出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

# c" Y3 s% P5 p* G' ^4 e设  a=b
5 ^5 i0 O. z1 n/ v
% _, K, u& S2 g  y% W5 V则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
) Z$ `7 S# J' e. V, F* R
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
/ y* O6 j8 I% M+ \- \a=2a
9 i9 o- U' c9 j8 g$ ~1=2

, @- s9 w( Y) Z* e) f0 P6 m7 p3 m4 S证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
$ {5 L2 D( @3 p* @( ?
- W! k, ~' Z- r! t" e1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
5 L) z9 r7 R1 q% B% V/ @1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, e& q6 E. f$ s& D0 m! `

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
3 J& Z2 ~9 C* s! E* c$ {" P
, k7 e5 s2 A+ V+ [+ l+ p& K# X3 zProof:
9 v8 L* Y) t3 S1 ?. DLet n >1 be an integer
9 A& t6 v8 D: B% ?9 v- i6 B, KBasis:   (n=2)
# L6 [- y. F# l5 l9 Q* ?( _         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
# d8 ]% b& G! j3 v
* h/ C+ w9 O; H( S5 HInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
7 |* L! X7 d) w5 @2 y                                     K^3 – K can by divided by 3.
* Q4 O+ I8 R. Q3 ~. G( \8 N
# M; T0 ?, @0 j2 p* k" e. kNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
; Y- t) V1 \3 X+ m' ksince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
: _* x4 k6 v; a9 m. P) F. H                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
1 F2 E8 u4 B7 k# H( s                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
2 {  `5 S! k! n, z( T                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
: e. C& \# X- j/ g: s
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
. k7 @5 X; l& x1 V; s* _
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
, k( f' {3 @$ `( B
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
' U; m6 k/ I6 G' B1 t6 d) OShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

3 t1 P0 B) B1 t0 ?# T1 p
5 T! F, |  ^  `" \: l0 ^( ~: nSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.