出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
% w8 `4 C$ G2 w( \
* ?1 n9 e7 Z8 B/ D  v% c2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
  n1 }, e8 q4 I4 `8 g2 k
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
% _3 h8 t: X( V两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
3 E# W5 Z) j" I( e& g1=2
, f. g6 X& x1 y, e% p' @+ w- B. {
3 F( C1 H: @) N2 u8 G0 X* {, ~; V证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
  W* `( r5 O6 F& d
1）不能。比如1
# D" h+ d7 H7 `! A$ E3 h2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: @7 b1 V" P6 X3 {+ A: V2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

+ g. k# U$ |- L5 H+ F1 a为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
( M5 m" [' B: {) W- Y
Proof:
Let n >1 be an integer
; D& i1 f" h' rBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
: B* x  c4 D/ Z" ?
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
* I& {8 Z0 w1 t7 ^& O& D                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
4 L4 L& ]3 B/ ]2 O" J$ o                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
# D3 }# _: q; ]: L; {1 F; S                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ L" E+ e/ @9 K: `" M                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
5 e6 p8 |$ t3 W% k                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

5 w1 _+ {& t% N$ N4 z2 y' G[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
" X/ D+ s1 I( RShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

+ E4 `2 }5 Y- i0 O- wSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.