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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
" ?2 `0 P4 x" n9 z* R3 H9 ]" n) W4 T
2。下边证明有没有毛病?3 _: ~& h; k6 {6 z

, X& p  m) d7 P/ {0 J& Y4 o! k设  a=b0 D- ^+ E8 r6 m" w0 n2 y, L! }

: |. Q4 X1 Z& M) |; c则有: a*a-a*b=a*a-b*b
, B* P) E) @: p1 N3 T( I; Z8 T% o两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
2 X4 P. `  L; w7 D, J. m- t  r; s( v
a(a-b)=(a+b)(a-b)
/ q, L* \+ q) x6 Ga=a+b: Q/ j: {) B+ _/ I, y
a=2a
& E- w9 {" _# h4 S6 j$ t1=27 @( E" Y% B! s

; C( ?+ Z5 i) x  g证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
- Z; g- D4 T9 W' G8 Z2 B" `$ {- L) g! k$ c
1)不能。比如1, O- k4 U. y7 y
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
2 D+ {* Y/ f$ S& Z2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
9 S8 R5 L# ^7 Y  g# A3 y1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。  E" ]* h& y3 m
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
: ]' r9 Y8 B8 \0 b& s
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:- m9 k, v7 o6 q3 t7 A2 c9 t! j
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
7 [7 m: C% m6 ^8 Z' w
7 b4 M/ A1 z# @9 y
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)  ~2 D# |! d' g% t  O9 Z9 {' I
4 W. p: ^+ L2 k' Q
Proof:   r# \+ l9 d. T4 k+ O+ s
Let n >1 be an integer
) {3 u* U" A1 Z8 T$ C. BBasis:   (n=2)
, ]) M. z1 r- H% G3 W         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 30 n, i3 N1 ~" t. N- X2 B

8 Q/ L2 V' z. l$ u: b2 zInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
( o& |% r! S1 ]8 R                                     K^3 – K can by divided by 3.
% x4 w% s: C7 R! Y/ t0 N; Q5 r& C' \# }% u
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
, w) a2 E* I5 ?# L$ R6 r4 Ssince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
; g& D* x3 a$ p" `+ J$ h# E& e* pThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
) y+ H, V, g9 k, |                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
6 `& @' {% P6 p# Y- X1 y                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K); ~4 ?$ b8 L+ `! I
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)  N" d% H" X6 p( l
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>03 N# ]' Y7 g' x1 X0 J
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, K1 j  T& U3 ~, E                                = 3X + 3 ( K^2 + K)7 F! c+ U* O$ F; l/ A1 o
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3, X' r. s  F/ J% L) f' y# q
# ~3 ~  z' v% C2 q
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
  \. L$ _& f" ?; @" `
$ H8 l4 ~+ n8 P& ?[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
" ~$ G  m1 z( i* _5 N2 z6 y  _, G1 O
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
大型搬家
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:& U- a+ }- W8 w0 D6 i
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
9 N# N0 }* a  C. m- x( u

' x, A$ _# Z4 f2 v% _) U2 A4 OSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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