出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
: v' @+ S* e: |0 q6 q9 ]
2。下边证明有没有毛病？

/ }. m4 L4 o) |" \7 a* C+ \0 \设  a=b
) h+ d+ T% ~# \0 Z: |! ~
' g9 |1 J6 J$ w" b7 C- |则有： a*a-a*b=a*a-b*b
. p: I9 d8 b6 w; R两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
- O: T- K; W  V7 ^" u+ k3 ja=a+b
' d- a* G. t2 z- _a=2a
1=2
5 L! E; g3 r; H7 l( `" P% t8 B6 P
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
! n+ F/ g  Q+ m; I4 b( v
7 L/ Z1 ~9 b; d4 s! U/ D' ]  e' `! w1）不能。比如1
  ^2 V. }1 K4 _) k- K2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
  e( \* D5 w6 H. ]' m9 P( p) H% r1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

1 }: Y+ L. I" n) E. Q! Z看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
. u# B  B( G2 F1 g3 I1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% I) ~! Z' |9 G1 c( y1 s# J7 m& M: Z

- P$ K5 a: ]1 `为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
5 v5 h2 m+ `$ U$ Z; j
Proof:
2 `- [9 y, B" A) @! C# X6 WLet n >1 be an integer
% s. d/ s* C9 H7 QBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

; f5 o  E* |0 ~+ d$ wNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
8 B# X" `# \$ F6 H4 x4 |since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
+ _" H- b! E0 P2 h* B' EThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
9 K- F* ]4 l9 i9 X! A$ i# F: Y. H                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 ?' ~+ j% e; d" ^* I9 y  n! hby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
5 e& ^- r/ D$ e9 Z9 ?. ySo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
* q7 d; q/ c# p  G                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
! A! I" @" \; l4 \& M" Z                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

! p8 i/ Z) ~2 hConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

, S; D' ^3 o! Y+ n$ W0 J3 u[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

/ v# Q3 G- k9 [' f$ R* P# P第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
, m( ~4 c+ G+ Z2 ~, [Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

7 M; d2 q$ ~  c2 W. @( N
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.