出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
# F' C( Y0 ?5 o
0 i- x' E3 e9 q) \4 x9 V$ J2。下边证明有没有毛病？
! C+ e7 C: E6 ~! u
2 I; W; o- W7 v. N7 E设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
* {9 D5 u$ O- ~6 }# X& B5 Y; K
a(a-b)=(a+b)(a-b)
7 C0 B' Z, \0 B4 [# Ia=a+b
) Q4 K; n: R. sa=2a
1=2
+ Y8 [. T/ H: h/ U6 M( k; \
) x; e0 |! v2 k( P  L; i- _) k证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
" C' x9 h6 G& E+ r2 C7 R8 h
+ E) S4 K/ }0 K9 M1）不能。比如1
) h% t; I6 ~5 x; b3 b# t2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% f- C+ q2 V+ }+ ]& H; A3 s% Q2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
& F4 i# ?! \2 t0 [: n2 {9 `) n2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 j. Q4 k6 ?% {! i/ q

( M' Z/ S1 P, Q  g) p( y# ]为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
3 M! M) m5 |% }* `( G0 l
Proof:
( l' k' J+ z6 F% w/ ^* ~Let n >1 be an integer
8 J: N3 _9 D; K# N& uBasis:   (n=2)
5 N  ^: X  Y5 J$ h3 E4 a0 V) J         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

/ g+ ^' k( q! X$ b( _Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
  @! J9 Z- V- [
! P: @! d( L+ C/ c  F& TNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
# p! F# E5 v3 H8 o* Y8 H8 xsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
1 O: B& m4 b6 w/ D) s9 E                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 F; Z2 m% e- p5 e5 U$ \0 F- l                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
' o# Q  R# E9 W  V! S$ j* c& J                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

9 e" x- V! H4 F0 o; \[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

# f9 S/ ?+ B/ L) Y/ m! GSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.