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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
  b2 E" F) t# ^  i
- I; u( ]  D$ b8 y" U' y; J, q' G  c2。下边证明有没有毛病?
5 q/ K. g; R* ?
9 ~1 ^8 ?+ ~* z2 P9 d设  a=b
7 m4 c0 J' i2 h+ K2 G5 n2 ^6 C1 b9 Q, \* y+ ^7 {' N9 {% L  s
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
3 N# c- p' r/ q8 x8 ?两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):2 C1 D+ E- \- U& o# x
4 \8 C0 h* N# F' B
a(a-b)=(a+b)(a-b)5 `% f5 z7 S; i3 e5 N
a=a+b
. {& f8 X  A( b3 B5 Ka=2a  ?6 x# l/ r3 W/ w
1=2
- B' O# R, i2 q8 Z7 a
6 f; k) ]! Y1 Z0 h. _证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试' h5 C. y: Y& d$ H
& t" t0 ?5 v  O0 s/ ^4 l
1)不能。比如1  X4 u6 O! ~4 R6 [- v
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。9 h2 Q+ B5 e- r( K
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:& d/ R$ v+ o5 u5 W+ e- C
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
: x/ n/ O1 ?' r9 J2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

! Q; l- ^: x& q" \# K2 O3 H看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:6 ^. d; N7 u' |% J( J2 }
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
2 @7 @# S7 F* J8 Z& W5 z

, w# O6 }% s/ F7 I为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)/ d9 s5 B/ s: T( C9 T
/ e$ o2 }. M1 X; A, h0 n4 v
Proof:   _. G0 ^' J! i) X  l# v
Let n >1 be an integer
0 F. D$ ?- A/ z2 L& XBasis:   (n=2)
: P) w# d( B5 h% o1 a         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3# j' g. L% g& m

1 {% c3 c6 Z; f3 LInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that. c( h2 C6 n8 I" q1 ~
                                     K^3 – K can by divided by 3.
, o. G$ W4 a; n( @2 e( }3 e. U7 w/ Q8 f
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
$ b4 s9 c! e2 l% y% o5 |3 {since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem! Q# ~, B! F. z9 Y! n4 Q% v
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)) [/ ^8 L" z  J9 m0 }
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K2 E2 n( f* M4 o
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)+ }7 [- S8 |3 f! F& I4 D( n' U+ x
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)& H# Y$ D5 {7 j) a4 U4 h% j
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
  h4 J$ n$ Y8 Z9 N: D+ GSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K); A" l1 Q( {% P' |& v7 O$ O
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)+ F. q: ~& _9 _( J" t0 Y
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
/ F* D: {' P1 }6 s& Q/ M+ g( Q5 S3 l, Y5 [4 y) ]
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
0 ~8 i& s& N/ s# D1 G
5 h+ Y! `( k- m0 o. @& [7 F: v$ _& Z[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。% f5 E0 D$ l/ ~

/ B+ f, D# J1 x: }3 w, V第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:6 l. D  f: W) c; C
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

; a* E6 [, y3 k7 L' I% e; j8 d- V
! k( S7 c& \5 r7 R3 _SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
大型搬家
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