埃德蒙顿华人社区-Edmonton China

 找回密码
 注册
查看: 2611|回复: 8

出两道中学数学题

[复制链接]
鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
+ `* ]9 _7 a2 G
* f, Z( ^9 {  q2。下边证明有没有毛病?
# s1 N7 t( q8 b( I  o9 f- r' m" W2 }  i
设  a=b
, a2 k. F/ T2 n' s/ d- r
6 y! h5 Z( M5 h, b8 T% j' j8 y则有: a*a-a*b=a*a-b*b
) u/ m: x; J/ M两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
- t5 R0 S6 {' R& _( U9 _2 o
; l) K" u, E# g! [8 s8 T- }& ya(a-b)=(a+b)(a-b): R( ?8 H) \8 t! V5 g
a=a+b
- ~4 _2 w. [( R1 _/ I7 B9 ya=2a
  f8 p: r( f# ]* G1=2" E' O; I  l) W+ r0 f
0 S6 ?4 X% {( f# l- o7 ~$ K
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
) k3 L: x, A2 \% C' t. t2 A2 h) p
; A, |% G! l1 Q% E" S; w1)不能。比如1
& j4 F3 l6 G3 j" {% L3 l$ `2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。9 _) t  E9 s% Q# j7 |
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:( ?, U2 s1 K- k# T- |6 G
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
! v6 P( B, Y5 V6 c2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

* o! A; X4 c8 O9 S0 C( R看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
) W1 r. c3 G4 }' q( y# p1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。; V* D) |% {4 @, c5 g8 \

, G4 y; i9 q2 _: m$ d+ d为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n), }+ T  C2 i+ D0 l: x
! e: T3 d. \7 H( `5 \; q& D
Proof:
4 j/ L8 w4 T5 m6 ]1 ~Let n >1 be an integer
! {# o8 ?( y6 i2 V: y2 u3 W% }Basis:   (n=2)
$ q% u* l- w% U- ]' {+ X, \         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 34 P* b$ n" O/ q- w. {7 X

/ v! M* B' z+ ~3 _, a" ~- nInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that! s0 M3 ~9 l7 O! B
                                     K^3 – K can by divided by 3./ e: n  z+ w9 N9 P9 U

/ Y  u5 k: z5 vNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
: K) B: m& s9 n7 Z/ F" G  ^since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
1 `! x" ]# W2 zThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
0 A$ z, v" l2 m  ^+ n                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
& q* X% a3 w( ~                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)  a! N- J7 D1 ^  {& v; s" w
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
. o2 C) v; ~- e/ `, U/ F3 S$ Kby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0) |7 x% `6 Z; T, B8 ^
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
; O% V1 A: X9 g% [                                = 3X + 3 ( K^2 + K)$ [8 h8 T" X* b* l/ O2 n
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 38 {' }0 z2 D1 o; J
3 c& X3 l( d' j4 e
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
! U+ V! U7 V: w2 H
+ b1 U  Q+ k+ U" |[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。, f( d, j; t1 ]7 ?4 U

( q& n! c3 u' s$ h' E第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:9 r8 {6 S. @7 J2 @  J
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

8 L, c  N5 c- A# R/ j5 h: s* Y" F- T+ q; X. N% `) u8 {
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

联系我们|小黑屋|手机版|Archiver|埃德蒙顿中文网

GMT-7, 2026-5-6 23:27 , Processed in 0.162650 second(s), 18 queries , Gzip On, APC On.

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2021, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表