出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
5 u' U/ I" _0 P  N) J# w! Q; I
2。下边证明有没有毛病？
- B5 `: B( w0 Q! Q( _0 z
设  a=b
; Y3 j2 R+ y: ]4 L0 D
, q8 ?# C* i/ e* N则有： a*a-a*b=a*a-b*b
' p. d6 X8 N2 c" Q2 g. b! ]两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
! j+ _2 Y+ |0 K+ M1 R8 d4 N) qa=2a
# D% l3 e" e* I0 n" o. `1=2
) d" J, }# X- T
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
7 w) W) h, c2 v' Y9 ^/ ^( Z6 `& C
7 D# E  q  {; b  h2 R1）不能。比如1
# W! F) E; d! L. m& D7 F2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
' W* p. b/ y! E/ I! |. B2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

; g* ~& o& l( {! V* i+ y* w- l看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 u* e  \; p& N9 g

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

- T' E% X3 L3 c5 u# Q- ]" x( gProof:
& }' ]$ S5 k5 F' C) m. X" N6 @6 nLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
3 p) k4 E% X- W
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
# s3 e' k2 Y  s5 M" X
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
' D2 X' T4 _$ C! S* u; Asince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
: w' o* A, H- |1 B/ k, k& l+ |                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 V" T; d, b. [- W: P                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
6 H. W, E$ _, h/ y7 ?                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
& `# O# I8 w- R0 y0 V. _2 R
: C0 }9 ~4 ]. n  `Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

9 y' x0 w/ ~6 D! |5 I& F! p6 W[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
0 a# s# N' b0 \- F3 r# \) H
/ q9 ^' d1 J0 q: l第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

1 p7 f6 |* _" ~& sSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.