出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
+ M" o7 P8 n1 s7 v% g! G
2。下边证明有没有毛病？
1 ?( a: J( G8 L
5 S7 n# _1 a$ O# p$ y设  a=b
/ Q- E2 q5 Q. L5 ^
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
% X7 v8 c  L& K2 Q
, h: i9 H* W8 ia(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
2 H9 D, S/ y' L% F1=2
% r  s  d7 e# i2 h6 S2 W1 L
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

$ K! k9 s/ h$ Y& Z1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* r& A: N# s" ^+ `1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; c7 b6 X/ p. a. s- J& k2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

* z  \* U0 S# m" s看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

3 W1 q0 G: E. |2 u) TProof:
9 d. s; ~1 Y  p6 g; y- D8 S2 BLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
. O! v! B: r: f4 e         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
: {) E# T2 }8 B. p! l% A
; }/ M2 O7 n$ X6 Y4 ~Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
* N$ w0 P$ ?: ~9 M. h* H9 ?- \% D                                     K^3 – K can by divided by 3.
( _& {, r0 j( W$ e1 u/ J
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
) I( T7 Q# t2 n  q9 y  \# F                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ U$ O- n# V0 A- F5 V                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
1 r6 r/ z. t1 J' F# Q1 T, g                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
% ^+ L- W: d" b$ O/ [4 x" N. e' t; \
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
' f* S# }$ K: c) CShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

  \0 L0 b( t' f( N! PSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.