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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
+ ^9 G# }4 v7 C( `$ x, W
2 Q6 w% u5 N' h: F7 m2。下边证明有没有毛病?$ |) S% |6 `, X4 m, T
- Q. j: ~3 Z3 O7 d) x
设  a=b% X. K/ m% I5 {2 c$ z4 A

9 y9 c( \( h6 F! [则有: a*a-a*b=a*a-b*b
( t0 l2 X# T1 `9 z- w两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):! N6 w2 C- y) A/ x  N
7 P; d2 D0 Q2 n1 G- c
a(a-b)=(a+b)(a-b)
5 }. c7 x' e4 F: a- Ua=a+b
/ X% K/ K( U6 [: d. @a=2a
' O, P' }* {: p1=2/ _+ s/ |8 o* }& W6 ?4 @9 s! o

0 g3 ]  x5 w' u+ R+ B3 X证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
0 S" A0 \) y: K6 o! ]/ U- S+ O* Q5 J, U: r5 \: F( b1 g
1)不能。比如1
, W2 u- l. f7 D! y. p' E2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。. L, w# o" u1 T" V, ]  g
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
3 r" W! `  e( A) e0 K# r1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。. ^8 ]* S& E3 s3 U, K" n
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
& T) a' M: a5 i& p3 G
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:3 X5 W$ ?+ _; A6 z9 f' H% Z
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
% I% ?3 f' [5 @: G) P7 {+ v: `
1 ?4 e! i- |& Y8 ~- c% v3 h
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
2 m$ N9 G, O; L+ D8 G, s$ o' k+ s* N1 l3 ~/ a" ~0 x4 ~
Proof: - U3 p/ r! v# N$ ^9 E9 h; Q% }3 M
Let n >1 be an integer 4 Q2 V( h5 U* s- J( ?
Basis:   (n=2)7 [6 p- R  e* o
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
7 C6 U  \- O7 g. @; h. \- Z2 I0 {6 ]) b  W4 z3 ?% O
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that. f2 v% J' q$ s; ]6 d" F: x, Y4 V
                                     K^3 – K can by divided by 3.+ C% d5 V3 ]- ?6 O& B3 B1 [; [4 i
7 z( V( \. d7 h5 r. `
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
/ A$ ^9 S6 _  Z4 x, f( isince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
! D$ Q  c8 d6 w7 q% @" xThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)  P/ W) l# ^( I9 q& ~) _
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K4 J% O5 K0 a  M
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)# R! [- L- [* q9 Z4 G
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)" I7 H- u( `& f, R/ b' k
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>06 J5 C1 c. l# `5 `% x+ W8 C6 A
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
% W6 o9 `; n5 b/ J5 J/ j                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
- ^8 J# g5 H. h) v* [0 m) f) d3 z                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
" a/ t: n9 G% h" J" v& u1 f3 q
( e/ ]7 [6 @0 P4 S7 \! `  Y4 iConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.% _! X5 T& h" ?- u
: ^; }& m% ?" U" t; P9 O: j; |* F* c
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
0 _( X  Q7 r( f2 a) [2 K
' F+ u* v# j' A5 I+ o$ W1 _9 V5 d第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
: @- E) b) ^5 ?; bShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

& T( X% O) L: o+ e7 W0 q* F7 v& H" }- G
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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