出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
; v& r! X% m. w/ a
2。下边证明有没有毛病？
1 I! ?! @! t+ Q" J7 j* e5 @
设  a=b
3 F+ C* t+ @/ ~3 M' j7 V' \' d1 s
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
) K# b( X! E# \7 z& W5 G两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
- D2 W2 ?6 d7 Y8 Z* C
% A5 q8 X+ e% ^  V" U: \6 va(a-b)=(a+b)(a-b)
9 P: N: k# A. Ua=a+b
: b! @) h5 M* K) Ya=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; j" {, C  |8 i: t  T: S9 F" ?, p. v2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 f% B/ F, V+ y! V9 l2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

; Y. s* y) a4 R! o4 w看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
# f  @! h: C2 g6 h6 D0 s' P: h1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

3 f( j! _2 {% A, _为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

) C8 S+ m0 Y( F: R; j; r! xProof:
1 o' m$ K7 {9 p) fLet n >1 be an integer
" q- k, [2 e5 I3 h* i9 b( yBasis:   (n=2)
8 n7 I+ h! |& Y6 N, B: }* M         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
6 D- F# ?% z* D& W/ W6 R4 P" L
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
8 H  G! b% ]5 i6 q2 }# }% {; D% l
' I# A: ^. m& r6 z) ^4 {! }/ H4 Q" lNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
4 y5 M/ [) p; `( G( `8 h$ Lsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
5 N+ |& s( b5 ]; j+ j2 A' \2 f" |                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
7 c8 @! v9 V; _5 b6 J9 q7 T                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
% L5 |! p' B$ ~by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
% B/ H0 ~  M! E( }) jSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
# J' j/ @# n6 ~4 J6 M5 I+ ]  p                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
6 J1 P& P- ~( n% U) j
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
, M  s; y$ b' i+ m
7 F3 o( ]& K# w1 S* l8 |第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
3 g5 E' i5 v% y  I5 O! `4 }; SShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.