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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
; i) j) t* o1 e3 E. g
% ~" u+ T$ |1 @& X- r: i' z2。下边证明有没有毛病?: w& _; k# Y9 m  U/ \
" ~, t& F2 g8 D( y0 u
设  a=b
7 Y: F' T4 R- C" D) N' [; l- Q1 L+ r. V
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
4 S: x/ Y' ~. t; H; w. ]$ w7 \/ ~两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):. P% \6 }1 N( f. m

4 O) E4 \3 Y7 t! t$ N2 b* ?a(a-b)=(a+b)(a-b)
" K+ \# g' s7 n$ ya=a+b: e4 M" O4 C8 y4 U
a=2a
# p+ S" r# F, P/ S) s: y. r1=2* ^& k5 h" V$ M$ R
$ i1 L' ?; g. g/ v0 w3 W
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
- h$ _! i  z, g! j2 b( c  M8 x8 C# g, k/ s* F: S
1)不能。比如1+ I' U' A) B  z# ~- e% ^- e
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。7 g7 l1 x. W+ R; z& j4 t
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:! c% X4 ^# Q; T7 m4 f1 A
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
7 c$ o$ z4 }6 g, j2 M2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
9 K% b- q  n( C% t
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:! ]4 @: q6 {2 `) b+ E
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
6 n' g; t. B( z* [6 U/ L: X
6 p/ [* p! W0 l2 x
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
6 }6 B& |9 g2 d& y! a
8 k) S* @; x8 f# DProof: , H9 x4 D6 k5 _! I% {( N
Let n >1 be an integer 0 d* }, [3 V$ t+ N; c$ V
Basis:   (n=2)7 j4 a4 a5 T8 Z+ w
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3, c$ q( K* T! ^( b
" |0 n. G1 R; m3 _1 g* j4 X
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that/ D4 \* @) Q" A& Z. _
                                     K^3 – K can by divided by 3.
2 s# ?6 V% |6 _8 t8 z& Y( |0 u+ z6 w5 L
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
* S3 p" j: s1 e6 Q/ j6 ]since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem; W. l8 v/ x. }* p  N
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)* ?! z2 N. K: ^
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
& L& |* }4 G8 g1 v4 U                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K): y9 Y* K, q1 |
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
5 ?$ z2 i* R# y& I) yby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>04 c- I9 N2 L% i' O. d# ]/ J
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
; ?0 `2 ~* H2 T4 U: m                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
( _( Q$ m  a1 _# N& ]                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
; W" T( m/ \+ }1 I8 f/ C
9 X: G* _* l5 Q3 {& N% {- u- }Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.3 Q3 i+ j) `( E9 Y9 F
# a% P7 j7 i/ `: t2 F, }
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
& J: j) \' R& n* t" e1 p6 R0 g- d' ?
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
大型搬家
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
5 m& \4 A3 @- y% g# CShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

$ U, t  l" j1 C+ X, M  K. ]' M2 p% V$ s3 _- H$ |# A' T
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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