出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
1 \# B9 M4 V! a8 I, |7 g
& G- T& H0 d1 h设  a=b

. T2 e" l/ i8 S( |0 Z则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
9 p8 D; t* C" _: ]' b; @7 ?a=a+b
; G" y. X: J- g7 `1 I3 ta=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
; y* ]( T+ a7 x1 X
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
4 w" W$ Z2 L7 u$ M7 y& `1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( B$ ?- R& K5 |  [$ T2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

9 Q( {8 S7 N, O. R看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
9 b* u6 q& J" J: v2 ^  T1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

$ s  c; p+ b' t; `1 f为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
1 M& U. Q% N5 J+ o. d& C
Proof:
7 j: S+ H1 r1 q2 `5 r; @Let n >1 be an integer
; w) r: R) i6 @6 b& dBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

% Q, y; \' C, iInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
0 E3 [+ ~8 h! x& W8 dsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
" Q# B" {/ G3 e& |8 ~Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
/ Y. i- g0 E. Z2 q0 L                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
4 O8 M/ i) T; W) n) W                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
3 o0 R! S* @6 ], E: V                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, G6 W: q3 B. x! }# yby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
) J( x: R6 d: q6 Y                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

3 w9 b; S* Y& n  hConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
7 `- p" O4 C; N& L5 G3 _9 C' M
; P5 c' t# {* w7 V第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
9 |$ m7 q; w5 F9 f0 p& nShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

: |6 U, B* f( T- E$ ySORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.