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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?) L- Q$ X2 P! Z- t4 y4 k
! f9 S1 D+ e) b3 l- @% S. b! c
2。下边证明有没有毛病?+ _% c3 m! D. O6 \
9 O$ o( \" r* S' Y4 H7 v7 ~
设  a=b
: s4 E& k5 r7 u& _* x
( n2 ]+ X7 Z( [则有: a*a-a*b=a*a-b*b6 o9 U1 o8 U+ ^  n
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):6 L9 n4 B! F% v! V
! Q% J- E; _7 T0 u4 h
a(a-b)=(a+b)(a-b)% x' O6 v2 G# [* [. V
a=a+b
  y5 ]2 F% ]) f; o& Ma=2a, y$ @5 f* K- |9 ]  T
1=2
3 j2 g8 x4 h+ C) j: [# K- L1 R; p  ?# P4 V# [; s5 m
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
1 z/ D4 F7 ~& O! I" c- M- b* y# g7 ]' v
1)不能。比如1
; j7 U7 J3 s2 e8 |0 v' d2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。- L+ Y& }& ^5 ]1 N$ U: T
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" e7 Q4 r" M& G, v1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。5 R  d: g% K. X4 I- U* V8 u* p
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

1 ^6 V  P6 ]/ B+ W5 e3 L看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
/ m! \9 F5 X4 @; t, S7 J5 H5 e* o1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。) N5 F. N' I/ n

7 D  }1 h  W" a# M/ m7 e7 f+ z0 R为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)+ n, ^6 `. ^& ^% ?

9 A0 S$ C7 L7 X1 N. T/ rProof: 5 ^( S) Z4 ]- j' d' w
Let n >1 be an integer - I* U" _6 }; L
Basis:   (n=2)
/ ~1 H9 F9 c; \0 z! y" G- d         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3- ?( |+ _! V* I0 f/ z: P
% H+ X6 P* F& Z
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
5 I/ ?% ]) k& J                                     K^3 – K can by divided by 3.
6 I8 v4 y2 e9 X; F+ _& f# j
$ d/ v2 X; x# f; x) M" INow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
! [! E& S5 j& P" U! s7 ~0 tsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
3 _8 ], M" k( X; J& D5 a) uThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)$ G6 K$ S0 H6 ^; l1 @) ^
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K7 W. _3 b- g3 o/ h% |  l
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
- g  b* ]. V* e0 z( ]* u                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)# s1 V) V! G  N' S$ C
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0) i. _% {8 X$ y. e8 e2 z# Z  L
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)( O& Y4 n2 Y  C( O' J
                                = 3X + 3 ( K^2 + K); `* |3 z, E1 `/ Q. Y
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
' ?5 z" r. g/ x* W' j
% k9 D( A, l/ [! W, ?: P/ MConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
+ L9 `7 q3 j; ~5 Q/ ^; V+ @: Z3 t' l/ ]# {$ u& Y7 ^
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
' M0 N( [5 ]( K$ L0 c! v% W+ F# M. ]. r9 j; M
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:3 X$ P  d4 x1 n8 z5 j# [
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

5 [5 n5 i$ K) E2 e# h) d$ A) K2 f) u1 \4 n8 A& y
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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