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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?9 ^" o0 E4 D0 a) T- ?  @
) s4 a5 L: K- s; e4 W
2。下边证明有没有毛病?) d  O0 M1 L9 j+ p; O1 S5 b
  z& }9 k3 c) ]8 M3 j3 ]
设  a=b( T7 I. H( @3 F/ {& C4 T" B

. y! \; W1 S! e3 y: s  [( r则有: a*a-a*b=a*a-b*b
0 g# y, e. s7 [! e6 ?6 y两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
* c  a# l: L6 R
0 ]# d6 Q5 L4 S+ q1 l) ~- S& f, Xa(a-b)=(a+b)(a-b). T' i7 E* x! w5 N/ A' a& V$ W( t( I
a=a+b
6 o) y6 x$ C' u) N/ ~9 X. X4 @  ha=2a
# k+ V! m" {$ C3 U  T$ G1=26 E; j! G! ~1 F5 Y' m, C$ v
. X; u# g; r/ q# y
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试6 h0 n* W7 U  r/ c4 D* n
3 _4 n. p5 P! F7 ~: S7 A& e& u
1)不能。比如11 o' U* j( T5 r! N' ~$ L
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
, D5 d/ X9 a3 t3 Q# q2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 A3 u: ?4 O5 p; G9 a2 \4 h1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。, X4 T( N; F1 Q: u
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

- v. Y$ g( H6 }# k; d$ G0 ?看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:" `4 d7 E7 Y- S- ^# f
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
* H/ q9 {. d. ?& D
# J* s: U" S* Y# }! c( a5 l# c" T
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)$ j$ C8 _( |3 J. }0 }
$ e: n0 I. r) p
Proof: + y( Q5 r8 R) ~+ o7 F
Let n >1 be an integer
/ I) O5 a, F! r* a- NBasis:   (n=2)
- f- J) b+ Z0 p" B9 U1 P! d         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
7 t. b  D$ ]3 D0 x3 l1 x- q
7 p' {+ y& ^$ J. b; {/ hInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
% g; T1 @" U# j9 F2 i+ `% W                                     K^3 – K can by divided by 3.
1 P8 x: E. v( Y2 V& k( g0 W( h5 Q$ G- V% z6 E
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 30 e4 v. U3 |; T" E7 E
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
3 p4 m4 f2 Y# b2 aThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
; F1 d( O* l9 M( X. h+ o                                     = K^3 + 3K^2 + 2K* R/ w) {5 ?* |6 z* P0 B; p
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
, [: Y. g1 j4 |: h1 x                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 N7 e0 n) F7 d7 P8 N# E0 J. Fby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
" t& ]1 \6 M# Y9 i+ ^6 GSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K), h5 B- l: C. W& C3 p: s
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)4 d0 D" E, C6 O! D# O# d( {
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3" `1 U, U* U: }7 s- M

% j% H- m$ E  mConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
. Y1 x+ a. K/ V  e* L& c: c
; `- @# ^' k6 h9 O2 Q[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。0 ?3 ~* E5 o1 G9 `  `. c2 [
) k- p5 Y& W+ x2 C* d
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
& S1 @& p- b. Y# ]8 h; rShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
, G# |: T4 _/ r
0 D$ ~- e( \: n) _" X
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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