出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
6 N1 C! ^! p4 |8 f6 g; s, ]
# R' Z2 B1 \( \: ]8 I设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
% {3 U2 G3 `( x' b
9 I0 s, Z  D' va(a-b)=(a+b)(a-b)
, k/ R! q3 b/ l2 Ca=a+b
a=2a
1=2
7 R, E. c$ t1 X2 \* n, q
. d0 k% L9 z* f4 T1 \证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
& \% ]' F" q% E% q( Y
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, Y% ~5 P  X: R2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
) e" r- }; S" k2 z, ~2 c1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  A8 g6 |' W; Z  \2 Q& Z

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
' k+ `0 K5 d* u: L2 p         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
; H5 |' ~* w, G+ s% p$ Q' j: F                                     K^3 – K can by divided by 3.

, \. {0 ]* n: V) T% KNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
& z1 Z" A4 R) p6 UThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
2 K9 Q7 n# e8 T1 k+ ^; C                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
8 ]0 l1 k. T& j& _                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
+ A7 G* f; w' R* S4 Y* ^: J7 r                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
. S3 h2 }- w0 `: T  U6 N9 z                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
7 |5 x7 t% L- ?. L6 r" u* L7 L% \$ I                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
) c8 [6 v1 m8 c1 Y) q/ d$ Z
% z+ X6 t3 a$ }0 D; k9 m; m5 rConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
: ]8 c, o7 ?6 j- U0 b5 DShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

# K( R% R( O9 E( L& y: x
/ ^- E* q) z0 |0 J5 nSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.