出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
7 G6 B" x# r" L! v% F* ~
: z$ R0 J8 N- N2 y2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

$ @5 s$ J/ ~0 V! ^# qa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
& k! Z3 M6 |+ t% V+ X- U: M. B2 R1=2

) `* @& R" v- P1 m# L0 e3 ^证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
3 ?  q1 L" _5 h; z% w* i
+ p* z2 ]" h$ s! ]/ t7 u1 Y' w  h1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; g1 J- m/ A" s# {4 T# `2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 p; k, |. B# c; H  k1 t1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

8 h& `: H$ e; Y. j8 P& G看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

3 A( O) n; U7 h为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
! Y/ \& \: b5 H( VLet n >1 be an integer
0 X$ K/ Y+ u3 T( |; B3 ]Basis:   (n=2)
  x  n: d1 g. S         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

1 _$ _  M0 B, ]& O# ]: n8 z% m# wInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
9 b. K: Y  \* y" U, `$ \                                     K^3 – K can by divided by 3.
% p9 f( A: A1 q
3 g/ c# Z+ H. M6 ~1 O  nNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
5 i. N* X3 I& @7 `% h2 }Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
, [' f6 @/ C7 b# J6 a                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
5 q* b7 K/ m, c                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
* c. W* Y7 L( \                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: @1 i$ T, R0 w5 ?) H. [( }                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
- t. a7 S4 Z# K" H$ b1 O+ y& u
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
  `. W4 }* y9 r3 x9 JShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

& \' g6 }- r3 A9 E* h& I! @, YSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.