出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
+ ^9 G# }4 v7 C( `$ x, W
2 Q6 w% u5 N' h: F7 m2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

9 y9 c( \( h6 F! [则有： a*a-a*b=a*a-b*b
( t0 l2 X# T1 `9 z- w两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
5 }. c7 x' e4 F: a- Ua=a+b
/ X% K/ K( U6 [: d. @a=2a
' O, P' }* {: p1=2

0 g3 ]  x5 w' u+ R+ B3 X证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
0 S" A0 \) y: K6 o! ]/ U- S
1）不能。比如1
, W2 u- l. f7 D! y. p' E2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
3 r" W! `  e( A) e0 K# r1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% I% ?3 f' [5 @: G) P7 {+ v: `

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
2 m$ N9 G, O; L+ D8 G, s$ o' k+ s
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
7 C6 U  \- O7 g. @; h. \- Z
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
/ A$ ^9 S6 _  Z4 x, f( isince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
! D$ Q  c8 d6 w7 q% @" xThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
% W6 o9 `; n5 b/ J5 J/ j                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
- ^8 J# g5 H. h) v* [0 m) f) d3 z                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
" a/ t: n9 G% h" J" v& u1 f3 q
( e/ ]7 [6 @0 P4 S7 \! `  Y4 iConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
0 _( X  Q7 r( f2 a) [2 K
' F+ u* v# j' A5 I+ o$ W1 _9 V5 d第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
: @- E) b) ^5 ?; bShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

& T( X% O) L: o+ e
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.