出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
7 g$ W8 w# D. u
" C6 Z( I1 \. s  ^2。下边证明有没有毛病？
/ _% p) C: S/ t4 B& ~
9 g' p  b" [9 Y% K7 [/ x设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
- W! D$ s4 j6 ?
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
+ _3 K) Z# T5 {8 _a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 q. o" V" t9 F) U. D, [) z+ h- C2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: L( B0 s5 {3 k2 ]+ v) [' D' J) S# X2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" T8 X; X: @6 H

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
! s( t( i; G- X* r; l
Proof:
! ?' i7 L+ R4 iLet n >1 be an integer
8 L: f1 W9 W! D: q+ G' ~5 J5 C. h( iBasis:   (n=2)
# A9 n) _6 v! P" k2 {         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
$ }% z7 M0 q4 a1 h( Y- `' A
4 F1 m0 P, d; D3 x1 L, I  sInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
) v6 o& q! j7 p  s- R! Z                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
2 u+ A4 d( y5 r% x1 g# {5 S                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: ~$ n$ c. {- ^* I' c' E3 B) sby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
0 H  e' m) J9 g" m/ s                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
+ T: T5 c$ E3 L" c$ c9 f                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
9 D/ H  C+ m+ ^" x* O/ m! b
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

* }0 ?$ r( P5 s  J* V$ o[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
' C+ X+ I1 P! b" ]* v+ c+ M( p
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
' \9 k0 _* j1 W, y- `, S  E& a% GShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

/ q, u8 k8 i# R( r0 p
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.