出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
5 J' H. c# |" T/ s. e" g3 j  G
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

) p. t( e8 B3 w* x3 ^) n9 t则有： a*a-a*b=a*a-b*b
2 s+ G4 s6 m; j+ X两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

( ^  N5 B0 U0 H, J- V  ya(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
  H1 v+ V; ^4 Ja=2a
" g' Z- C; {$ E9 @& p, I1 h1=2
9 c5 Z3 J, s2 a$ U
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

) t" N4 M: X* H( @" m1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
5 u( f6 v( w; @- V* ]' G4 ]1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
: V  Z' i* P% y9 H. s7 n1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 j) Z, K& |6 X8 Y5 m4 {* y% T

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
2 `1 B) ]; W; `
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
8 \1 g& ?( [8 f$ s
# k. ?- l& E" X/ w' N% j8 S' G2 ]Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
$ \9 g7 \9 k- p! J9 k1 H. N) h
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
$ b3 z4 Y6 @4 ?& S( q9 S" I$ M1 ?0 }                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
7 G% A" V2 v  b4 j& U5 N                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
( {1 o- b0 {5 v% F1 `by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
( y1 \9 {( a2 U4 l3 e9 O: v/ g                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

3 A4 R+ N/ U8 I! S  oConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
8 k* N5 g8 e* w
- c, ]9 B6 a- i* H" @# C5 y7 \( ~第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
! m9 }8 }/ ~4 G' u$ b' N$ g, y4 _Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.