出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
5 _% a7 d' i4 u7 v. n8 A
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
! O1 a' R  g$ B8 \6 G) M
2 G! `' u! P+ S4 U& oa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
' Q1 Y' V, C: O( @& v# \a=2a
1=2

4 G7 r3 X4 z5 U8 N- y证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
  N; y$ }& a7 Z& M; x8 M
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
/ Z, i/ R  u4 {' d2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
0 x) u4 A$ q; _8 J- ]& B1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) U/ z. V2 c4 h% v! }1 Z1 [+ g4 O2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
5 p8 b9 Y2 c  U1 Y

) |: Q) ~& M4 Z$ q% p. q+ P为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

: V$ H1 T7 R2 f/ e, xProof:
0 O9 \4 q' O. W$ |6 q2 `3 tLet n >1 be an integer
/ w' r, e; f2 C9 h. RBasis:   (n=2)
* }: O0 i; r( M. r& |         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
: B/ V0 Z" h( l
% |/ a+ x7 G( u9 wInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

: j8 R& F* a" z* l1 G  FNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
( d: F: q7 y2 V: M1 y3 Q3 `& c& wsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
. P- J: q+ H: y/ ]) i; p4 k                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
! ~. e$ o- [) s, ^" T                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
+ I( ?1 F7 C. S' ?So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
& D5 U, Z' @  N/ ^! T5 @                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
( ]$ E+ c0 t$ e, o  D% j2 X
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
+ L4 r/ S( C. X  s
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
- V9 X( D) E; t7 y$ {
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

4 U4 K9 q6 ?5 J) I" j! n* G
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.