出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
( f! z: E% o! j, i3 O7 A
/ j0 p. A9 O! p; R+ f3 H* k2。下边证明有没有毛病？
( d) h. w. D; h
* F; g3 A% }9 h+ p! L8 S& g5 T: b设  a=b

# V! W5 y/ h# g1 S1 }% _6 [( n% P则有： a*a-a*b=a*a-b*b
; N% U' s; u0 [: @" R两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
! H$ R$ p9 @- g; ma=2a
: T" X) ?9 X0 z: I1=2

# e  B, k# c! s$ w4 {6 o: m0 |2 `& G0 C证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
# b! b( C3 ~/ |4 {( I* h
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

2 x. G+ n2 y' d) d1 Q: _看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 h: n" t5 i! Y* Q, |; I4 t1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 W+ H+ X; j  w# C

4 I6 _9 O: ]5 }/ s0 A为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
# E% ?- m2 n5 j6 Y' H( N
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
& ], ]8 ]" ]8 g9 r2 @         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
4 O2 {$ |- B: i5 |9 _9 x: u) f# N
& g2 ~0 d: V  J- v6 UInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
3 x6 O, Z  V% P' y$ s7 {/ D                                     K^3 – K can by divided by 3.

8 H4 C; Q  t8 ?( {: o# vNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
( E3 n+ B/ s( m/ L, X7 o2 K                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# r) E1 E4 d/ V# E1 Z" Fby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
( Y7 D# |: N, Y: O7 J; l6 w- R( J                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
6 B5 u" \$ ?: ?2 w# J: a( T8 k
" @/ G- W. u) Z7 D; c2 Z4 N+ ^第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
4 h* U* V3 Q* yShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

5 D; Q) V4 _1 l- D( D
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.