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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?+ W6 o6 f  R. x: R
: a8 V) t, v% |9 U( q8 e; H
2。下边证明有没有毛病?
9 ^  G7 S' F7 K: Q$ r5 e" _$ F1 W# c* Q3 t7 Y
设  a=b
3 I6 k5 D9 y/ O8 k* K5 b, R8 n$ N5 k: I
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
3 m7 I4 B8 R' K+ r两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
: d. [5 z! i4 x) Y! u+ j& Z8 K4 R, V7 b& S8 ?5 @; C) W$ ]; K
a(a-b)=(a+b)(a-b)$ r8 U) Z8 I: _$ v" U
a=a+b: M: E+ R) }: x# l
a=2a! e& F% F: ~( ]! H. }2 ?
1=2
  F4 C! {* r7 b* V; `# i. ~/ d8 {+ }- l7 [
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
* |; d5 m0 C6 ?2 r
8 u8 ]( P; w$ v8 X1)不能。比如1% _+ D9 Z+ Q: \2 z, i3 k2 ]
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。8 U1 ~7 X. c3 X8 `) p
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:' B. z! j5 v& g7 V+ ?
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。3 M- j# v" |' G- S  ?
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
3 @  z0 C& n. R" v
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:% G7 S4 q8 A0 J$ X8 t2 J
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。# Z) t0 f: i' m& G
' O* g, B* }7 p
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
4 f) G# @. c; [, ]2 F- m, N) ]/ O4 ^" S; A+ @1 C; b  y
Proof:
7 T3 ^" y5 m: G/ ]9 g) c4 |: {6 BLet n >1 be an integer 7 g* Q; b- L6 I
Basis:   (n=2)9 U( `) b: @; c: N* M, @. w7 M
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3/ S9 v  @* U+ C, ^
- M5 `6 g5 T+ [" ]( p
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
7 n/ `3 G. W* h. c* W7 Y0 s                                     K^3 – K can by divided by 3.
9 i4 X# p( |# b) l, c8 _. P: s% _
% j7 G9 D+ {- R' LNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
. ]) y  l1 x- T* d8 c, t( Bsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
' V) v( U5 ~6 Q3 y! O' ^Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
* N- t( Q' J8 L3 e4 C/ A& [                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
! X5 C# o6 f( A6 H8 r0 Q( K                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
& S9 ]3 @0 K  }6 ~: f* z3 ]7 U                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)$ g* p& n- `! ?0 |
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0- i9 c% F0 p1 k4 e) v
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)4 t) W9 u! s4 ^3 ^9 b3 Q" J3 n
                                = 3X + 3 ( K^2 + K), V- x1 d* k6 g3 r$ R  O2 r" u( i
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 31 S; k: `7 z# K& D0 D

( V# r4 \- {7 V( r# t, ]/ b* ?Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
1 j: M) S8 W8 u/ b$ l' ~7 z& S; _5 \6 D2 m1 u2 g" o
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。$ ]! \- D, ]7 m% q9 @- F1 ]8 I! a
; b/ f; s1 X% h" V
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:0 e5 x* _% J* Z
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

% T# R3 w# f# a  d( M, U* R' F: F2 U; I' M) l5 |: j9 d. g" q
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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