出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

9 U4 g/ Y; n6 K! o+ w; u! ~2。下边证明有没有毛病？
: C/ K& Q% _" J8 s. X  z
# N. w" a, o) ~& Y( Y设  a=b
3 n" f# y: c2 D) r
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
' R) u4 c! G% E9 I2 S两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
+ ~' C& Z+ ]6 u  Z. v; Q5 W
: t6 Q! B6 ~& ra(a-b)=(a+b)(a-b)
: e' K1 z  ?1 ^/ q/ Ra=a+b
a=2a
1=2
: G- R" C# U0 R; C7 k( l
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

- z0 {: y3 F9 e; T. C: U# K1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
7 d' s2 x- k, k/ a" G+ o- u! s, d% B3 e1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 H! @9 ]' g' p0 M  H+ e2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

- O: |9 T2 v4 n* N$ z$ M& [看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, H! R; T' s7 o* e1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

, y9 I2 ^3 K, M2 v* v7 `为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
+ P, x0 V/ l" x
# Z6 s+ l9 ]7 z6 Y. r' BProof:
1 M- P0 Y! c+ ~2 v! TLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

' I  N6 |9 T. qInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
) z& A4 B# N1 a+ A; E# c2 p
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
% d' [7 I( n- a( \& s                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
7 f# T# _/ r0 C! r* g% O% |1 o& `                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
. b' V% t4 V: |4 c* ]* n                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) \7 S9 P" D8 G$ o                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
4 o! V$ k/ ?  F+ A/ M  A                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

0 C) j+ r& N1 V' v. rConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
) u2 W7 {+ `+ t3 G6 l
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

8 p% ^8 H/ ~. ^SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.