出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

0 s: A" p+ h( z8 h! e2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

; U& p( \, ~8 P% R则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
5 Y1 W1 \1 B, \3 k( I, _
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
# ?: y# g( K6 n+ ^  g4 t1=2
5 ~# k- w9 N9 k' u1 G5 T8 E% r& R8 S
9 j6 v8 x/ x9 J" @+ x) A( K证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) @. G, T3 ]5 S5 Y& C) @7 t" O  D2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

) \' m% y$ R* y% t. ]看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
9 Y; i8 U& S4 X: m1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

; F' i& E4 P% n, d4 d+ U为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
/ N* w4 h; b0 a+ N  {9 o
Proof:
Let n >1 be an integer
7 j% V& Z( b. m1 }: Y0 f* fBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
$ d. R: e* W) d7 O) e* O                                     K^3 – K can by divided by 3.
) ^; \4 O, Q+ Q* u
8 N% o6 m2 N) uNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
5 Y4 C; @9 d$ m9 K% e/ P! N                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
! ?* ~- Q' u' \, o+ x9 }                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
$ H  w% |" ^8 ?5 ]0 oby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
! e8 ^4 G; o7 N0 l* j9 rSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
0 D& {2 K' q$ ^6 W, z                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
; g& n: Z1 s: U/ p$ ]& [
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
0 C4 ~. k- I5 o) J
0 R5 d. f, m* h[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

3 Y& \4 T  j* J: S# s第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
. F1 r7 q+ f% C# U) @9 @8 JShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

9 ~% ^& u3 \6 K' `% t- b
0 @5 V( @0 F  ]# _5 ]) vSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.