出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
+ F) G+ |  D9 [' |
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
( k3 N# A3 M% o$ G$ J" U8 Z4 I两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
! Q. l9 i7 q$ L( O2 ^8 w( c* E
  V* B/ k7 P7 a0 \; K' za(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
( h4 b9 [8 V3 k2 R: F" R& L  M1=2
2 a0 B1 }" X0 D3 A
( O/ I/ ?4 w+ u证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
$ D" r- [5 M" }# n4 ]( q
1）不能。比如1
2 s5 T, |& L0 [) y! G5 N0 T2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% Q2 A) o7 O1 S# t: Z! v! }2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

) u1 r/ O: e0 K% c! Z+ T看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
/ W6 W0 h" p, r& I5 M9 Z1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
' h. {+ C" ^) K. t
Proof:
Let n >1 be an integer
6 {7 W) V/ B5 U( c4 {% S' BBasis:   (n=2)
0 k7 i7 w  w5 T7 R: Q9 Z         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

- R5 c9 L/ f0 S  x0 Y, K) eInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
% j, e- M$ y$ y6 y+ M" X$ m                                     K^3 – K can by divided by 3.

+ H! d+ W& f( y6 KNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
4 o& t  {$ [/ \( p( `7 asince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
8 ~2 y; @# t. _- |( v  C* \                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 |0 t$ h+ V5 e  jby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
9 U' C, R( L% gSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
. F5 M; p* d  L; h0 W* z! i                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
) k7 x) Q6 D8 e' u9 O5 i7 _. u9 w
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
' ?4 I2 ~/ m6 Q0 b$ |
0 t- B4 d0 G1 n( f" W( w[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

% N8 |+ G/ a2 h5 V第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

  r$ ]5 z, o5 g0 k# `
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.