出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
1 P0 u: t1 i: a
; [; L: J0 m5 T5 J5 Y* s2。下边证明有没有毛病？
# I$ t3 B$ P+ h1 z% [5 e  D* n
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
; \  y% L5 [; \5 L+ d# C两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
$ k) j! Q  ~5 sa=a+b
3 j, [! e& Q  V1 f5 A- @a=2a
- Q$ n! ^  c# ?! l' Z6 s1=2
3 `" O5 V. k* r2 _5 @$ g
% ~5 I+ s  a9 o' ~. I) t证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 v" U; m* v4 R' Z3 G1 D2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ P' R: Q9 q0 e. c0 g1 E/ H1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& R; K' \3 d( o3 G- Q3 d1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) {- a, [1 S0 m+ Q

; D0 Q) A. A, ]* p为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
- n) `/ ]  o" W6 R2 ?, Z" b, j8 I
0 V8 Z* }  L9 B' O& HProof:
) J4 D- E3 n" {Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
$ M0 C2 v+ E  B; n         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
1 V! _6 z6 G8 l6 N  w
3 M- S; p5 w- ^) ~! z2 jInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
8 z9 j5 J2 j2 _' ^( O: l0 q
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
% _; v0 B& {+ o8 hsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
4 Y4 f& B5 L& h! D3 e/ B1 W; r% T+ tThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
- M9 G$ d0 {' S; }1 W$ i5 H0 v                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
0 G6 R6 V- m3 \- b+ {by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
7 t$ p2 E! n8 n0 G; T* G, L                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

$ c+ p+ Q5 _6 Z5 ]& V5 o0 [- rSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.