出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
* R$ h7 W+ j, n5 f) [" o+ I
- u4 Z1 C) C8 r设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
4 j: g  w$ R; h1 f& b: F" k: w6 g两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
1 e, C" E2 x- J( t/ _4 ]
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
1 [0 I2 ?3 k2 U3 N; N- l: d* A
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
6 [: }( t1 G& j3 u$ C
2 b7 t3 _9 r5 K, j9 f& E1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, f7 Y/ x# z$ _: d1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
* @2 ?, _, R) g! Q! V( c+ G0 N2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
( Q$ t, b: k5 o) h9 t4 U+ o1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; v! N5 a6 c8 B  j* s2 E% `7 \- Y

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
- m& h" @. l5 Y- E% D% m
Proof:
- P" ~% Q# E, c! {( eLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
+ ^* j, t3 P' g. L' ]* x9 D         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
' j! h4 K9 `4 F
: e4 V( I% F  ^Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
& ~' k; e) a- J1 f0 K8 IThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: d3 s& |4 J, K$ y5 Bby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 E5 ?5 \% `5 @8 j1 [0 c                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
& o, R4 Z9 z( m8 E- \: |                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
4 O$ q3 g& T  ~+ |; I1 ]
1 _+ h3 D  C: X" w$ S* yConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
6 k0 W7 u0 s! k' Y* ^, W
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
/ H  f, M' K: }( ^3 b
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

9 z& w4 f/ i. k% E; oSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.