出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2 B; Q; F6 U* L; F2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

/ I3 k3 y' d, w. i+ s0 p则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

2 r8 K0 q" H" h8 q. Qa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
' S. M# M6 f% ?% P1 h3 h* o. A+ ha=2a
. U8 {! w$ v: L& \4 T3 h' ]& @, @1 h1=2
# G  r  q- c1 `; }3 f% D
; K6 O. p. i, h* n证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
1 ~) b; Z7 x7 T- x6 i; F! W
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) b" U9 H& D+ Z1 ~/ U2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 B  l$ [7 \  d+ r! }9 H2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

9 w) S( e/ B6 O5 J为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
2 @6 c' ]& A( U+ X% h' U3 w! E( T( c         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

: r6 }' B- s7 Q) T2 w. ]4 T. E* MNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
; c! A1 M. X5 f$ Z$ b8 u1 k, y  }since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
; f! H6 J: Y9 F* T4 lThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
& v1 u5 ]5 z+ @+ G8 _1 r' i' p                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
  H. l* O$ k  l2 W5 a" ]                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
- s8 A  z2 R4 P6 U  U) y: q2 i                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) D+ D# n1 j& [by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
* R9 P! c  y- F" _* cSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
" X! d) k3 {# B8 }                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
: O8 N+ u' g5 @0 f7 x% A  W
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

1 v) m" b) |) i( |第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

& i. ?/ Q) V- J, {
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.