出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

: x4 A+ L2 C1 c- V9 g2。下边证明有没有毛病？
( S- j4 h5 \/ }5 e, Y: n" Y
设  a=b

+ s6 H* Q6 B8 ]9 Y' i则有： a*a-a*b=a*a-b*b
" g2 m  O5 \/ }5 N两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
! b7 `" a$ |8 d
* x7 R0 ^; A# ]  F. b! Ha(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

9 Q) ~/ @+ }- m: e2 U5 a1）不能。比如1
/ Y% D0 u# v; |3 D- }5 \- o2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, Z! f' Z5 [5 }; o* p4 B& _0 y2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
) S/ ]/ C- W. y( b1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# i# C* D7 Q  i. D& E2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
( K) R, v' R) e6 t9 w% Z. e8 o4 ^
% X" F( l  e4 r- G4 V' e9 RProof:
8 U/ u9 [; F5 p1 NLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
1 I. L+ e5 a* B2 q6 N' Q1 V         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
5 Y1 z3 D8 a. f, P. [7 T
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
9 |: m* C7 I5 _$ W2 t! w! tsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
7 ]/ I( x% x6 G8 K. D                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
$ ~' t7 I9 A( E6 H5 e, I                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
% B6 f& l! [( x9 H' q( wby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
$ ^4 \$ x7 W& M' m/ {) G                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
* P1 W$ y* Z) p9 k/ \7 F0 x                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

+ u; @2 p7 C$ f/ QConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
1 i. R7 p  p7 V( G) Q, j
6 Q2 h9 B& {4 |[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

. o3 B( T2 k4 q! d5 f
# |, _- u* V: y  [9 F- ISORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.