出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
9 z/ Q; u- w9 K4 t6 H% ^
2。下边证明有没有毛病？
9 a: N2 {9 p; u2 e  X
% [! C  g8 k" v$ j: l设  a=b

. }* O% C/ K. u. x( v1 C则有： a*a-a*b=a*a-b*b
" ^% F% P; [7 c0 y) ]两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
/ d  b/ l; P& W( T/ `+ h: t
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
5 j( e& o8 b, [% f" I" g
+ J( {8 @' J8 k  N. y4 [0 Q1）不能。比如1
2 N; X) R  F: b% [/ w0 ~, Z' B2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- X. V; B9 T4 s+ j( ^2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

1 m; ?5 p4 H% ^5 C4 P! v看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
; p, L7 |* F5 m5 a+ K! ?1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 V0 D0 _( H( a; J

$ \) Y( ]! U$ ~0 P& R/ J+ [# P为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
* U! d2 J# C; Z; U2 N
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
5 d7 Z' w9 Y8 n         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
4 d; ?0 {, `0 i3 A* @$ N2 `
. T' R2 L+ E2 b7 MInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
& x# x  p% C3 V8 |1 |8 ?( D
1 m/ [6 Q8 K* y5 ~2 H& XNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) s. _" T  p8 R- Eby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
" n+ T+ A8 F' r* H9 w4 Z                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
8 @4 Z' ]6 Y$ j7 J: Z/ B
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

( w) D4 C& F! |, }+ _+ N, h4 J[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.