出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
- f0 J& e1 G  p6 ^
2。下边证明有没有毛病？

9 A# e/ q) r8 c设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

6 f2 D+ D" b* P  g' na(a-b)=(a+b)(a-b)
1 G$ U9 D: J# t+ [a=a+b
3 x# l; L" y# n- K: f* Z; }, Z7 ^a=2a
9 [" ^$ g/ I1 G, ]' o$ e* d! N1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

2 _9 {5 S- ~5 L, e. @" ]6 s1）不能。比如1
- x8 ^6 J. V6 z2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
! @( l8 k/ d8 H, M" {# V. ^/ Q2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
% M5 ~; T( x% ?) ]1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

2 D6 I' `0 e2 b3 @% {* c看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# Y# X' I& S9 f5 c7 H; A( t* L

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
) a7 C- _* K) Z0 f7 J
. V9 F1 J/ q- h8 jProof:
: _! B2 l0 Q- ELet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
( w. \9 ]" }2 A9 B+ l
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
2 A: w" r. N* ssince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
6 f5 \' q" W, b/ gThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
* a) r" A2 L' P8 W6 L+ q3 a                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
' d$ s  U& ~/ `& m2 ?. g0 o" c7 O                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
, c/ R! q7 w* G; o                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
# M6 [) I7 {0 _5 q" r" W! ySo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 T: w4 g6 x5 ^: K' T                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

7 o+ r* t, U- ?  UConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
% M* W9 h! v; c, v, I2 f" Q; @
* b' I0 V# @' J  U1 m第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
( w- d) H* k& q! JShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

3 k$ ]0 s" W) hSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.