出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

* W6 K6 W# E& E$ y& e# d4 o2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

! o$ }5 \( \. `+ d则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
$ G1 ^* v5 j$ d4 G) l
" m7 s. g1 [: b& ia(a-b)=(a+b)(a-b)
$ g/ P1 y' a3 F. n; Aa=a+b
  P  h9 L5 x5 d' \: t/ X% f/ |a=2a
4 y4 z3 k; K% Q! b. i9 n, ^: o) g1=2
; U2 f! d4 P. @1 m' U1 Y* X) e
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
, D' R3 }( G" b$ b7 F$ d, ^
0 n) I9 F% h# E! }9 D& u1）不能。比如1
; E( c- }2 g  x. x2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 `" K5 t* R7 y( L- H2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
5 u, ?9 ~$ q4 U8 Z) D) k- ?  f1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
6 L( u5 A* n6 O% I

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

$ v9 s6 T( Y1 N5 U" Z1 B3 m$ UInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

  o$ {/ w8 V1 ^; @8 j' h7 Y, o4 VNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
. j+ o8 B# n- n0 H7 U6 Ssince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
( G8 K( m0 }/ a/ i" h; a" X                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
7 s. B3 @/ G& H# N+ m6 ~% L5 U" d
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

- W! b$ m* o1 c1 z: k[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
9 {  R! Z; R  h$ D2 G1 J
2 _$ A+ ]8 Q% I* N9 y+ S. q第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
1 ]: r! Q4 {) |: c) o* y& J, BShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.