出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
( _) }+ x5 r' X
2。下边证明有没有毛病？

  \5 {, c9 [  A: W0 I  x设  a=b
, \1 b1 f' {+ `" c. H& o) u7 S
9 g( o1 Y% Y9 S则有： a*a-a*b=a*a-b*b
3 f. G: H+ [( H0 U9 `两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
0 U5 o( L5 Z1 m, |5 ?' K
a(a-b)=(a+b)(a-b)
: V" b- z; Z! r- i. O# ca=a+b
+ Y) E: T, i" |$ v: ka=2a
8 p! r' M$ |  C: L1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
: l5 \; H. X0 m9 s, d
- ], }6 `" y0 d$ A1）不能。比如1
8 |  p" g; r& `1 ~9 U2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 F3 X2 h5 x- k# `7 x5 D2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
! r( P1 P: J$ X& f: R

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
: {  A+ z* r& U2 p" t( _
Proof:
9 ?% k( P6 i3 h/ e2 J- C# _# u" GLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
9 ~% R& G0 p9 U: J         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
7 C2 t& v9 ^% H
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
$ h9 F( B5 Q/ y$ n# C7 f: D3 d* t2 c  }                                     K^3 – K can by divided by 3.
) q( F) R2 @7 t- y2 ]6 X5 W$ L% ^
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
! O& e2 o1 d6 X1 FThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
1 ?7 f! L$ G2 i9 |) G0 S                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
% m# F' T, J6 }8 gSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
  W( Z- x9 z9 H' r' j$ W% I  n6 _                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
! d4 y# w9 [, r5 a                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

1 c4 }( y9 s# q+ O# ZConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

- v' L, w/ Y8 f: t[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

5 u) C9 n  `. d: ?  Z$ |2 H' ]第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

, `4 o6 Y2 D7 ?$ b0 z
8 A- p7 |7 Q1 q1 M1 n* SSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.