出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

) d2 H  s, K& E1 n- x# |2 \则有： a*a-a*b=a*a-b*b
; F# J) v$ ?4 Y两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
! k4 P! T, s0 o' h
, |5 E  ^* t) V' Sa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
, M- d) v$ I( O8 z) x# N
+ {& j1 A5 J/ t! K证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
5 s  {" ]8 f& n- G1 j7 |* a6 U
1）不能。比如1
  F. }; R, K" a2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
  N- }8 ]; Z7 M2 P: O$ j" K) P1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 |  {- R: v) }: R" p2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

5 ?4 `5 ~5 f* w* T/ H/ [4 t7 U看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" P5 |' v) n3 a" X! q

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
) r+ C" ^0 K" K5 f$ ]! [1 ?
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

9 c9 U& A( F/ x8 {6 _( CInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
7 n% ?' h+ X8 q2 ^' b% O                                     K^3 – K can by divided by 3.
/ O, v  V- d  F6 Z  s
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
' d+ T0 R/ U, T7 A: B4 R: u                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
: B  Z* Q+ F. s1 m$ B5 J, b                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
, c  r$ W' x. H: @# V                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
. U. f! g( }! E( _8 ~! B+ fby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
0 m: H+ o: K- w% ?8 [2 H9 R2 pSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
& Q0 c  R% I( ^5 m1 F6 ^/ z                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

  S. M1 B  [0 h& pConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
" x5 v3 B: v+ B$ j0 y+ l
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

* K  t0 _. n! [第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
8 [8 ?/ n" K5 a2 HShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.