出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

9 Q9 q: l; s1 p2。下边证明有没有毛病？
. N- D- ]; V$ w& J# ?: G
设  a=b
) d; r" M, f+ J4 d+ d/ P
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
6 M* u- o. p  M& O9 d- c- R5 y; q两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

3 a  T1 D/ z: ?7 l: x* u- b+ Y7 Fa(a-b)=(a+b)(a-b)
% s: `/ ?, ?) m4 u3 Fa=a+b
a=2a
) F" y5 }3 V+ A6 q0 h2 \1=2

. B, o$ z( [- Z, J4 _7 p证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
. O+ T  p( @7 T8 |2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" R+ l% U* `" Y1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

7 s# e% [# y) z% Z看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
# b* P5 j- x  p
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
; c' ^1 R5 C6 y* U5 P+ V         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
* j! O# h  p( g+ I# r( \( O
, Q' s* K$ Y2 }  L# iInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
5 A6 [, a  Y7 O2 H  |; k% q& e+ `                                     K^3 – K can by divided by 3.
# m1 g$ [& d! {2 ~4 g" }
, ~+ f3 c+ _5 ONow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
4 `9 f  M: s. x' ~  Jsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
8 G! T' k9 U8 |% q8 PThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
) W' v# A3 c% I/ F) h4 a* s- y5 }                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 u. `5 ~! C0 U$ r' z: j# e* o' _by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
  k! Z) Y; A4 u8 c5 d0 h$ h                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
9 f- o$ g4 c; Z6 ^" L                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
# f/ f' _$ [* s" }5 D4 O
: G& }# V# v/ M& i5 HConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
% Q3 t$ r5 [7 ]
! n. T* y: o& ]! Z[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.