出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
7 q: f3 H7 d* d! g. p/ [  d
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
: c% A) ~; S3 ?6 t3 {. J. L1 l2 p8 m
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
# \! f: }4 @3 s$ Y( ~9 z两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
7 ^8 C5 C6 ^5 F  X1 B( }
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
2 Q+ q- `+ P8 U$ K% N- A$ a
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
$ A  t$ P: s8 H! E/ e) F, e
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
9 |! g/ C6 }. t6 l. A6 T) u/ ~2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
% Z% f" R5 Y5 c& F
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
/ f6 x: S7 u' S( x* t         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
3 o( _$ g& f8 I, ~) f
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
* A' K& E0 w- A6 T( b
, F7 Y6 Y. z( M, _( I# iNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
- d9 M  k& p1 V2 e9 F9 \5 usince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
) K) I$ w1 r: x0 V6 t                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: ~- a! R5 e$ A9 eby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

1 J3 z  s1 P! L/ `. DConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
* g7 @  u; |9 w4 m9 \
. {  U( U& ^  z! e. l[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
2 Q9 \2 J6 Y3 F3 @
; J, o% w( q) L" y' R第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

% a) Z5 T+ ~" q3 n- R; y6 W
, {+ E9 ~7 k. u# S% M" wSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.