, z: \& K! o% Y! G& ~( T         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
- _9 v- N! O+ u) H
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
6 b# p* D1 p: b) \' f8 s0 ?+ B                                     K^3 – K can by divided by 3.
% w+ {  l! J0 Y. }, |* d
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
; ~' d9 c! m3 x# @8 uThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
% P, v% x- i" H/ k' E% Q                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
: t" E: s( x( j! G: F                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
5 }$ L6 ^: s1 ]8 m                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
! c7 R/ i" }- _+ e! H# y- vby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ H5 f% Q. x0 _2 ]  g% G7 }3 y7 t                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
1 o5 l" J& o* }# }. n                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
7 O# X% d6 O7 {- @7 A3 r
: S7 Z. H2 ^. q* n- D6 P' k" ^Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
0 a/ _$ M: V5 m9 H5 i# I( {( U
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.