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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?7 _5 g( L! ?9 @3 z- Z" t

8 M: F; }+ I3 i( y  z6 A: e2。下边证明有没有毛病?
$ D; f; F7 ]* l' Y8 ?
+ S! n4 K( v8 a/ }+ p0 N0 L设  a=b
3 x/ T  ?, z+ C5 f9 A+ I( P# ?8 x' }% @
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
4 i1 U. f+ g  Q; B: O两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):& T3 H# s& D( u) s) [
8 L- J, y" |/ {1 p0 J9 Y  E; D
a(a-b)=(a+b)(a-b)
- M! |2 }1 D7 ha=a+b
1 B1 u% f+ J# G; M$ za=2a( n2 d0 S5 Q5 a* }% Z! H2 |' Q
1=2$ y! N  b9 E! N9 P2 R

' D/ z8 J& D, J3 F8 ^证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试; S  ~: d: [3 m1 B/ o8 u# E
* n4 u0 a$ r. T# Z0 M
1)不能。比如11 @" N1 D! H# G5 F6 j7 M
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。3 O3 P5 e+ J9 R  R& g. @
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:4 {- e  W" M* N; A" Z8 B
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。( `# J6 C2 g7 L* G+ w2 h2 d) s
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
( H& G& }2 ]6 Z/ ]2 m" {4 Q; n+ G
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:: _# L: r2 y$ q2 v' k! D, T
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
1 z5 c/ V  b/ a5 s3 D
1 v# T% [% J2 k* g/ }
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
理袁律师事务所
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)% c, w6 i0 c- v; a5 f  \3 D

$ V! i9 b/ _# fProof: ; R" k9 v: f  e
Let n >1 be an integer 3 i, O1 f" a0 t+ _! v& Y# V1 `
Basis:   (n=2)
  u6 R  M0 ]/ T" p( ?         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3, n3 {( D8 J: ?7 Y: l+ ^3 [+ d
1 l" }; A% c' w4 {7 M: X3 Q: M
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
( l- I3 Z( k$ f  {1 Z, c                                     K^3 – K can by divided by 3.  e5 I6 B8 v  t) c- [# D+ r- v0 C

4 a# d. u; \  l* W6 fNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
6 D* j- V! g2 Jsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem% \& J! m$ t, H  m
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
9 j1 [" t  h) H0 u! g                                     = K^3 + 3K^2 + 2K: c& b4 m5 Z8 X* q, g
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)4 b! [; L# q0 M: w# b) N  r
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)  J6 t% s1 d! {) f$ Q
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
5 X2 A2 w' H+ r5 f5 J( [* kSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)1 b6 P. H& i' X+ ^
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)) i& j4 T/ R+ I
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 33 a* k' n* F% k$ ~/ x

: j0 x( ?1 b! E# P$ O: C7 S$ fConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.; K1 a; z! R3 ^% p6 {/ p
" ]4 Z  D  S9 q$ B7 f2 K
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
1 M/ J6 h$ N7 F$ r. \4 ~# x* y4 n) L" f7 U* S" X
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
3 P# [. ]( q6 M; F" L6 g0 F: N& N' ]Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
  S+ Q9 N  }5 u6 N6 F$ q' O
% M8 D" q3 W% S2 R( c5 H; ^% g
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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