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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
. W# [" J+ m( j5 P% K! a5 l1 [5 i4 D' V3 J# R
2。下边证明有没有毛病?
% [& I1 i) ?* l6 ~8 k. c, z0 m4 D: \6 ~" X: i# T
设  a=b
* _; G/ M6 G' n! b4 G
( j' R( b- l$ K则有: a*a-a*b=a*a-b*b
# y: e' r  ]& t+ r) p) o两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
5 o* L. ^1 C" e! j# y5 s" q2 |) z+ S& D! b2 p
a(a-b)=(a+b)(a-b)  _# A8 `4 U) Z# B. n
a=a+b9 ~9 h9 f& C8 h3 o- ~% \
a=2a1 i" |2 N8 A. Q
1=2
, K6 p0 H; V! n: D/ K
( Q7 O& ~+ ~' H# r" e证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试. \% ~7 _( s' ~. q" l

( \, q; R; Q: ^! i0 q! l0 J1)不能。比如13 w/ g& w% M5 l: d6 s- I: @5 d
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
" h( ]5 s0 _6 B- x0 u' t2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' U* n) W  U; h5 @1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。! y8 ~- ~4 _+ i1 e
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
5 R) E. y8 `6 V; I
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:% n5 ?6 s6 J/ J
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
, l  j2 L; B- h+ P$ ]/ c9 F, s: b
9 b, n- C4 q9 ^  e& F
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
/ p: t4 c8 D+ _, c  f" S5 V) m2 b2 n" e& L, k* a# z3 q: C+ |
Proof: " {' i( I( q0 E
Let n >1 be an integer
) \& T% r& ~: [" GBasis:   (n=2)
2 `  h8 f( U: z8 v' a; [2 M4 V" _         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
0 b. V3 z: F) a7 o
9 f7 Y; x. O7 k  TInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that3 }7 F, U4 z8 Q$ M8 e
                                     K^3 – K can by divided by 3.6 P, K, t( l0 E+ ~! h5 I) M2 o

2 y. i! k3 ~# S9 dNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
4 O5 G4 z. j" Y  ]) h) j2 msince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
9 \+ ~; u1 Q* \, g" w7 X9 gThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
9 Q) a7 x' W) Z                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
9 C) D5 D1 m% u6 r6 T: j  ~- j9 M  [8 Y                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
, L! |. @4 `: B- E+ K0 N                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)" O  g5 j- Q- ]+ z( F) N6 Y2 v* [
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
9 V$ Q' p, P+ MSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)0 r- x1 d0 |4 `0 A( C# q
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)" R$ \6 x8 |# s3 }
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 31 B, T/ o0 B" A* N, e- `
& U/ L4 I2 {1 H6 K4 h. A4 {3 X4 [
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.; a6 F& R0 k* I; N# M3 D! G/ r
  I8 Q# v" R- {- R8 T
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。" ]8 i8 D# J. S

6 l/ ]. m4 K# ?+ l+ H第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
大型搬家
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
# D' C0 A) O: V' U4 h, AShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
0 T; P  x7 J0 V" F; R" K/ t
: O" L# E" }' `
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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