出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
  H  x. ?  ~: O) |; G* |
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
# W0 h  R7 O( B; }9 d
a(a-b)=(a+b)(a-b)
. O6 P9 k5 x* la=a+b
3 x' e9 C$ @; A" O8 J  ?+ ba=2a
5 I( m- x/ ?2 a! u1 j- y1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

& y4 C6 F; F) V1 J1）不能。比如1
$ C! |5 {1 T+ R( s8 h3 H( R2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
5 R* J! n% q  _+ s2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' z; ?+ t6 z* K1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 H1 i6 ^  T2 i8 [3 _8 @! ]" G. ~

* X: _. ]$ i, m$ l% H为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

1 w8 a+ H) h6 M" D% n& s: o( q/ TProof:
  `5 k) q% @% z9 Z" NLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
) w. v$ h& L. I2 R6 I/ L
) K' R% E" w4 R# v. M# }2 gNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
* k( H: C  ^; C: a+ j# Nsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
, C1 Q  o8 Y7 S: TThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
- C# E% `  w3 e' u                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
4 k2 r7 F" j- S9 Z7 e                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
9 F$ l8 ?  T7 _5 s9 S                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

* ^. b8 @7 g7 B2 dConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
5 q. m$ r. F# i
3 [. [- o7 k7 A6 |7 Y% D[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
: B- Q' F2 c# ~7 `" b
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
8 u3 T' z" P4 G% S2 pShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.