出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

) p) P+ K/ \) ?9 p) P2。下边证明有没有毛病？
; \% f9 P& M( y/ J1 B' O, `$ R# ^
9 w! w1 |2 O" T4 W) V1 M# U设  a=b
) P1 _! j( u* C( ^. J$ S7 k7 J
3 ]6 |0 W: y% V8 _. l7 X( h) f7 K则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
9 O7 [+ W& g- ^1 g9 u2 o2 J8 U, |a=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
4 ]4 h/ @  p. K" J) B, [2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
  r' E( A5 }4 p- _- d1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
. A+ i! Q4 }/ n) H$ o( s  l

% R* a: {, q( T; j1 r: ]为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
. N( K/ R7 a1 R# ~7 u
/ ]5 e; x' N6 h% G/ ~1 E9 ?( PInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
5 f: j, L, W! r* F6 |& O8 ~  a                                     K^3 – K can by divided by 3.

6 O$ k9 ^8 C  G& M2 bNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
' ]6 D' m& T8 q. s8 b  }8 i; [+ fsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
" l6 }1 a9 C  kThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
. }6 K9 ~4 P6 h' v& l* K                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
9 k  @! k1 D8 `' `! S& J6 K                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
8 ]; [( _' p4 [7 \7 g+ o. aSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

! ~- m3 C8 w5 b# S' d5 PConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
3 m$ V# x/ S/ k/ I) _
/ s8 N/ [3 Y2 i' T/ y  y7 b0 E[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
8 H3 |; A" u5 v3 p' k0 p9 U* {' U4 WShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

9 ]7 d* s) A  g% ^! s- k5 b6 O+ M
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.