出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
- Q0 R; m* _; g
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
; u9 C4 Z% N4 P. V: [两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
# |' }- q7 w6 [# l# A4 J) e
, @: ^* K( x8 X, ba(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
* V7 a( {* |! l* {0 ^, |1=2
+ V6 @" t& d( B6 m0 ~2 S
, Y- J3 A" B( [2 |% y5 y' c证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

( `: X  b; x( r1 O, B# b1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- e4 J" I; \+ F4 R$ `8 {" ^7 F2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

4 e4 ^! L- \5 W看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: i% k, G% N& V& G( Z7 D$ T% P

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
: W; K) g! W( G3 j* e
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
5 @3 l. A' ?, i' V. i. v         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
- q( ?% j. i( L0 k" X                                     K^3 – K can by divided by 3.

3 z5 V$ x0 [2 sNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
( b' f. M% A' v1 A/ msince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
& t/ A8 A1 Z! u9 T" hThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
. H2 C9 S4 ~, o; c: W7 N                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# j2 j2 m5 z: a& f% |                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

3 B; e$ J9 }: Y  r4 Y: ~Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
1 |. ~# C* I. e% \" E4 ^Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.