出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
/ d, {* ^: W# ~3 p8 b! s$ t
3 l5 e6 S. B5 ]: \" ha(a-b)=(a+b)(a-b)
$ W2 j0 p  j$ S/ f: i3 oa=a+b
a=2a
1=2
, O4 ]$ i2 |# D3 z' m: T: n' B1 @9 {
6 B- J4 U: e0 R# S$ R8 y) Y证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

6 V- e- S6 H1 U2 }5 v' X6 _1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
3 ~: c3 x1 v! u. @) N  c1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: b5 m: z- O( x) X# H3 g1 a3 M2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

, M  U* G% L/ z3 D6 H3 Q% L- H看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' F9 T1 k% E( S1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
! C/ I* `' j! F! L

* L- h8 R- C, S) b, A3 V' q为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

3 G9 ^" D7 I" c6 g1 p4 t8 U2 oProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
& e: q8 v+ c, k; c# {% i         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
5 s3 i- v5 W: y$ {  V
6 A, S9 ~$ |& k; s( [" w  WInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
" a4 |; K" U: u  D8 H                                     K^3 – K can by divided by 3.

( d5 v$ b. V5 `# D, \8 B& wNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
- @& h! S1 D  j, e! G/ Psince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
* y" Z9 _" @+ M                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
& U$ K) p7 g! X& H+ ?                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
' l. R4 E) I* _- ^4 P* Y; f8 ^2 b                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
1 I9 J3 K, l3 V. \1 T: I" X% c                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
& o6 ^( N/ ^7 A/ c5 H' x
9 Q8 \  L3 ?) e) k第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
; ?# P) i' K+ `9 V* w7 z% I) e- bShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

. d$ V2 ?6 B8 s' c- U
6 w8 D5 _; ]9 ySORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.