出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
9 y4 a4 F3 J. ?
2。下边证明有没有毛病？
3 g: b( l( ]- E: |9 X4 J
设  a=b
1 \- L9 K" D5 P- d( o' Z' Z
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

+ k4 L7 K( H# z7 k  A$ x, Pa(a-b)=(a+b)(a-b)
, ?6 b. V, @, b8 Z5 j* pa=a+b
a=2a
1=2

/ |; _4 w8 P- v5 a3 K( Q. L证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
  k' \' W, O) U8 w: a4 M
4 s! M, B+ m/ W$ d; K: f1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' w+ g% k* Q1 e1 d* o8 l) ?* V4 \0 @. _1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
9 p( X. Y. e  \" \2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
& c+ \$ t( K" Y) V4 w; _* A

! V5 `2 @, a* h: H! y- p为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
2 c& ^+ l0 X4 |$ s$ E# S5 r5 m
$ X! I3 T  w1 l$ g+ ~* d1 rProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
/ f5 V) B& t4 L6 s7 _. W         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

4 s! ?0 }( k) P* F6 H( mInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
% N$ B! n9 |! K9 F$ r! u% H                                     K^3 – K can by divided by 3.
- U, E1 k  U9 q5 V9 A- x4 i
( h# v& j) }  k. H' c* V4 QNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
0 C+ Q) |. s6 n# K* G3 R" I# S7 osince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
/ P$ D5 j' c, X+ Q% {# T                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
) q8 \6 f8 z1 O( S                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
, \) @' x: H* q2 o                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
1 n- n2 S, l8 }. R6 aby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
+ y$ U' o4 V: M- y  j0 {So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
$ \  f6 c! q' t& h                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

; K- O% n, Z9 ^, g' mConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

1 p: a4 z* `0 `8 ~2 ^[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
& `$ b$ }- V8 k" k) o0 E
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
* `7 A& c. Z3 g3 {' O+ KShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

% y" j1 ^  b* |
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.