出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
9 ^  G7 S' F7 K
设  a=b
3 I6 k5 D9 y/ O8 k* K
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
3 m7 I4 B8 R' K+ r两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
: d. [5 z! i4 x) Y! u+ j& Z
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
  F4 C! {* r7 b* V; `# i. ~
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
* |; d5 m0 C6 ?2 r
8 u8 ]( P; w$ v8 X1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
4 f) G# @. c; [, ]2 F- m, N
Proof:
7 T3 ^" y5 m: G/ ]9 g) c4 |: {6 BLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
7 n/ `3 G. W* h. c* W7 Y0 s                                     K^3 – K can by divided by 3.
9 i4 X# p( |# b) l, c8 _. P: s% _
% j7 G9 D+ {- R' LNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
. ]) y  l1 x- T* d8 c, t( Bsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
' V) v( U5 ~6 Q3 y! O' ^Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
* N- t( Q' J8 L3 e4 C/ A& [                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
! X5 C# o6 f( A6 H8 r0 Q( K                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
& S9 ]3 @0 K  }6 ~: f* z3 ]7 U                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

( V# r4 \- {7 V( r# t, ]/ b* ?Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
1 j: M) S8 W8 u/ b$ l' ~7 z
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

% T# R3 w# f# a  d( M, U* R' F: F
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.