出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
$ s% u% t! I+ t
2。下边证明有没有毛病？
  J/ Y' S9 q" W
设  a=b
$ m9 H  H- ^2 [! Q
& C) j2 O% Q/ y3 _则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
: S. K1 x6 @2 Q1 o% F/ Q! A
, w7 d" n  g. G  Oa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
: H0 H0 C" L; E, y+ ~1=2
/ g) G( h% |: B+ g
1 s  U9 x2 A/ n, X1 @' _: p证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
/ @' x$ e# U3 K0 a4 v4 |
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 H) |3 O5 Z& T5 t- q8 H2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
0 A4 C8 N0 Z* u3 o( [' `1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, {% a+ \. O; L" k, f* f8 I2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

! I! N  g3 U& P/ p' N* a! I看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
  t" W- o- A  i# O- T- k* m1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
# t$ O, k( B, k. l
Proof:
Let n >1 be an integer
8 M' C5 j: w& F# dBasis:   (n=2)
* w6 i& D, f9 u: k- w/ ^# S$ P- t         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
9 e6 a7 w6 ?# G2 V  r5 M
- \4 t( l/ U6 q" QInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

4 t' b" G+ n7 J3 k4 N# s# x- F* bNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
- S8 Q9 u, V' h! z                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
# [7 j" b4 `9 j0 m8 pSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
$ t" {% ]4 n; J- Q' k: {/ ]# Y
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
+ m6 A2 d  [  @* x! U1 q
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

) f( G0 H) J' A" E& N  I第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
/ ~7 H. s' ^* `$ G% DShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

/ ?9 E: l" u4 l
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.