埃德蒙顿华人社区-Edmonton China

 找回密码
 注册
查看: 2131|回复: 8

出两道中学数学题

[复制链接]
鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?7 ]# D& T0 S# q6 y7 w

- o5 N6 \  V$ v! v4 ?2。下边证明有没有毛病?! Y! M4 F2 }1 J9 o& J5 O
0 f8 r7 ?% f, T: ^; c$ A$ m# A# q. [
设  a=b. Q" |9 E# t7 P3 i

) ]! f' C3 \% ~" ?6 }% ~则有: a*a-a*b=a*a-b*b
, T& [7 s1 O0 V6 U7 L1 |2 I1 v5 [两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):: P$ b% W4 }6 x6 e+ d
. l0 M3 q# T0 @. i2 ]
a(a-b)=(a+b)(a-b)( L9 p1 V: F$ F8 c% ?3 ]" u- n
a=a+b5 E8 p4 R9 x# b3 M: b3 m1 ~
a=2a; ~; P: E. L! A& R- X6 s( f, y
1=2
/ t. [# b4 M$ X. U2 K! e# n
0 v0 W- @- u% O( H+ _证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
) ?; U0 u( I$ h5 C7 S
5 a" g1 P7 i$ N' V$ P6 Y" |3 }1)不能。比如1
1 U, S# g0 G  X4 ^* u. z  ?2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。, _; H9 q8 O0 n7 m
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
0 e3 `4 Z5 A1 }2 I! M1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。; B1 [2 L% ?0 j& `  R
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
9 E  _0 F4 }; N1 U, i
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
  L! l: d# P1 w2 F: U7 i1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。% I& }9 ~6 G' E2 |% _
) }9 N+ `$ s: k) d/ L; T8 ?; z  R
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n); W# Q8 K8 R! w! O: ]( I3 G8 K
* P7 d' Q6 [# [' v4 A' x6 K
Proof:
. l5 Q2 g4 U: B4 ~( t# s9 v7 PLet n >1 be an integer 4 p) a% p3 T, u& Q$ F0 G1 p
Basis:   (n=2)9 l* u1 y& V: i. _5 _$ D
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
9 C' h# i  N1 a
$ ?8 [0 l7 i$ p. o1 Q" NInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that& }, `3 N" V9 l, R! u% H
                                     K^3 – K can by divided by 3.6 b2 h1 V: n! u1 C1 O. ?: k
  N* c( m$ q' C
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
' g/ M5 J, {7 m' ^5 L% v6 msince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
9 B. N6 f; M9 |9 \Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)- I: P# h2 m2 X7 d& P9 ^+ d
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
8 v5 r( x/ z# d' C: F8 s                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
  w+ {& w, u; X& }9 x+ x& {                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)* v4 _5 J% S* U3 G9 g7 `3 K' H
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
! e4 Y$ \! Y$ T2 M) nSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)8 K4 o8 X' m  L6 s5 p( b6 z3 z: J
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
% F' Z" j) a4 w$ x0 M                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3! _! n; L9 |0 j  q5 w
/ E* M% u7 \) l) f, q6 Y. I/ _8 H
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
% `- t# l) r3 x  R) T; R  D: S1 b0 j% {" u  T
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。1 T6 |3 {3 ^( j! f$ Q, T: P
6 j2 J2 Z" w+ d( o) ]
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:+ k( b& @4 Q. M
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
! }' a. u9 Y8 I. i1 H% i
1 I& Y) }. R7 O8 t9 q* E
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

联系我们|小黑屋|手机版|Archiver|埃德蒙顿中文网

GMT-7, 2025-12-12 04:52 , Processed in 0.102252 second(s), 18 queries , Gzip On, APC On.

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2021, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表