出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
: W# e. {- p. B" `8 W/ u5 l! U2 e
设  a=b

% I+ C$ d. T/ V; f+ v/ o则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
/ V6 [) K# u- {; L9 I" D
4 `5 G; d" W9 G0 A0 @; p. `a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
" D- z, T( ~" A* o5 Pa=2a
1=2

! c1 ]- S, E9 M4 Q/ p# t证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
. P7 [( U/ F- t- p  K9 V/ t3 h; M2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# ~) k: @" E6 {$ X$ W- |7 m2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

  H! Z  B* M% {9 {) [看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* Z1 b5 m: w# U# o" L/ J9 C1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

6 ]. R4 k. |/ S0 e: v2 U' g. i( L为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
* M. _" j  c" {+ T" Y; o( q
3 ~. W) L; \: Z# i+ H. WInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
! U1 \* ^% I( t, V* o  V  q                                     K^3 – K can by divided by 3.
, ~* |* @; a1 o
$ G$ D  d* Q2 e- |Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
" ^& A+ M, Q) t2 G* nsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
: ], k, f! F9 t  V2 D9 DThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
" R1 o. c. k; A" ~( K                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
) ?: ~3 Q- j$ r' i                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
  y0 ^6 n! \8 L+ ASo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
% [9 p+ `- B. q% P4 s* r1 d                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
% j, U9 \- @# ]) N
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

; y# v; Q& {- J8 Q% h" l[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
4 n' }3 \7 ?6 H  l. U! Q0 t3 K
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

/ [  a8 r; J. L* g
7 A( H, T3 A( _+ O9 ZSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.