出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

- G' V; q6 P2 a; U2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
* R4 q8 v1 {$ X% y& r
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
( r( j& F- L' d5 |
a(a-b)=(a+b)(a-b)
9 Q5 {: x% S5 R8 q; e6 f- na=a+b
2 Y; [! j: `* b6 ^8 J9 ia=2a
, J+ M& I- Y0 x4 I% d2 x1=2
( l+ M$ F8 }# k" w
9 E! D# J( e8 h6 q证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

) }& L7 g1 O; U( p2 v) H1）不能。比如1
. F* _! X, P4 I) d' W2 a* Q2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
# N8 C3 @, ]7 W2 K& i+ E  b: N1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 u5 z% E  O  e: v8 S

1 r, L9 Z& J0 ]) U8 v% N8 Y& T- @为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
: F6 W. Z8 D  A- T3 m  }5 u2 e& G
: y4 [: |7 G6 x! I& M) }Proof:
2 }1 {; m2 R9 h, G( qLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
4 `6 ~0 e+ @0 H7 j, I: L. p3 `         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

7 P3 x# d3 W! d# `6 t: J; U8 AInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
& j2 @, I3 o; z# Dsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
" j2 k3 R3 i: \" `- WThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
3 |3 p6 [, B5 L3 r  S( _                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
* U7 |3 `8 |$ qby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
* N; H1 O$ A, S9 d                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

) x' x  m5 K% [, D* y" _5 q. ]0 Y[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
- r+ A' i& ]2 K1 g, O
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

5 t  {. I3 X: }! F$ I" F& F% T
6 r9 ~# `, d; ]( |: e$ T7 H) PSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.