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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?5 f  N2 k% ?; v( x
2 K6 l, i' E% }8 ~. ~$ Q9 n" D
2。下边证明有没有毛病?! W5 c# G! f/ y' }8 M

5 w" b" |! U# Z. m. d设  a=b
* d8 E: \# H; v6 ]# n# C
+ G$ g1 v( ]. T& L+ P1 x则有: a*a-a*b=a*a-b*b' D  R! P$ d3 F5 a8 {
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):9 U  g* x( Q7 m1 S" O3 k. e
6 ]$ R+ B( l- @7 G0 I+ Q& @: h; t
a(a-b)=(a+b)(a-b)
! D' [8 d* g8 o& h2 n' ra=a+b
- O# l4 S8 K3 L& C3 m$ ^+ ka=2a
; Q; P& v* S3 p$ @! t( x8 r1=2
6 }4 Q8 d4 q$ o; X1 k/ ^
9 [6 r2 o- Z( G! z6 N( r5 @  v2 ~/ Q证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
+ G1 K3 M5 `- k0 @! Z# c; f) W" E# s8 \9 {7 U1 l2 h! {
1)不能。比如1
) ?: w& Y* `4 J4 w8 Y8 x2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。: @, G& J3 P# |
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:" I$ B- M7 j; e7 u+ [/ ]" m
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
2 f- B* D# Q' B0 W9 J9 I2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
( C7 T3 t) x* r
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:, X" a: a$ i6 G" }% |+ [
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
8 T* b) j; ?4 R9 n' g. Z- c

2 W" e' R- I, B7 {3 m! R' |为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
1 N% I/ d, Q9 ~: P  Q' Y" t9 y
6 q5 Q5 M: l: [7 `9 a- Q/ DProof:
+ A4 n4 V% `! Q" j; KLet n >1 be an integer
1 o, |5 h# I, p) }2 ?Basis:   (n=2)3 v+ a; O! C. j- \. V. r7 l. f
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
: e8 e( D) o2 W
# P' W4 ^. Y: @Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that! s/ {9 b) c+ A$ a
                                     K^3 – K can by divided by 3.0 f; B$ q  \; y9 c% K5 B
$ C8 E/ J& j! G" U/ j$ i8 j) t, g3 {
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3+ }5 |* m+ B' a2 z
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem9 h) {2 N; ?1 w  w/ n
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1): O: @  f+ f" u! K& d4 Z
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
5 Q4 Z# \% h* |4 ?1 b# \* S5 k# y                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
& R3 l2 K' c1 K* g2 Z+ A                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)7 K" i' }/ E4 U/ N
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
6 x1 N( v2 U& m8 u. i+ oSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ F7 }1 v! _& i1 g' W                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
- i) K  v8 q% E                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3; P" b" i; _2 H0 t1 h3 u3 ^; U' g+ U
/ V  _6 H0 E$ b" S
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.( X& H1 {. h0 @  g, s% V

' e+ ]* H; {& [- h9 K[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。3 b" [( t( ?5 b" e$ d
1 N2 d( S% s9 a: o* D
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:3 t3 j$ w0 Q+ x3 P6 T' {  d# N
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
* [. P5 F  U) E$ b8 l

  h  X8 w% j7 u/ l/ M$ ~  ySORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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