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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?$ e1 v$ i9 ^+ }/ ^0 X% c0 Z# Y2 V. O( X

- G' V; q6 P2 a; U2。下边证明有没有毛病?/ g$ \* t* z! Q% H% D- j, v8 \9 X
  C' B2 `6 ]/ P) ?' l7 h2 N$ K/ Q
设  a=b
* R4 q8 v1 {$ X% y& r1 |! g" f# t9 o" t; T$ j
则有: a*a-a*b=a*a-b*b! u( E9 e9 b. X
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
( r( j& F- L' d5 |& `3 y7 g% d1 r, w( c
a(a-b)=(a+b)(a-b)
9 Q5 {: x% S5 R8 q; e6 f- na=a+b
2 Y; [! j: `* b6 ^8 J9 ia=2a
, J+ M& I- Y0 x4 I% d2 x1=2
( l+ M$ F8 }# k" w
9 E! D# J( e8 h6 q证毕 ,结论,1=2
理袁律师事务所
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试- L0 _" w  k5 |* i3 {) j0 M

) }& L7 g1 O; U( p2 v) H1)不能。比如1
. F* _! X, P4 I) d' W2 a* Q2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。7 Q4 S# L+ D6 _4 C- I+ |  u7 ~
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:: q4 l! j" q1 A/ m7 l+ P
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。+ h6 `  A" \6 }3 t- [
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
! b5 }& ^9 _* k% R( B
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
# N8 C3 @, ]7 W2 K& i+ E  b: N1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
4 u5 z% E  O  e: v8 S

1 r, L9 Z& J0 ]) U8 v% N8 Y& T- @为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
: F6 W. Z8 D  A- T3 m  }5 u2 e& G
: y4 [: |7 G6 x! I& M) }Proof:
2 }1 {; m2 R9 h, G( qLet n >1 be an integer * J3 M& I4 V! \; n( B. g/ t, D
Basis:   (n=2)
4 `6 ~0 e+ @0 H7 j, I: L. p3 `         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3- {: }2 u) _: Q! n+ y7 F3 u- _

7 P3 x# d3 W! d# `6 t: J; U8 AInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that1 w. t$ @+ \- w
                                     K^3 – K can by divided by 3.6 f% r/ U" L6 `- b4 x5 e4 K
; w* p% C9 m, ?, o% Z
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
& j2 @, I3 o; z# Dsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
" j2 k3 R3 i: \" `- WThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)" D  I- J8 Y9 @1 Z! r2 l) I
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
3 |3 p6 [, B5 L3 r  S( _                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)+ K5 [: h% b6 B/ b/ K; V
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
* U7 |3 `8 |$ qby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>00 W8 v1 |% U2 T1 ~7 R8 v$ ?
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K). M$ |5 J1 m; e/ i5 D( z7 ]
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
* N; H1 O$ A, S9 d                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3& I4 k. l0 J7 |7 y# x2 k/ A
4 L' u# @( Y6 D1 c6 _
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.  F8 i" g0 l1 {  ~+ R9 |

) x' x  m5 K% [, D* y" _5 q. ]0 Y[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
- r+ A' i& ]2 K1 g, O7 [( N! S* C! B) j; t2 ^
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:/ p/ H; i+ I0 a2 b' T) C# J% K
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

5 t  {. I3 X: }! F$ I" F& F% T
6 r9 ~# `, d; ]( |: e$ T7 H) PSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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