出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
! X: |; c3 h1 \
+ b" Q. m+ N9 r+ }2。下边证明有没有毛病？
% h. d8 r6 s& T$ s
, a, N" r! @7 V  s设  a=b
" s! ]( x: P/ l( b  v
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
4 N$ l7 x. a( X5 ~: |! `: q两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
. ?1 `- t0 L, n  X  Q
a(a-b)=(a+b)(a-b)
2 T" _: ?! y; B2 ?8 h' Ma=a+b
( w+ x0 j9 w9 O4 b( `5 g6 [9 Wa=2a
7 d8 h: K. G; U# R* ^1=2

0 g" a& M3 ]& v) C5 Y5 u; f证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
6 f/ B$ _; C6 K9 P8 R4 ?1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

4 d! z3 `  w% y( N为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
% e8 T; W3 I' u
5 j; E. E, [" ^2 z5 RProof:
' ]& O5 L, O# z0 Z0 I& nLet n >1 be an integer
' L' c3 h6 Z. Q1 HBasis:   (n=2)
- U, s: ?+ c5 }         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
- ?3 c6 t4 c" m8 h% O! t
( o& I+ |0 Q6 {8 W4 h7 aInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
/ [* ?$ Z0 [; ?2 _; H" G" d9 w# Q                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
$ R) `! u. i) n0 i) T+ Z: g, t  B2 Asince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
) H3 `1 {* E$ w; e. J; |4 EThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
% l! k. \8 ?! b, P" Z, g                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
$ s4 r' T0 V# x: C2 P; G                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
, Y0 U$ G! l7 c% I) q                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# j' J5 U0 u& A( z2 {, v                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
( I* I- m# a; e3 v/ Y  e                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

; [" [1 r( S) C6 l( B1 fConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

1 T8 |# Y/ K/ ~! ?" @8 ?( X[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
6 ]1 f) U8 o$ p. G5 K- P; [  b
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.