出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
0 q) X$ K' l  V1 K$ H
& P% r7 ^" H/ R! [- t2。下边证明有没有毛病？

" G! d% }( O7 `4 W8 Z! K. M设  a=b
7 O2 q7 y8 W4 t, c
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
! c0 I( o' H8 o, T两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
, {+ V+ N9 Q, q, y% P3 T( Z1 Za=2a
1=2

7 T1 A. @* `3 z5 A! w证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
* C$ a" H' S4 l$ v: s
) a; g9 E2 C# Y! s2 X# }1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: j/ P, h+ B. M. v; D2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
. I2 v9 `8 q" y: ^1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

  e3 z) q4 Z1 I+ a为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
+ y% }% s  ?' w* B% d* n3 x         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
0 t% ~9 Y- E& ~, |4 L) {
7 Q9 {) n. \, f, a2 H3 V0 rInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
% k9 y* g' S) _, S  r$ G9 p! D                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
% _: z7 y9 j2 G# l9 o3 F/ qsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
+ J/ ]  j+ e) Y- ~                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
" J4 I$ m5 X; Q+ m) m# B5 p0 QSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
8 U: k- F" q( g% |* b                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
" k' m8 l: s7 Z' X( T( {: W& F' D, M
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

, v/ `  W) O9 w[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

/ j5 M1 ?; G( z4 {$ ?; R2 P, v第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

/ c: ^* b& V  O
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.