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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?& t% p- V& [: M% ~! K" w
# s  J0 q& C0 A; f% z" q* F7 A! T
2。下边证明有没有毛病?4 Y# K& x- v- \2 \& Q, b

# c" Y3 s% P5 p* G' ^4 e设  a=b
5 ^5 i0 O. z1 n/ v
% _, K, u& S2 g  y% W5 V则有: a*a-a*b=a*a-b*b3 v! ]' q: Q$ g: O
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
) Z$ `7 S# J' e. V, F* R! P9 s$ w  v. X6 {8 H5 b
a(a-b)=(a+b)(a-b)6 S: o( g0 p' b- e1 \
a=a+b
/ y* O6 j8 I% M+ \- \a=2a
9 i9 o- U' c9 j8 g$ ~1=2! S1 z. h0 n/ t3 I

, @- s9 w( Y) Z* e) f0 P6 m7 p3 m4 S证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
$ {5 L2 D( @3 p* @( ?
- W! k, ~' Z- r! t" e1)不能。比如1; M* O! o6 A  J* F; l- z! |1 ~
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。8 c& c% K  |# D$ G3 S$ \! }
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:+ R6 Q, Y% D8 r# Y- q
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。6 P3 [% i  J& r
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
+ b/ v' j9 b9 b# R2 ?- c) g
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
5 L) z9 r7 R1 q% B% V/ @1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
, e& q6 E. f$ s& D0 m! `
6 N0 f0 n$ h6 i, c
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
3 J& Z2 ~9 C* s! E* c$ {" P
, k7 e5 s2 A+ V+ [+ l+ p& K# X3 zProof:
9 v8 L* Y) t3 S1 ?. DLet n >1 be an integer
9 A& t6 v8 D: B% ?9 v- i6 B, KBasis:   (n=2)
# L6 [- y. F# l5 l9 Q* ?( _         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
# d8 ]% b& G! j3 v
* h/ C+ w9 O; H( S5 HInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
7 |* L! X7 d) w5 @2 y                                     K^3 – K can by divided by 3.
* Q4 O+ I8 R. Q3 ~. G( \8 N
# M; T0 ?, @0 j2 p* k" e. kNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
; Y- t) V1 \3 X+ m' ksince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem7 C6 R4 `6 c8 j" z- ]8 Q
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
: _* x4 k6 v; a9 m. P) F. H                                     = K^3 + 3K^2 + 2K# \9 ?8 B- x7 x. A" `8 C& ]
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)0 q# ]5 }. Z7 C8 w- s- x- U/ M6 j8 K6 e# i
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)# f' p2 \; v: n/ M9 V( u" q
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>04 m( \5 `# y9 f
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
1 F2 E8 u4 B7 k# H( s                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
2 {  `5 S! k! n, z( T                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
: e. C& \# X- j/ g: s# L. S# D9 I1 F7 v7 ~* R
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
. k7 @5 X; l& x1 V; s* _/ H+ Y$ L: x9 `) `8 W5 x0 m* u
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
, k( f' {3 @$ `( B3 Q8 h9 P/ j6 J; G. s2 c
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
' U; m6 k/ I6 G' B1 t6 d) OShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

3 t1 P0 B) B1 t0 ?# T1 p
5 T! F, |  ^  `" \: l0 ^( ~: nSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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