出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

) f* m5 R; I- X$ O4 W2。下边证明有没有毛病？
! K9 B9 z0 I2 }, U2 T
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
& k* m+ b+ i) @& I" w
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
# ^' i$ x7 J& ~+ U6 L! ea=2a
& n+ C9 n+ P! t) P' J$ F1=2

& H& O% v5 S8 t* u证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

* B$ i% c  W5 I* g. Q1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  c( ?6 B: J: ~2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
# O2 [5 A  ]+ l" T% D1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" M) H0 o: U0 j- M7 p% f2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

- S! R$ C# z. N6 I- ?$ V看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

. k- }* P4 U: ^! w& {为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

* N+ l' r% _6 ]4 Y, O2 zProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
+ e$ Y% I6 H' a6 S' B* n         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
5 o. M  @1 d  m; F, l$ p0 G% K
% s; L' U$ t8 b0 Q: i' }; ]! pInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
! ^: e, n# Y% o7 E
) F$ p" I- u' n: k/ d" A) u2 [Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
  m+ t' i/ @. uThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
% _: Z! F( p5 B( ~* R4 t                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
# s; [# h, m6 L7 g& e  x* \                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
& e% i0 j5 L8 y$ q                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 S1 N8 O& n) s6 k" R+ z; Tby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
, W- I5 j/ ]2 }# ^                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

0 @- }& p* ?& j, Y8 ZConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
0 T) ^" K# t. C
8 `" I8 `% u$ n. {  R, Y* W[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
& u2 c- Y9 u4 a+ b3 P$ f
8 y7 C0 J0 S0 m2 D7 c2 j第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

0 s! E6 f: u2 A9 L: m6 VSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.