出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
# f; \! U' W# v
3 s; w. e: b6 s! m* d3 i' p" l2。下边证明有没有毛病？
$ W# g  L0 ^" D; b% ~5 f7 I
设  a=b
3 c. _1 J3 _0 I, H4 z  G% O. V
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
! O) X$ [+ d6 I2 M两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
! q8 x( w/ I0 P, x& V9 ^% Y1 [# ]2 b8 Ea=a+b
a=2a
8 `2 d9 I* K' i/ r" y0 [7 O' j9 D1=2
7 u( p2 u* f2 E! h  ~' Q3 [
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

5 I2 @" d6 s1 y1 `/ s# e1）不能。比如1
* B$ c- C5 F1 z" j2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
6 C2 y4 B, G9 o9 L  q2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
& w% N1 _; z! k5 w% v3 y% {+ \/ r2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, }1 d, ?6 y. m7 S/ d

# n3 `5 R; G1 l8 L9 m为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
( P  l: x4 M2 ]6 _  x2 [9 ?4 @4 ?
. _) r' G5 Y& k, @6 Z: g+ J7 gProof:
4 @8 t  d& a, c3 u, ELet n >1 be an integer
& J2 M, N8 D& k- d" J: W4 j- Y9 EBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
6 [1 j$ P0 e0 H& J( y
! s0 M7 E8 A+ f$ B$ x" S; qInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
3 \5 G9 T2 t$ u  u; j4 c/ bThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
4 ]! Z2 n3 x7 ?% o1 u( h1 f                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
* R$ ^2 d* g4 H% x" L3 z8 Dby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
2 C1 w# _  Z% k8 r$ _+ z+ n                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
; v$ x1 R8 q6 r* z
% e+ I% n3 I0 P: L第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

! E# s% B( h' d! e, M: z, v
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.