出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

. y! \; W1 S! e3 y: s  [( r则有： a*a-a*b=a*a-b*b
0 g# y, e. s7 [! e6 ?6 y两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
* c  a# l: L6 R
0 ]# d6 Q5 L4 S+ q1 l) ~- S& f, Xa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
6 o) y6 x$ C' u) N/ ~9 X. X4 @  ha=2a
# k+ V! m" {$ C3 U  T$ G1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, D5 d/ X9 a3 t3 Q# q2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 A3 u: ?4 O5 p; G9 a2 \4 h1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

- v. Y$ g( H6 }# k; d$ G0 ?看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
* H/ q9 {. d. ?& D

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
/ I) O5 a, F! r* a- NBasis:   (n=2)
- f- J) b+ Z0 p" B9 U1 P! d         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
7 t. b  D$ ]3 D0 x3 l1 x- q
7 p' {+ y& ^$ J. b; {/ hInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
% g; T1 @" U# j9 F2 i+ `% W                                     K^3 – K can by divided by 3.
1 P8 x: E. v( Y2 V& k( g0 W
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
3 p4 m4 f2 Y# b2 aThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
; F1 d( O* l9 M( X. h+ o                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
, [: Y. g1 j4 |: h1 x                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 N7 e0 n) F7 d7 P8 N# E0 J. Fby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
" t& ]1 \6 M# Y9 i+ ^6 GSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

% j% H- m$ E  mConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
. Y1 x+ a. K/ V  e* L& c: c
; `- @# ^' k6 h9 O2 Q[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
& S1 @& p- b. Y# ]8 h; rShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.