出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

& s/ k+ S4 \; `/ }  F1 g2。下边证明有没有毛病？
9 U% y- v; I2 \$ ?
设  a=b
, `7 L+ x5 P; Z* P( E/ K* k2 Z
6 D  g, T2 I1 J% t: l则有： a*a-a*b=a*a-b*b
8 \* y+ f- I# F; }0 v两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
9 o* O2 L3 a: ta=a+b
9 P, W% w% f/ |a=2a
1=2
5 k+ y; Y! _! `
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
7 I" b% ^5 M4 d" `9 X* V! \
' J! [5 }+ \% @) j# E6 ~1）不能。比如1
( ~# H. [# \5 N9 _5 t1 e2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 s: T0 {4 b! L* F2 ^/ j2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
3 r$ f; C! b6 A  |( @  z! r1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% `* S0 f* ?2 k. p2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

4 ]3 G3 H, J  Z) {4 S/ ?- g& u看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# B: d! s/ |: F& F; |

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
9 z" s7 C9 x. N5 R
Proof:
/ D$ {8 J$ l$ Y# {Let n >1 be an integer
/ D5 q/ I; S6 w5 C! Z7 {Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
. w: d* B& V% ~3 T  S
# K/ V2 @* }9 A' A0 [+ QInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
/ M! }; Z9 Z+ S
) X# K- L& c  L' `( XNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
* N9 Q6 w: N8 k) e# i6 Q$ YThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
/ g+ e: d2 U: w  U0 [, i) A                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
. P3 H! }7 L; B7 `  k
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
/ l: u; O4 k/ p% s' D( |
. V& k& @8 Z- I3 i& r, g# m[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

2 k1 f& N. Y3 F
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.