出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

! x# f4 {2 @) E设  a=b
+ e5 a- P( y& z2 R$ @/ I
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
8 i' N: m4 M1 n" U5 o  j两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
: e, J8 A/ W8 I1 Y
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
& n, ~: w' P9 K% i, g1 y1=2
1 [1 O9 K. u5 i* G% F
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
* d; s: P- O. f, y8 E# T3 h; a1 i
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 J9 {0 l" H: o* r% b& O2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# L3 {1 _; D* }6 @/ B' i* _2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

# ]1 H5 J$ f$ c看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
  n6 @) i$ x2 }( v0 s1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
6 T0 I/ `7 ~7 O2 S( S) s' Z
Proof:
) V6 ?. [3 u7 E2 u7 A- T* eLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
* r+ D% B9 s7 s' r; {% @
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
$ t; |  g* P7 h4 T  ~7 Bsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
5 {  N# l1 N9 ?5 g0 c, D1 y5 Y, eThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
3 E# h1 [% J3 j& D* @  U                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
4 Y" N. g" B/ x                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
, G, W9 I& U, }                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
( V/ b( Z) g' g! u* e0 M2 n
. J7 v0 {2 C+ z5 p: q[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
/ W7 f3 N1 T& C2 c
, C& U1 u, V0 i第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
: n% b* z: W' s* RShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

8 N! A) h" p/ F& ?% K
9 j8 P- b4 ^% C% v7 R7 ?SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.