出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
' @# W1 U! M; I/ V& i7 t% @
2。下边证明有没有毛病？
$ F# k1 n: s& x" G, D( n, D
( e7 I% z* }1 V8 }设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
/ D& u; S6 e9 X6 K两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

" U6 q5 [7 J1 _; l  \. t6 T! Ra(a-b)=(a+b)(a-b)
) n$ @5 K7 d+ }a=a+b
a=2a
1 }3 T2 x1 I' n* n) n' }1=2
1 V: q. D7 F4 L+ I! A' N
7 h' d9 g, s' H8 v9 i: s2 x证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
" L: X. b# Z( v, \
+ }; w" b. ^, N. `1）不能。比如1
6 f5 Z3 G3 i! o' w. Z2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 o/ x8 d: _4 W2 u2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

+ D: ]8 L" ^5 P* r. t; O2 r! P看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
& q* i" h; b2 G: Q5 S& u3 k5 R( ]" h

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
0 f' z8 [2 t7 i' V' l8 e* `- p8 X+ q7 O
) x# G9 P1 _' [( t; x5 sProof:
: ^5 Y: Q9 j# q% G/ E4 xLet n >1 be an integer
  z4 T2 I. t1 z0 y: O2 ]Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
% u0 C9 R4 |: V  h                                     K^3 – K can by divided by 3.

' T8 ^" x6 S4 w9 A0 x4 e: GNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
' Q; W' ]% }5 A- [; c' w6 @0 t                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
! y5 m/ R5 }, x5 T4 F, @5 rSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
' w: P4 J6 d0 L! j7 G1 U3 u* n) Z                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
/ A. s8 Z4 n- A6 _  F
2 S* u! s8 O. xConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
# g  Y% ~. A0 _. z% i
' x) q" F3 d8 k5 C5 _[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

2 E* x1 M' N& o- T; y5 _5 V第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
0 [0 n* ^) Q; oShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

/ d/ Y4 O6 w' Q- D& J- M& j
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.