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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
; v& r! X% m. w/ a7 i4 p' T1 e0 E! c! w2 c
2。下边证明有没有毛病?
1 I! ?! @! t+ Q" J7 j* e5 @* h: v1 l9 T% ~" i5 @9 t+ F  r: h6 \
设  a=b
3 F+ C* t+ @/ ~3 M' j7 V' \' d1 s# g+ A3 Q2 E5 v! a) |& P! k
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
) K# b( X! E# \7 z& W5 G两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
- D2 W2 ?6 d7 Y8 Z* C
% A5 q8 X+ e% ^  V" U: \6 va(a-b)=(a+b)(a-b)
9 P: N: k# A. Ua=a+b
: b! @) h5 M* K) Ya=2a+ ?5 a. |2 }9 J, L# C
1=2/ K, V) w! ^$ h4 m; d: O
/ p$ [% w1 N5 X. t9 ?! Z
证毕 ,结论,1=2
大型搬家
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试7 l. W: F( z; N& W+ b2 \7 k
# q0 U8 d' w" B8 F( I* Z/ I* c
1)不能。比如1# o, S* A: J( Y
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
; j" {, C  |8 i: t  T: S9 F" ?, p. v2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:8 D- o# h" I' g8 `/ J' B
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
3 f% B/ F, V+ y! V9 l2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

; Y. s* y) a4 R! o4 w看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
# f  @! h: C2 g6 h6 D0 s' P: h1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。, B  ^. y# Y/ g3 |

3 f( j! _2 {% A, _为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)) s) y2 c7 I' I7 q9 m

) C8 S+ m0 Y( F: R; j; r! xProof:
1 o' m$ K7 {9 p) fLet n >1 be an integer
" q- k, [2 e5 I3 h* i9 b( yBasis:   (n=2)
8 n7 I+ h! |& Y6 N, B: }* M         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
6 D- F# ?% z* D& W/ W6 R4 P" L8 q5 u% `) E% U$ n% ]3 Y, B* h  c0 ?
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that) \  @+ @# r/ f( N; T
                                     K^3 – K can by divided by 3.
8 H  G! b% ]5 i6 q2 }# }% {; D% l
' I# A: ^. m& r6 z) ^4 {! }/ H4 Q" lNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
4 y5 M/ [) p; `( G( `8 h$ Lsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem8 X; b5 ^, S/ Y, `
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1), G) h! J! K3 ~$ U8 c
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
5 N+ |& s( b5 ]; j+ j2 A' \2 f" |                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
7 c8 @! v9 V; _5 b6 J9 q7 T                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
% L5 |! p' B$ ~by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
% B/ H0 ~  M! E( }) jSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)5 b9 v6 P$ {+ i$ ~
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
# J' j/ @# n6 ~4 J6 M5 I+ ]  p                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3. F9 q7 r: Y, c  q/ v" X' z
4 O+ A# a; Z7 t: }/ O* G
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
6 J1 P& P- ~( n% U) j6 @) M! J1 f- C2 S% T) Y
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
, M  s; y$ b' i+ m
7 F3 o( ]& K# w1 S* l8 |第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
3 g5 E' i5 v% y  I5 O! `4 }; SShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
8 }' \2 }2 W& ]& w
2 L( ?: F/ i* H( d' s7 @: p
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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