出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
- a' |! z/ V# E
5 v- E+ V4 B+ z- Z: F5 ?2。下边证明有没有毛病？

& q+ ?( P3 J! P6 D9 o$ Z设  a=b
7 M- w2 }  z, ^5 s! W; K/ {  S  c
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
9 l0 q4 A" X1 O) z8 m: |
a(a-b)=(a+b)(a-b)
( o# L- l/ X5 V$ q6 qa=a+b
a=2a
: F6 r1 b  v: b1=2
  G7 `$ n" I6 R. g" g
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

* t/ \0 S, A! M6 |+ q( @+ p$ v1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

, }" s1 J' H: g* A+ G2 @! u, n看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
0 k9 ~5 R" d/ B5 M. O* J; D
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
: \) ?* a5 m+ H5 K. U0 ?2 j         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

& B8 I% [; E3 t* S8 T" tInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
% [) G6 v+ ^% s7 q6 }& Q
9 `8 |8 Q: U9 Y7 R+ oNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
. Z9 [4 s! R! N' }                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
1 d" N4 u* j, _$ j* e4 V) SSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
. j) c+ G2 B% l  A+ ]3 d9 A                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
; O) ~: M3 g% o$ |
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

1 f1 ~. M. z% W$ N& K, f& J. D[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
. y6 J# t+ u3 u8 P  n# l1 q
% ]. m5 z! s. t4 X: ~第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
! P7 F. D# L9 a3 l. {Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

0 w5 m+ O# K1 F7 f* i& ^9 Y; @/ ^
% ]0 P. [8 M2 ]SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.