出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

' o' o" U) k8 y; t2。下边证明有没有毛病？
5 d* I+ Z2 T* C# V; \5 u
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
/ {; s! a( D/ _: q/ g% E
a(a-b)=(a+b)(a-b)
% o1 b  [& e5 O/ n0 n. fa=a+b
% n5 `) T: R* H" x& l' Ja=2a
1=2
0 l' ]) [6 D7 b# @
: q: l- X9 k1 g! ?& `, k; F证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
! h) x) n/ k- n) a1 Q$ `2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
; g5 ], R1 R* G6 Y2 _+ C1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% A0 R) Y3 T: [1 k) N; B! l/ W2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

2 s+ C8 q# n4 J5 z; d看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 K! _  ^8 N) t& E

/ n1 ?# i3 a6 V) e) ?为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
" ^, H) @" V% g( aLet n >1 be an integer
# \$ R9 O4 x+ M. P9 X* V, c" B" BBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

1 k- Y0 J' j9 M4 S. V1 DInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
, |6 I& r6 ~" x4 i0 W3 t& @- V. ^                                     K^3 – K can by divided by 3.
3 p# I2 I4 ~2 |
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
' D; t, Q' a+ j, \+ V" xThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
6 M9 W( g" Q& W# }                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
1 O7 S5 f, {5 Z" Q: Y$ j8 g9 ^So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
3 m: }- e5 c( c) I2 W% t
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
5 {* c2 G+ J* M9 ~5 e# [( Y7 PShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.