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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?, b6 g3 J" r/ M1 ^6 J6 Y* p
6 P% |4 ?1 e* c( v
2。下边证明有没有毛病?8 t3 L: |4 F8 m

) w1 [0 R. O) r5 E! n5 M设  a=b
! [. Z5 H  H& s4 [- e- S6 M7 z$ @
. W# O5 b9 m% x4 w0 U4 D则有: a*a-a*b=a*a-b*b
" _& c& ^6 a, {9 O; Q8 d两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
6 y/ O8 A& F) x- P- X: @- e2 x
/ _% ?" p/ \- C8 f: r, {! pa(a-b)=(a+b)(a-b)
* `* c  s( ], A* ]( N% n1 I) Ea=a+b* y2 B& W8 T% _* D
a=2a
6 x; m: x6 L) |6 h2 [1=2
: A  g( h: s9 Z0 i/ d8 O6 L8 p3 Z0 ?6 M/ S# W
证毕 ,结论,1=2
理袁律师事务所
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试3 z' O5 D0 O. O% u

4 S% a; v1 G. j/ W& ~* R1)不能。比如1
+ T5 n* K: Z: N- X2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。* `4 A" x# f% o/ N$ L8 B
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
) Q4 L: a+ ^5 l! w1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。4 ?* G$ w2 |, n/ d' E, n
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
- e) u7 }( Y$ Q  O5 O# [+ n
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:" }) Q* k! O) L# c
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
; }( a8 B1 k* o1 z$ h& V! K

5 S2 ?! E4 Y4 }( L为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
8 s0 }! ~, U9 D) q# o- @4 H" P
. O- \( V' ^; a5 BProof: : T8 ?6 J; w- |
Let n >1 be an integer
* U; z6 d0 y3 k3 @4 k/ LBasis:   (n=2)* D9 v% |8 M! I+ H) C) \6 Y0 p% u
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
7 p5 i. n/ k5 _+ ~" m! y9 w4 o# M+ p. E: k5 M/ R
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
6 {+ y( P  F' ^  W1 k5 L- o                                     K^3 – K can by divided by 3.# r! E4 t. K% g' |6 k0 O5 f* P

) Y2 p# W. w5 Y1 L4 j0 [' ~Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 32 f( }/ r- S' `" e* v
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
9 s% m- {$ V% @, q6 s" U; wThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1), r$ F: m$ h/ y
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
& w2 H) ]+ Q# }( d) [4 W                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
. X+ l  v% o4 H) P6 l2 ]' a                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)9 L' |, f9 @& d0 V$ g* X
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
# C  k. D/ C- t6 c( ?So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)* V0 }& n& T  W5 ^8 M* P
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)0 [4 G9 g3 Q! s1 m" ~" V- a
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3# a7 B0 S  S; P  \4 z
6 K# H3 b' N6 [2 l0 n3 B
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
/ `/ X9 P% M+ J3 g+ v" f4 w- I0 _) }# h& L$ B+ T' X5 Q  }
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。, T& D! }% z& F0 z

% K1 X& d! j5 K0 R( i第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:  x, C# @! s; L- P& _
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

4 f2 Z) o. D; o9 i0 Z" x7 M2 n8 p& F; M/ L% F* F5 [
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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