出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
" D' d  a  S% v; Z
% W# D# R/ q' x/ r, [7 h% _2。下边证明有没有毛病？
+ I' t8 y: }1 x8 Q- o/ [6 I
! o6 e* s. c$ L7 k/ d设  a=b

6 h+ U: C1 @( o4 ^, q% `则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

- R0 p3 ~6 {' H+ P$ Da(a-b)=(a+b)(a-b)
; E0 I7 W) T. d' Na=a+b
a=2a
1=2

1 e; |( f4 j% u5 f( q证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
' }! Z6 V3 J: Z# t3 q! a2 I2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
5 P' D6 ^8 D" W% y2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
. C' N1 D' Z$ I, e1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

! m% a6 x3 N! g! K7 N看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
$ D0 X, T. L, \8 ~- K1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: ~$ e1 d* D* s9 b& z3 B

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
6 J/ R% U# [. g: c" U5 WLet n >1 be an integer
) s0 {, a9 _: `" O" }Basis:   (n=2)
2 _. p. y; q1 Q# v         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
5 M! ?( c' \; p% b8 j* jsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
) Z& @* H/ F0 iThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
: `# h1 g) T4 n9 F                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
9 C3 ~% ?1 t( k; f* `' q                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
$ r$ {  m9 ~) o( USo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
( q2 }5 f( O9 I2 V4 o3 @# I                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
1 x  i+ F( b3 ?7 B8 c! Y" X                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
* P6 y* F: N& T/ v) Z
1 \% [8 n6 }7 O[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
5 T* T+ P2 V: qShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

& v* d6 b' Y' k( P; w' C
/ e; N" S$ q+ t- B8 C' t  TSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.