出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
% u) t5 G' ^6 Z9 d
/ f' Y, I9 I* a2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

4 a- L: x2 V8 m. |8 u! I! R% Y) I则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
1 A# R9 E* u: g( A4 l2 N$ |6 v% E
2 u8 l4 A! t% s  La(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
2 f, o3 i4 [: `4 @# O- M$ S. l6 }a=2a
! k( G6 @3 L; R/ Y1=2
' ]- w" W) P# j6 h% V
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
% x5 i+ r3 M; A" P
1）不能。比如1
% _/ l1 }3 B7 o* Q( `  a% C& w2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# t7 t, N, ~5 }4 D2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
5 b& r0 W9 d! `& n7 V2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
6 n9 y+ \' Z4 N

& n1 [' A2 D9 \0 l为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
! a" w% S9 a6 U/ Y8 y4 W) _! _" K         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

/ q, ~; g7 f- M) }Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
* ^1 `" V! y1 ]- B4 o# j                                     K^3 – K can by divided by 3.

& B5 A) v3 D, X, K* d: v4 c" wNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
0 d4 n- ~. i. k4 D' S) z                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
0 n! x  w( m  s. _  l( h- n                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
( g7 {. g5 F9 `2 ~: v% K! mby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
; ?: B" V) t) u  p! zSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

; V$ L+ @. L+ u4 T4 T( EConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
! ^* f# ?- `, Q2 z6 X
! K. W7 D9 j8 y[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

' K5 M  h( B; \# w4 u
& V3 k% g! w7 y) bSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.