出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

( Z+ b5 A# B  c设  a=b

0 e- f# y  |& m& M; k则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
4 M5 V: ~: L/ a/ B6 m! h2 U, D
a(a-b)=(a+b)(a-b)
% ?  ]; D9 n# s0 I: Wa=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
: @1 C5 H$ t, {2 a8 ]! u  w4 v
1）不能。比如1
# v2 ?% K: G% |$ J2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 d/ g5 R* q: {: o6 ^0 E) X1 b6 i2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
! n3 V0 n/ |" W$ }& A9 c2 J1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

0 i" I: H7 `" @1 I为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
. j/ |9 d2 [: `1 f+ |1 `         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

5 i! I' c7 @) h9 s; O; ]' ZInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
+ t+ w0 @. J, j, H" t                                     K^3 – K can by divided by 3.
& l9 O: E* z8 @% i( O
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
6 W. {- b! p0 m2 o; z5 d  b" `Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
1 t" o- ]2 A6 D% ]; A; O+ Eby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 J1 e# h" e3 B( c! S9 Z                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
: \% g; C1 E* ~/ q8 \9 e" v5 B/ x
, c) L, }! H0 v; Q; v- yConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

! P  {% c/ \! _; ?& S; `% f5 M+ B5 q[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
. x7 K( @" Q! f+ U. L9 O4 MShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

# }- N1 l8 |" i. VSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.