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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
5 y/ ?/ K. G# w% I
- v$ s5 y% h/ Q7 H. f" i2。下边证明有没有毛病?, `& g) P; A( n/ O7 K1 p  B+ F- y0 ~
: N' F% w  u; X! c
设  a=b* K4 z8 {; W, Q3 C
( W; r6 _% f7 w3 U+ u- U- _3 ]
则有: a*a-a*b=a*a-b*b3 {- j" a5 ~- H% k
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
* x" h9 N3 }  ]
% \4 q- B7 i6 A+ I% Q, ^( B2 l3 ^a(a-b)=(a+b)(a-b)* V3 p' q8 O3 t; t6 S
a=a+b" \9 j& x( l4 ]8 f  v. m
a=2a  ]0 w8 U2 R+ {% p, \* v
1=2
* p6 n0 k; ^# V2 n+ a8 \1 d5 X7 E9 K$ i/ N
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试8 f4 \; Q' x$ {
( J' Y/ r( [+ q8 A; |; X/ i
1)不能。比如1
+ F. X* R& K8 i2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。1 l- W9 }) M4 s; I
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* Y, M1 W3 `! @7 G: ?1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。4 @8 ]  w; |- M+ c# q& l% e
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

" K& h0 x7 A6 @! ~3 y5 Z看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:, t' o8 H5 }$ V) k; J
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
+ z* H/ q* G# o2 u% _( _- A8 u
4 b) o/ x5 S* K
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)3 \- i( ^  ~8 p  M' [

" i/ n, c, }! oProof:
5 i; ?- F8 A/ ]/ ~- X1 rLet n >1 be an integer
% ~, W% Y1 W" A) K4 Z& w0 JBasis:   (n=2)
% [0 k6 K: F2 A% V2 a. |9 D: T8 L, F         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3. r4 z9 _' y" {4 w+ Y7 ~

& {" z6 ~+ s, ~& K0 S! ?; \Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that4 I/ G% J# V" S$ K
                                     K^3 – K can by divided by 3.
, X* ?8 S& v6 M; C! u' w8 |# m# Z2 s) ?% @/ C: {) t6 `/ R
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 31 l# T3 e2 e  [4 Z8 L
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem% L% M5 b2 c! _  d
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)" e% R5 h4 Y1 f
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
+ G; G8 d: q1 \5 s! W                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
' l& h& W* j, l* e                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)' _1 d, Z9 h) j* z  R# X& z8 o
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0* i1 ]/ b9 n7 Q+ }% ?
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
; [6 p% o) T) a" S: c, H1 I, Y                                = 3X + 3 ( K^2 + K)0 v$ b: P' X$ n- M( m& D1 i
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 35 D6 |, o6 h# \) Y& e, B& ]; u

$ _7 z$ F4 R6 W( D3 ?3 PConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.$ X. j1 ~7 A% O5 k

* _3 G0 }6 m+ z4 u; ?+ P[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。8 d! c7 _) S2 B& P# K2 i1 {6 k+ R( T

5 B  }4 j8 `2 s3 Y2 x第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
, X8 C# n3 v) ]. g4 I; lShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
% f8 J1 t  K, @3 |
+ C. b8 ~9 Y9 b* a
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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