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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?# H, D( q# m5 N- e; T+ G

& m9 }! b5 b& N8 Q, J2。下边证明有没有毛病?
( f- b. N* T& {- A0 ?; ~7 F9 e. y% _- t+ A& w3 u
设  a=b
9 }0 a6 b( z* J+ H7 j
$ V! m; k/ U' r% y则有: a*a-a*b=a*a-b*b
' }9 [& P6 t! ]两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):+ S# g0 Y! Y; Y
$ i. u* y6 i, N% X
a(a-b)=(a+b)(a-b)
$ m$ m5 y, Y4 m) R! H1 J% J* ~7 `) Oa=a+b
# }2 b) w2 \- P3 @0 B8 I6 Ja=2a
' w3 I' C4 r1 X7 M9 S, e' C1=2
: A6 U+ S. z% G& q" e+ y
( X- a! G6 c, [. f  q; E证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试: N( e" ~' F, _% L- B
" J0 @9 ^! [+ a
1)不能。比如1) Y0 ~$ u# g+ }" I5 h& l: b
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。( A6 B1 k8 i5 _: |
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:( L8 M9 o4 e, L
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
/ K) L' H% Q/ ~# W& A6 g' c, \2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

' M, x1 G# F9 D$ |; s. |2 V看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:4 @/ o, p7 o" J$ m2 d& }
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
4 R, T! y% m8 Z: N3 _% X
- o) P1 c6 X6 V" O- P7 \
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)9 G( D/ ]! ?7 L9 ~) x# [

% S4 g5 C1 F% A# oProof:
. v1 O& a6 U: S3 J* |& DLet n >1 be an integer 7 n7 s6 D2 [$ r9 S
Basis:   (n=2)
, [  r- l0 Q5 Q' z         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
, a1 a. L6 @$ X. h  e
, J4 |& ?* n7 n' L7 a, n3 e; u4 M  |Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that9 P' ?, {2 a: L, B( I# [, R
                                     K^3 – K can by divided by 3.
0 A( ~% z5 ]7 m) r: ?8 o6 p; x# V
0 W7 ^! J$ e9 Z8 m/ x8 ~Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 35 z. U0 F+ H3 C/ o( n$ b
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem+ {; g( U# s  ]3 W7 u
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
% W1 z0 j( r( p! ?3 i7 o  Z9 z                                     = K^3 + 3K^2 + 2K; ~4 M/ X: M1 u; _. a+ h
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)$ Z. |. f- L5 y9 i0 I8 C
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)$ Y2 H; q* \5 Q2 Y1 h  _" R
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
7 `" x  {( \2 p% m8 c, _, I% QSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
- Y0 l* n8 \  }                                = 3X + 3 ( K^2 + K)) D7 |& X5 k2 H" a8 Y$ g
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3! i5 c% P* T3 g* U3 O) a2 G

* P0 B( v: r7 f1 h  B. WConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.5 x& j% U7 s9 ?+ |6 l

! Q" z+ S  r) @3 U  z' ]: H[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
8 ~" I; l& w) [1 G/ x
0 {6 J* b" ~. _+ H; @7 B3 w第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
# M; Z9 {1 ~: v: f* MShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

# B' P* I. V( N+ w+ s+ Y  T; a  D  I, Z+ A$ ]( x( `
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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