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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?4 b7 W& }8 T6 f. ?* h( j% p" w/ o
# Q1 i+ w( I  s* v1 N" d
2。下边证明有没有毛病?
) h3 x+ ~7 L) b0 }5 P6 ~
. v! W! h$ Z' q6 y设  a=b
& l! `7 N5 B  s" A9 |, ]5 T" n% W# w" ~5 ]9 H2 o7 [% X
则有: a*a-a*b=a*a-b*b3 I& o0 j3 ~5 Q+ a& P5 I* ?  ]) L
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
# S5 O0 H* O5 ?) d/ e+ Y, d" V
8 Y$ @, p& P! M( Q4 U# d3 S8 b/ }a(a-b)=(a+b)(a-b)! |& w6 D, c% ]0 N+ k/ s3 p' q
a=a+b
* }. i: D* E1 h1 s8 M6 I0 P, d6 ~a=2a4 K( ^5 L- @) d+ x+ ^: G9 L) u* H* |
1=2
! ~% {; I: J% H' b$ e
+ @7 H7 W0 i5 D% f$ F证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
0 Y1 `6 a+ V9 \$ v) h  T% ]1 Z$ [( V: Q+ p4 h; l
1)不能。比如1
! T9 R& G, ]2 d2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。* D% v- }8 x& d( i! A! x* C& [1 n2 ]  W
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:: J4 u0 n6 X2 A- n; Q, h+ o
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
; o$ }) M3 x. F' p7 [2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
6 k! C# k4 d% L/ ?
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:" D; Y, G+ T0 X6 o7 D
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
7 N! Z7 D: \$ S& e8 t1 {

' ]0 {# c) M! `* {) O# \为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n): m, |9 ~% t5 {' u7 O

3 ~' C" `8 x6 w+ u% x! P& bProof:
- N/ W4 p+ Q' H- W1 W+ ULet n >1 be an integer
7 n$ B. q4 @( v7 yBasis:   (n=2)
3 K" D$ d( t7 i& y3 l         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
: U' p# a! Y0 O& Q6 N  V9 g3 i  ?) H# R3 h7 \' g+ @' D8 X6 H. q
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that/ k. |& y# S4 _6 I; W
                                     K^3 – K can by divided by 3.; ~7 g6 k8 G% ]: ?3 L
/ a  R( H$ ^# z# q* z8 ~
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3! [8 ?% G$ }: m
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
& m2 u8 m* Q: ^! p) k8 A* KThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
( T. e3 K/ K3 T8 g6 s" D/ Y                                     = K^3 + 3K^2 + 2K- M; O8 l: q# P  g7 ^
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
. z& z" G) d, o+ v4 |                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# \! `+ a; p  p, @5 p$ ~0 Yby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>04 l) W% |& z5 W( l3 o
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
8 |% K3 E( g1 V, N                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
- m1 o; j6 s, m: q% u. m1 v0 r                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
% P. i8 F3 R- x* Y
6 W& K! l5 I1 U0 DConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
* h( K9 x; d+ q* ~6 r! s3 y7 k$ p7 D- U  @4 `
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
& e- H* f5 q6 n: S2 ~
/ t) e& \( ?, F第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
  @; z. k8 g: M/ c  q* m/ B+ F7 ~Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
) W. ~) J$ ?8 O# X/ G7 B
3 p- ]6 z! t( Q$ e8 x2 @- w  H4 s
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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