埃德蒙顿华人社区-Edmonton China

 找回密码
 注册
查看: 2459|回复: 8

出两道中学数学题

[复制链接]
鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?' |0 g2 g& V$ @9 _( d
& {7 N8 ~7 K* l; Y$ a
2。下边证明有没有毛病?
) Z+ Y7 U5 s; ^" g# k, T. e0 l
1 ~0 R, ], Q& Q- a6 E7 b( w% g9 @设  a=b
4 Z9 m0 W! r) I6 o/ h: a* B8 U
则有: a*a-a*b=a*a-b*b9 M4 U. ]! m5 ]8 l
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
5 E( {& X6 ]/ ~. O  b
/ n  ^9 ]+ i( h6 {/ va(a-b)=(a+b)(a-b)
- g9 I. L2 C, {" A) o3 V- v% a# Qa=a+b$ X7 _% k3 i  f9 o. i" n8 L2 e
a=2a
. A6 W) r; ]+ a: g1=2
; F+ g$ X6 B" F& D8 h2 B( e$ ]3 |* a. J; ]/ v% E
证毕 ,结论,1=2
大型搬家
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试' j$ v: |( S4 O& C* _# Q
5 b5 N9 h4 F) y0 A* X- P+ X: C
1)不能。比如1
1 Y0 ]$ s' R4 s+ ]7 W8 R. m2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。+ {: ?* ]( B! P+ ]' n
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ X' G/ y: O: M$ ?& }1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
4 c- [) R7 l; A! ^! k7 U2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
6 k. ^2 X- Q" e/ l' |, i/ P
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:6 B7 \! i* R) \& P* j/ Q
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。: F! D8 Z& C, b/ g7 ~/ y

; M# t9 {$ x2 ]2 _' o为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
3 W; p, p$ y5 u4 h( k5 ~* ?9 Q7 f- k5 s1 e7 F1 ?- T
Proof:
% i/ ?9 i9 G8 B: z/ iLet n >1 be an integer ! a% \2 T7 ^, X
Basis:   (n=2)
! Y6 O) O: J4 Y0 V" j% W! k; i% r; G         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
+ M# N! K4 K  M- O+ \2 {5 m
: q1 f* ^  g: u! xInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
' J9 h( ]7 D" j" t' W                                     K^3 – K can by divided by 3.7 l/ v8 I# I9 d" N) y

/ t3 X8 p% \1 h+ Y4 _5 C- qNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3; d8 f) i+ q1 ^& b. \) Q0 Q
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem: t/ s/ W" u1 ]8 I0 J6 d
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1), x& H; A6 b2 Y4 q1 h# \
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
: [) T$ Z# C2 H0 |: q6 j. F, j! E6 K0 O                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)* m% D. Z2 N4 m0 @5 z( U
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)' ]6 _+ e0 K* u; F  b
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
6 U$ @( W/ y; u( V9 QSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)" I6 J" w+ Z' O- O" t, G6 o  W2 D' \
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)' `1 N' d5 b/ o! }3 R4 S3 Z: X& j; I4 L
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
" K& t/ I1 Y! @! D' o0 n6 _* l5 j. w; n+ I9 M
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.' @9 r0 N6 M- ~- z1 d
" ~3 [' K  V0 i6 k! J7 B" i
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
. A7 k6 d8 ]* |1 Q8 N0 ~  R' W" m0 r: b4 Y% u. F3 k6 m
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:" L. n, F+ e" I  v) v: X/ q5 `3 G
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
- C- L) t, }( |/ b+ Z: w" `
7 b" @  u8 m- b# U$ \9 R
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

联系我们|小黑屋|手机版|Archiver|埃德蒙顿中文网

GMT-7, 2026-4-8 06:34 , Processed in 0.098836 second(s), 18 queries , Gzip On, APC On.

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2021, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表