埃德蒙顿华人社区-Edmonton China

 找回密码
 注册
查看: 2340|回复: 8

出两道中学数学题

[复制链接]
鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?% B- k( t% I+ ?
( i. k! n! b/ f3 `" h/ T+ j8 r& t
2。下边证明有没有毛病?- i4 v+ h' i2 e4 X4 C' s' I$ u* n* P

: X% y$ f' t5 A# O7 h设  a=b
$ I. J6 X; s' u: e( v2 U8 L, h! R( \  W# h& I% D6 K
则有: a*a-a*b=a*a-b*b. J0 E( G7 z# K, [( J) c
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):) d$ l# l4 P2 r7 ~
7 N( y/ A  X) D  g/ T
a(a-b)=(a+b)(a-b); l' D2 s7 Q. _) o
a=a+b$ n  C9 C( y8 ]; `' v! x6 f
a=2a& D( O' r" {3 V3 Y0 k' B
1=2
. a9 g5 T* S5 W/ z2 c8 w, A6 `' H& t5 q3 s1 \) j
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试: _9 S) f8 X- |

* Q2 @4 |4 o" t6 f- W0 u$ Q9 z1)不能。比如1
; w( u: p; ]: W7 B9 |0 d: F+ O2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
) r9 B5 M5 m! q8 S4 O2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
$ t9 f4 _0 v* W$ o8 d1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
7 E7 |- i6 i* g; \, A  U2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
5 b/ A5 \- s( K, h
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
/ s% c( ], `0 E1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
# a0 L: {' S% N* s$ p) B  T% ^

- [  Z8 q" m% E1 P为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
8 U2 X8 m5 ]' v7 i; i  n3 C7 I9 R4 _3 I% j  A# m( d0 Y
Proof: 5 B8 P5 v  g, o4 J' l
Let n >1 be an integer
8 D" L7 o' y1 mBasis:   (n=2)
3 J* t1 |* g( g- @         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
4 J  k9 T* a: R5 H3 i' E  Y
7 p! v9 S" m7 d; @Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that- @* B0 U! t8 |6 z) H6 {
                                     K^3 – K can by divided by 3.
( w0 u) F& U5 a% }, @% g# n7 ~+ F3 Q- ^
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 32 G/ ^" F3 l5 M6 V2 P7 Z
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
3 E: k- B* K1 F0 C# z) h3 WThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
- l* {0 b, u+ F; ~. y                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
* h2 @' b& C3 g& a7 G# |! Q% ?                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K), M6 J! G9 u7 W/ g9 {* T
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: ~) Z# Y) g; m3 P2 W, Sby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0' c! ]% X1 J, A$ G+ y- E
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
  D, H& `( R* F. ^( C: P& U                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
( o: e% C" e7 E5 I- v& P                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3) |7 o1 r- f- D1 E( Y
: d) C5 S3 R4 O' j
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1./ q) M2 M' ~7 p+ u7 S2 j& u6 i$ t) C
/ O: B; k  e. \, c! x, y
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。; m4 I7 H$ t: L$ f9 y* ?

2 P9 a  S% E. d! W0 w, K! w. S) x第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:! N. J+ E* r6 H0 X
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
- F$ G0 d+ d# g
4 J5 I- x4 C. u
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
理袁律师事务所
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

联系我们|小黑屋|手机版|Archiver|埃德蒙顿中文网

GMT-7, 2026-2-25 09:14 , Processed in 0.113718 second(s), 19 queries , Gzip On, APC On.

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2021, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表