出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
, W  j$ O+ B* D. v+ e+ B' _7 }
8 M1 G$ o, S# W2 X2。下边证明有没有毛病？

' N" O5 |; i8 i8 l设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
, M: G- J7 @) e& v0 @1 ]: H6 f  N两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
, [' l+ A; b' r$ `6 x7 j
; e& o  N# O1 M+ h1 I1 }a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
$ N( b  r: W) _7 A; `" Na=2a
1=2
) M8 w2 m" e2 \' p. F+ Y/ g
* ^, J: Q2 s' p) j5 W! Z, F0 K证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
: I  @+ ?, H$ E& p: Q
6 d9 |2 X6 ]5 u4 K3 D( J! y+ D( v1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
6 o( U9 V* N: f7 }  e2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( J1 g7 Z6 F: ~+ g2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

# B: N7 e# E; `- m$ b8 R8 m/ d& X看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: K8 Z4 Q& h% r7 P

- C7 X7 P" n/ t2 d1 i8 o" V为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
2 y9 J& X% s1 q& ~7 i
+ {( t3 R0 d& ZProof:
Let n >1 be an integer
! F. ]  j5 @& P, w3 f* GBasis:   (n=2)
1 A6 L/ E  E% Q3 _6 i" C         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
0 @( c9 B3 l' t% m. b) E. G# o
# p  p* g! |; E; |* ^! P2 ~' rInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
5 u; _' b7 i0 c2 Usince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

6 X4 ~0 [3 s4 ?. Y% ]Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
* @9 L' u/ [; Z& v: B& y6 B& W
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
! ^1 Z7 }  |, ], J5 v2 V9 J, V; c
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
3 ^( P9 ]2 o% e, E" @Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

5 A+ L  F8 m7 }8 x6 tSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.