出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

# m( Z/ I$ P5 f% C9 @! V2。下边证明有没有毛病？
9 Y  }$ a) b/ S+ Y& v' u. H
设  a=b
; X6 J: z- ~2 Z3 L
0 K& y# U- l5 j, L% F则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
1 d" N% h% N- }- o, K5 v; L7 P  m
( D# w7 G4 l( `& o' pa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
4 S, q" `) M7 B6 X  d0 }1=2

: K. d# C/ S# S8 i证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
: i, l( w* p/ N; ^
* V3 C* J0 I$ E4 u; O) i' n1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
/ j" ]' n5 B7 }- T2 K& {) H1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 ~: s; S; s* F5 Q$ z2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
5 `' `% Z. r  m5 Y: t* f1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

; K3 y) b# X# ?# g; n为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

/ U& \- _" B5 O7 [- P9 DProof:
Let n >1 be an integer
1 I; p. P& P$ EBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

% X8 |, w4 [5 b- x! }/ l- i3 `: BInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

9 ^5 ]# \: s' {) E) UNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
" u% K$ t3 S* x( }Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
) N) t3 \' p! \4 r' ?                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
# W* q% W+ `6 T5 D0 s' P0 u- n! u                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
0 J( n- q6 m- ^: {So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
% j% n* L* N% L  D' o9 b% K9 k  _                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
2 I8 ]9 |# U" x" L                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
0 r$ M* i1 Q3 e) z* N0 w
; w9 |- x. x& {  ~, Q% lConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
: z( E0 O& U( n% d1 N
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
# ]0 y" x& E( ^$ Y6 v; y& [! J
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
7 a' l- V) i3 V; DShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.