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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?5 z6 M$ S) L0 U9 H" }
: M) C1 S# H+ u3 v+ ~) \
2。下边证明有没有毛病?+ x( q; a% X) A/ S: y: `
& o- p9 m7 q1 l
设  a=b) e& I! L" A" W5 l5 O; j! ^
: ^: P3 J0 _5 D: G& I
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
; R- ^# V# a8 [两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):% A; l2 f1 Y4 d1 ~% v- `% C
& \7 V2 f3 U; x4 }' e' Z( u
a(a-b)=(a+b)(a-b)3 o% u% D( `% n5 c9 A9 d2 j
a=a+b: q, }. T! Y* S) k! t
a=2a( U5 G" `1 T' h
1=2! `& Y3 o* W3 T* Y* \. X2 t
: e  a0 D: H! N& a
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
" a4 z5 ]/ l  h" g" X5 Q5 s! Y
2 A) [: s- X8 V1)不能。比如1% m) k* f  W) V1 j/ y8 i! q
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
8 h- F$ E% W5 B1 V( ?: k: M3 f2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:, e- `0 }9 F0 `& P5 s" `
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。" W6 e0 p* M& M* i# [
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
4 a% D/ l4 q, I% w4 e
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:; u, v* A  h3 a, e; a
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
2 n' }8 C8 V0 I2 N

! }( P( t& L: e! Q' D& c' S; |3 q. t为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n): {( b5 E4 d7 t7 I8 C5 U
4 |. ]" V0 m7 Y4 `, `- x
Proof:
3 ?& M: s  u; V- U4 t/ ]4 eLet n >1 be an integer
. z6 ?3 ~1 w4 Z. @( F% fBasis:   (n=2)3 N0 }- X: d$ W+ s- W
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3# ]: W- A# E) a8 n1 t

% K) j  F+ `: }  V1 i8 f3 JInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
& c$ k# N  Z: a8 L3 |                                     K^3 – K can by divided by 3.' O* h+ t9 y# W! p- ~/ t. _* ~! d

& e  N+ }. b7 r5 D  T5 oNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
9 A1 X2 R0 k. e1 l" j+ hsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
4 S! f8 n5 D: W+ P# Q% wThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)7 Q6 q+ W/ j. ^! o1 E: }4 C8 w
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K5 A0 ?5 @( X4 H- ~1 l  N
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
, O  z/ P7 |0 |- I; @  K" @9 `                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ @, `( ^0 t8 f: x9 [by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>03 s. }: |$ C& x5 t( U& f" c! }& S
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)" S. {$ |  ?' w' x8 i
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
! m  H) O# p$ H: ]( Q% {/ M                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3, b# n# c5 J) G5 `0 N
/ |& X+ t/ z) F! t% s
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
9 ]( H+ V& T+ |3 h+ h# b$ I" N5 i7 ~" M% r/ Q2 P' y* E$ f
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
& i8 B7 V+ e7 x/ T* r6 y4 f
$ Q& r  H: o7 F- G0 ^0 d, |- B+ a( j  i第二题应该很简单
理袁律师事务所
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
4 U' B% X4 A2 x% v) ~# UShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
2 J" g4 P& \4 n& K, q( d2 `
% i$ A, _/ M0 j  O
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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