出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
7 F3 [( D$ q5 j0 ~7 I$ w
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

2 a$ n6 O3 `1 E& @1 a( {则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
! b4 ^5 N& ?2 m6 h, N
6 \7 a( q4 M0 ^* B$ R! V3 ga(a-b)=(a+b)(a-b)
5 l) \. \5 o9 p4 D. f) w/ Va=a+b
2 r2 V5 L; k  ?# @6 ua=2a
1=2

4 k$ K8 \* k3 ^2 @证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
7 i- x& k) B7 K% U9 j2 X( ^/ ^2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
$ ]* M3 j& l; o2 R" V' [0 E1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

* J; S9 {8 `1 R! n  w0 P看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 X3 M' G- X; Z+ a* ^0 S$ K1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

, A8 Q; |0 Y+ c7 K# Y( V1 ^为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
$ }: K5 L2 M( f, U
Proof:
. j( K+ K6 p( m6 n8 iLet n >1 be an integer
, Q6 C. }. H! rBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
) g3 L) s, f6 Y5 b/ `( S. k, N9 d
* J: y1 E% f* T; E* Z# uInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
, ^$ y/ f; f5 W5 O6 K0 q' q: y                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
, T: S7 u  r  D( j2 m+ {* o+ x& }: Asince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
/ z- N& m9 U; l8 I1 d0 eThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
8 @/ o6 b) d' ^4 R+ p5 V; K- H                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
7 t4 b9 j; R) S/ ?3 C/ j                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) N- l" r, B9 |by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 y% ]! G; @8 M+ p                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
0 ]! p  @( f5 S* F                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
9 b+ y/ D  d7 A* n
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

* s3 }! ]+ o, E$ l; P: g& }SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.