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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
( f! z: E% o! j, i3 O7 A
/ j0 p. A9 O! p; R+ f3 H* k2。下边证明有没有毛病?
( d) h. w. D; h
* F; g3 A% }9 h+ p! L8 S& g5 T: b设  a=b9 m9 Y* g# a7 [1 p( B: P0 ~3 M

# V! W5 y/ h# g1 S1 }% _6 [( n% P则有: a*a-a*b=a*a-b*b
; N% U' s; u0 [: @" R两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):& o: h* T6 r0 `+ m
; Z8 i& a! y' S3 y! u3 ?7 p
a(a-b)=(a+b)(a-b)9 o" P+ ^. U% l; E6 N
a=a+b
! H$ R$ p9 @- g; ma=2a
: T" X) ?9 X0 z: I1=26 U6 e2 ^3 `$ W" @6 G3 B

# e  B, k# c! s$ w4 {6 o: m0 |2 `& G0 C证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
# b! b( C3 ~/ |4 {( I* h; @8 w# N! {* ~; J
1)不能。比如1; m/ w1 W! l4 @8 [  W, j4 M
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。' B7 C2 z3 K: K& s, Z% F+ u0 t
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:$ r$ c% o/ N7 J0 S! o* Q
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。5 M1 T6 V2 F- F
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

2 x. G+ n2 y' d) d1 Q: _看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 h: n" t5 i! Y* Q, |; I4 t1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
2 W+ H+ X; j  w# C

4 I6 _9 O: ]5 }/ s0 A为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
# E% ?- m2 n5 j6 Y' H( N) _1 T& l2 b# W5 {1 R
Proof: . U3 U0 h& n2 i8 \
Let n >1 be an integer ) M, y; Q% d! ?" ^6 j6 F# P
Basis:   (n=2)
& ], ]8 ]" ]8 g9 r2 @         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
4 O2 {$ |- B: i5 |9 _9 x: u) f# N
& g2 ~0 d: V  J- v6 UInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
3 x6 O, Z  V% P' y$ s7 {/ D                                     K^3 – K can by divided by 3.5 ?$ K' R; X3 s4 Q: ]1 f

8 H4 C; Q  t8 ?( {: o# vNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3& N5 S8 l) a' O6 D
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem' r0 N& p9 r0 |$ t* U
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
( E3 n+ B/ s( m/ L, X7 o2 K                                     = K^3 + 3K^2 + 2K5 D5 L+ m' p% J2 f
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K); `# R7 W% Y% |% P+ C6 R
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# r) E1 E4 d/ V# E1 Z" Fby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>01 s3 z% L$ j8 c: `/ e: c, {
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)8 O' N" b" p5 z' o9 K7 d2 w( L1 n+ p
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
( Y7 D# |: N, Y: O7 J; l6 w- R( J                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3& V" N( P/ m# }9 f7 f
0 [" o+ Y6 G, q, h! x% @
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.6 K* B0 C6 k' b, U. s- B' N$ w
6 h& L* v: n- [) `
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
6 B5 u" \$ ?: ?2 w# J: a( T8 k
" @/ G- W. u) Z7 D; c2 Z4 N+ ^第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
大型搬家
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
4 h* U* V3 Q* yShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

5 D; Q) V4 _1 l- D( D1 C" x6 o8 G* |& `) N$ _4 ?
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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