出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
: y5 M" j4 V6 m5 w5 n4 H7 f/ C
! \) }) O8 R% q; @; \2。下边证明有没有毛病？
! C9 b& u9 p0 p
设  a=b
- _7 d% m1 q" t: z9 j
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
7 o2 K3 C0 @, l9 T8 J
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
- e1 W9 Y' b  t6 g9 ka=2a
1=2
0 F/ b0 B- u; M! \
. ~. J$ Y. I5 m' V( F证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
% X. [% @$ w% @' @7 [* J6 |1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- H" j4 ^( O  o+ }$ {1 R2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

0 n9 u, y0 I/ B. y3 i& s看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% k" i' ~; T! U9 _& n

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
0 D6 t2 @7 m5 K. ~Let n >1 be an integer
, ]* n) S/ D' H, DBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
- o) p* n, B+ Y3 U8 H6 F7 ?8 S                                     K^3 – K can by divided by 3.
6 ^/ k1 }+ M, \& M$ ~( S
8 k7 W9 c# K4 K  ^3 BNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
' t1 {' |7 u9 W. _2 Wsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
- B' M# _6 Y( X2 ?5 F! sThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
4 x* X; c3 Y" |- [; e: ~                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ j$ R* c/ j5 c/ e" K- u                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
$ C( f# U6 e7 \* ?+ Q                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
7 _3 k% E4 N& x1 F$ ?& d
6 B) V+ b2 m9 u$ e3 {Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
( Y0 t8 X% |& Z. t# _
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

8 J& w3 t) i! @! E& G& B
% Y8 ?1 @9 Q& d7 u) }% e6 c! A0 i/ E9 TSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.