出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
/ E7 F" e1 {+ C! M# U: J
2。下边证明有没有毛病？

9 y5 c" B4 _6 C% P5 T6 ?, c5 O设  a=b

" b: B2 e& W5 d% _3 d$ N则有： a*a-a*b=a*a-b*b
: X3 K  M" F/ U6 g两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
% u9 k; l' J4 |) n* M8 a, A
a(a-b)=(a+b)(a-b)
/ g  O6 i, m0 }2 ya=a+b
a=2a
1=2

+ e- J* e4 I$ h9 t% |7 v证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
  G6 r  F* a8 q, M
8 V- {9 H# u- W# A& t1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ @6 K" w) `0 p! W+ E/ O2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 K2 [: N! ^/ q. \9 _( T9 z1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 X6 J3 r% [0 ^1 o4 H* q4 M" q2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

4 b1 v8 ^; F) j" e" X7 @看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

5 m) j; P3 u, Y; I$ X' x% EProof:
" T* Q- Z! W* WLet n >1 be an integer
& j8 x- W3 z1 u$ UBasis:   (n=2)
' Z# u1 u3 i; ^2 ~) n5 U1 w         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
$ m: s5 Z1 H2 h+ Q" I
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
) b9 r0 U% ^% V) s7 _% X0 W
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
6 ^4 p8 i9 k" g$ C5 Hsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
) G4 M! n: b$ Q7 H) l! I, r& G                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
- o- Q/ ?! @* A. f# U5 \So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
3 ?3 h1 F6 b4 V* X9 x+ R1 }; I( V, J+ n                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

# q  W( |3 z& n1 uConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
1 t- u1 W; k2 f% O2 K; n
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
' z8 W) L. s. y7 `) {) M8 K' r
) B; A. B, v! v1 p! {第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
2 s' s: T& V+ y% F9 {Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.