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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?2 Y8 t7 h, L: P& H& U3 `

& s/ k+ S4 \; `/ }  F1 g2。下边证明有没有毛病?
9 U% y- v; I2 \$ ?. _3 d" T+ Q5 F" Y$ T  [( _/ A
设  a=b
, `7 L+ x5 P; Z* P( E/ K* k2 Z
6 D  g, T2 I1 J% t: l则有: a*a-a*b=a*a-b*b
8 \* y+ f- I# F; }0 v两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):, D% g% O$ s. a. a2 o
, I: x+ S6 g( s3 I. P
a(a-b)=(a+b)(a-b)
9 o* O2 L3 a: ta=a+b
9 P, W% w% f/ |a=2a, @) k% ], T# Y
1=2
5 k+ y; Y! _! `, i  m: }; U; z7 \) E: D0 }; B
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
7 I" b% ^5 M4 d" `9 X* V! \
' J! [5 }+ \% @) j# E6 ~1)不能。比如1
( ~# H. [# \5 N9 _5 t1 e2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
3 s: T0 {4 b! L* F2 ^/ j2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
3 r$ f; C! b6 A  |( @  z! r1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
% `* S0 f* ?2 k. p2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

4 ]3 G3 H, J  Z) {4 S/ ?- g& u看!有高中毕业的!
理袁律师事务所
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:1 {& s. C2 C* C' n& @. ?& E+ x4 N" h
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
# B: d! s/ |: F& F; |
8 E! j8 I; h; |  ?
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
9 z" s7 C9 x. N5 R; E& Z1 I3 r0 c/ ]) l
Proof:
/ D$ {8 J$ l$ Y# {Let n >1 be an integer
/ D5 q/ I; S6 w5 C! Z7 {Basis:   (n=2)9 `) V# Y# q* p7 E# {
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
. w: d* B& V% ~3 T  S
# K/ V2 @* }9 A' A0 [+ QInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that1 G9 Y; ?# T/ y2 |/ H8 L
                                     K^3 – K can by divided by 3.
/ M! }; Z9 Z+ S
) X# K- L& c  L' `( XNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3. c, R: A( V3 d3 f, h! n" K: c
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
* N9 Q6 w: N8 k) e# i6 Q$ YThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)5 C( O; M3 K) D& M* B  }: K
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
/ g+ e: d2 U: w  U0 [, i) A                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)9 i2 M  f+ b& C7 `) [5 D
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)( O, x% g6 S3 c) A# {- h; O
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0) F0 i# y' h5 n9 K
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)# x2 s8 }6 J' i, h1 j6 |$ ^+ m" C
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)( H( m' v4 D% T: Z
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
. P3 H! }7 L; B7 `  k8 G( n' ^4 J* I' f
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
/ l: u; O4 k/ p% s' D( |
. V& k& @8 Z- I3 i& r, g# m[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。0 ]8 q8 C4 D5 ~! D" d
3 D- h/ y% \3 v9 B6 {6 K, @
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:9 [0 |5 M( r0 _! k: h. ]
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

2 k1 f& N. Y3 F, V; X7 z* d5 ^1 R' I
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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