埃德蒙顿华人社区-Edmonton China

 找回密码
 注册
查看: 2063|回复: 8

出两道中学数学题

[复制链接]
鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?- c' y0 Z0 ^- M% s$ l9 w8 `: f, i

& K. ]" ?0 x& p* B; C* l2。下边证明有没有毛病?
2 N- d- D' K+ q; l) B; y  ^0 n& s& G5 O' |9 e# k8 T8 d2 Z$ ~
设  a=b
4 f% \0 T2 _0 P' [: l: |0 d% }7 @( b, w; _% L# A. o& ~. q; L4 {5 j. M
则有: a*a-a*b=a*a-b*b  t8 r) v- T% ?+ \# C$ i7 n
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):  B' r6 H  r8 x  F  S- \

  G8 V. X" [% u; \: i7 O0 _/ [a(a-b)=(a+b)(a-b): b3 q& b9 l0 R! j& a) C/ [# _2 f
a=a+b  M5 p1 f0 h# O% ?3 u: g+ V% W
a=2a
( r. U4 k3 I- \0 z; Q$ O* \5 J3 u1=2
- w$ L6 F4 T+ ?/ u% ]: R. l. M- F( R3 h% W9 U
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试+ r9 S/ v  S" I% c4 h* T
  X; Q( h. X# e2 S$ j' V
1)不能。比如1
3 k( P2 o! o8 W3 J2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。! l4 j$ s0 h0 F2 e+ U. \
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:9 Q: F9 A2 b7 S  X5 m
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
) w( ^  B, K, `' |! W2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

3 n5 ^& O0 e! P8 |* p4 j看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:9 L! L1 B' o3 G: D, _2 e# N' W9 r
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。/ f7 P& C) M. s
; M* U$ o$ s) |( ?9 L( B/ h
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)6 Q' D  J% B9 s0 {. P9 N7 L

3 x+ `8 T% j& j4 F; ]9 wProof: / b7 p6 v. z# Q9 G1 k2 M5 l. v; }2 I
Let n >1 be an integer   J( _$ R: P7 b  B- z8 m  M
Basis:   (n=2)
3 \. z- R3 }. o: ?9 `$ p         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
' f; N* z  }) c3 U' t+ m- }% `* J. n1 y% m2 X0 M
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
* s$ V# q; x- g, W  H                                     K^3 – K can by divided by 3.
0 D; ^# n0 o. E$ X7 F% n6 S7 e- R& i" e1 H1 z
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3+ ?/ o8 A$ x, d) u# m
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
, N+ M& t4 A0 q2 T# F7 D# E9 O: }6 VThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)  w. T  T. Y) Z* v7 Y  \
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
( q( [0 U2 q! \+ u1 V9 b                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
, f3 l) h  R/ n                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
4 ^0 Q. z  O% H5 q0 `by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0( ], a$ c( ~) P7 e# g
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)4 c5 W; \; K4 b0 l8 L- M
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)* {3 ?, e6 L4 q
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3& c9 ~) W+ |) ?0 K( g! J
6 V: X. M- d4 x$ B+ a
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
- D" t( p' s9 V! N( X7 Y  ]
) S( K, y) }, |: ~1 J[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
, `: k. J! ^; A& E( h" w8 @9 ?: x: w- v! ^7 ?5 w" D
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:! |) Z1 V/ x4 a* C. S/ S
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

- j# F  [2 n5 a: X7 ?" C+ C
9 o$ r/ n. E# u8 rSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

联系我们|小黑屋|手机版|Archiver|埃德蒙顿中文网

GMT-7, 2025-11-27 23:46 , Processed in 0.151232 second(s), 17 queries , Gzip On, APC On.

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2021, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表