出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

3 h7 o0 \* X- w& M2。下边证明有没有毛病？

& r3 E5 w( ]" v& E设  a=b

, R$ [, ~8 x  n则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

3 t- ]+ ~/ _  `/ ]# \9 A, W  sa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
. E9 c6 g6 x& m4 C( M, L3 S, R
1 [2 _5 A: D- a9 [' p证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

: k7 `, h0 \1 }% X1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  c' b9 J! R( `) P2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 U! X- H5 U6 X  j7 I! S

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
. I7 G$ H5 l3 n1 n% C  K( r: ]
& [) ]3 Q" B2 R# HProof:
( }2 Y: j1 p6 V$ w3 g( a& n' x* C, mLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
$ A3 e0 E. n+ U$ p6 K3 ~         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
2 t9 Q# M; h( ^* g4 p0 x
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
( r- V9 Z7 X- N+ M* w& X" _2 I                                     K^3 – K can by divided by 3.
7 p" _0 Z. C+ s4 X) v% v* d
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
, w6 v" y. q$ F: Wsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
' N3 g% b8 W9 w1 O' c; C4 I$ i% aThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
( P  p- Q  F5 y                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) F& G+ A! n! D/ b' w5 P0 D$ \0 B+ x4 fby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
8 L7 q7 S+ |. d2 W- g' T
& \+ D# I1 s' q# m[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
1 i- y' L" Z; Y4 x: `2 E
8 F' L5 ]0 q: F; N3 u' w第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
" v( S3 x8 A  |* X  Q1 k3 r3 bShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

& x( i3 o5 c: o& l# LSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.