出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

8 M: F; }+ I3 i( y  z6 A: e2。下边证明有没有毛病？
$ D; f; F7 ]* l' Y8 ?
+ S! n4 K( v8 a/ }+ p0 N0 L设  a=b
3 x/ T  ?, z+ C5 f9 A+ I
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
4 i1 U. f+ g  Q; B: O两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
- M! |2 }1 D7 ha=a+b
1 B1 u% f+ J# G; M$ za=2a
1=2

' D/ z8 J& D, J3 F8 ^证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 z5 c/ V  b/ a5 s3 D

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

$ V! i9 b/ _# fProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
  u6 R  M0 ]/ T" p( ?         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
( l- I3 Z( k$ f  {1 Z, c                                     K^3 – K can by divided by 3.

4 a# d. u; \  l* W6 fNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
6 D* j- V! g2 Jsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
9 j1 [" t  h) H0 u! g                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
5 X2 A2 w' H+ r5 f5 J( [* kSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

: j0 x( ?1 b! E# P$ O: C7 S$ fConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
1 M/ J6 h$ N7 F$ r
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
3 P# [. ]( q6 M; F" L6 g0 F: N& N' ]Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.