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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
# U% `: k( G) K/ r/ Q' L6 M6 F& t( L7 D, G7 z) f2 w% N
2。下边证明有没有毛病?& v- s9 E4 N; E8 g( Y
8 I" t! j( g6 }) u' {% i1 i9 a
设  a=b
3 r; R' z4 g$ c1 y8 _; |
, w& L" t+ M% s" c2 P/ _- t则有: a*a-a*b=a*a-b*b
1 {- ?8 j4 A" Z, t7 t% M两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):' @% A% W$ ?6 w9 O7 B# R
* R5 p0 }- r% U; p
a(a-b)=(a+b)(a-b)4 _& @5 H$ ~* n
a=a+b
& Z* u% m+ M7 j6 ?a=2a
6 o6 d7 B6 l# b# J. @1=2, d7 m: o/ O  N4 T; _
6 l" |5 |8 Z; [: E
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试3 |2 K; P: [7 G7 t- r9 p" k& T# ~

$ L. z: q/ p7 F6 H# Q7 N1)不能。比如1
  E9 Y) c  h" F9 a2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
/ {  B) q$ ]& D( O; ?& T9 B# Z' E9 V2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:3 j0 ^. [3 z( t" G" }- U
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
; K# v& k! R9 a7 B' Y7 `6 J2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

$ u9 A, e2 s1 _3 t  X  o看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 |1 [/ p# I. \1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
# f: s2 F3 V1 N9 D4 k$ W

3 ~) L' _2 F7 _% L; w; F) ?% b7 Q为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
; B5 ~# S9 R9 n! m, Q4 O$ Y: w+ D+ l( ^, h
Proof:
& Q3 `' V2 P/ a  o- G7 y; [" h2 Z: oLet n >1 be an integer
7 |1 e: f  R5 \* ^! `. O/ |Basis:   (n=2)  ?% K! X3 Y! _# N
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3' \4 K5 d3 r# _& `' {  {

1 [8 ^: P% b# {1 x% `Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
/ l. _5 q1 e5 W4 X: `8 _                                     K^3 – K can by divided by 3.
  _+ B' d6 r" \; t0 u, t0 H) \- g' d: r+ _  X1 O! y
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
" v# F8 R: i$ {# i7 H; _since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
$ J1 ~8 \' z, L  w9 _" }7 e: ^Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
2 P1 j4 e; {/ S6 s                                     = K^3 + 3K^2 + 2K6 ]6 q3 U/ v# g: O: [
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)5 K- d6 X+ C8 [# Y  X7 q
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K); f' I; q) y7 r) A1 V
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0# E7 B+ d- U" c1 G) b0 c0 v2 Z
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)& T2 ?+ C% K" f- D. r  B
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)8 W7 N  p  w/ g. w1 ]5 E
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
0 X6 S% z. Y# U5 m4 X, U' C+ U0 J% q1 [
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1., T4 A# Q4 H. e- K

% a0 w7 Y# S8 u[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
7 f& t5 }+ }2 C* p7 F; N: e# `+ |- y; l8 r4 R* T7 [8 T
第二题应该很简单
大型搬家
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:& h" o; N! C: h+ Q* L) h# x
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
/ P+ L0 u# d$ W/ R# q7 ?* A
  ]' r0 P: A+ R( J" V: b, r
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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