出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
2 S8 `8 B: A, H( p& V
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
7 v: N9 F4 Q# @6 ?/ D两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
5 E/ L. I% \& [! b
' D( _2 e( [/ {a(a-b)=(a+b)(a-b)
( j( i/ w# q8 Na=a+b
3 o4 m5 o- y# C( p# pa=2a
; s1 M9 m+ L" ^+ g( R1=2

" h  z6 Q. N+ v) X0 y  k! A5 g证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
5 e5 }4 Y) Z4 u; z7 J3 w$ s4 E2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
5 K6 q, l0 t# n0 U  l2 d2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 O5 h+ [8 k& P* \  ?& U2 d

9 ~+ T0 d+ v! i+ |0 I为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
( P+ h5 k' K0 b( M1 {4 gBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
4 r) F  p% d! L5 F' Q9 r
& w2 s- S7 `( v/ [* Z  D7 k+ ]) sNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
9 t1 `; h) f! |  Tsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
" Y, ]* \+ k' N: ]# }- y6 M/ {2 ?% x( LThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
# d6 \3 `4 E1 F' T8 ]                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
8 r5 G0 g1 R2 z  m! u) {) c, i" U                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ D6 O3 A) K( Y$ K# qby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
/ [' \# S( i) v' k1 jSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' w3 N! m! D" Q; ^! n: z/ T, Z                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
/ U4 R' X9 R7 x0 v
, f- @5 M0 ^+ ~" B  N3 Q- NConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

- N, s& _4 `1 M6 S6 N5 j" B[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
* Q9 z; C& M' H, g" b5 }- W* _
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
( h. u, G: D, L# qShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

; e& t) x! L7 _8 `- @+ j
) `7 V9 `& W; i* r9 Z4 h2 T8 xSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.