出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

$ f1 I# k# w! e( m) R, U设  a=b
) |" Z, y+ F5 a( e& U# J; o; m
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
4 R9 V) A7 M" |$ B! A) g7 A* c/ Ha=a+b
a=2a
" R7 v# U! _8 m$ A( w1=2
) _" _1 x8 ?4 T" f/ z
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
0 c- d, C: h$ ?  f
$ J. Z  Q8 `! X' p- m, H1）不能。比如1
7 \- y1 ]; v7 L; {& _7 ]/ j0 a) x2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: Z5 q% W5 m1 H& ]( m% N2 u2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- R, V9 v4 G+ J3 Q0 m

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
: ~# g! L4 Q! ]# S6 ^! E6 kLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
% J3 b+ T  q: h# g% V2 {/ R
/ w, ~4 K4 `5 S, e! x: n8 I% k/ }$ B. M+ RInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
8 k5 m1 ?+ `9 {' [2 p                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
/ c2 M" E* I5 Q' o" v                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
  ~# g2 J( E3 N! H0 x                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
: x; ~* l; h# E1 |                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ a* n) A3 {6 V# h1 {0 t7 j                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
8 x1 `  f3 _( B5 ~) e5 F                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
2 r" a: w" C( g& p; ~; Q3 e; Z* H
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
) m$ e/ K2 h1 ^8 d. p  b/ L- K9 J! b
5 U$ h4 \. k- t6 t* F; R- j5 ][ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

4 x' v* W$ `: I+ l% b! h% A- c第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

% l/ Z2 Z* N6 q' s0 O3 {
1 W6 m5 e. v- q' J$ F6 E- aSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.