出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
+ ?: I' e$ A$ k2 t6 M
2。下边证明有没有毛病？
3 y3 ^! y1 |7 r& \6 X/ Y1 ~4 ]) j
: m8 |4 T1 L7 m6 _设  a=b
' ^0 L& b3 K5 h& g
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
- h( P% J# |" v; u5 h1 |" \! w两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
' ~& F: Y* }) b: L
a(a-b)=(a+b)(a-b)
* H& w8 r, H& wa=a+b
: |% t) S- z! \/ g) r: _a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
5 A. h- \+ ~( b" \' _2 S
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
! i9 {6 T7 S9 h1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
. S7 x" C8 ^$ J- N. ~% }2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
9 i; V$ e+ `4 G1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) s( r; q- c8 m" a! F) E" i0 F, C

! W- U9 j8 o  y$ `+ |' X8 b% P为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
1 H$ S. h+ K7 B" i2 R  p9 E
Proof:
0 M0 r$ t* }  _' U: V6 tLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
2 D; M# ~( M) E8 Z& \5 x( U         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
" z2 ]! a- @! m1 y) p2 ]) v0 z
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
6 U& `+ O  f2 I  t. w3 `" ^                                     K^3 – K can by divided by 3.
2 k2 K6 ]  s% @
7 _' s) }" x' GNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
  w$ M) j* f, u% _Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
; [7 `6 k9 A% E: L0 ?                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
% J2 t' Y! H  D6 f- p2 h                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
4 e) }4 W) G$ U9 V$ W7 r+ j- e) N
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
) E9 k  B: [8 D5 O; G; N, j
- B0 p& a9 q9 x- N( {; o& c: S[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
& U0 e) @+ h+ z( T! e2 l
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
! d% d' E. J3 Z* K# J$ S* KShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

( @2 V+ c8 q; ], Q
* I4 e0 l0 G- m  |SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.