出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

- o5 N6 \  V$ v! v4 ?2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

) ]! f' C3 \% ~" ?6 }% ~则有： a*a-a*b=a*a-b*b
, T& [7 s1 O0 V6 U7 L1 |2 I1 v5 [两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
/ t. [# b4 M$ X. U2 K! e# n
0 v0 W- @- u% O( H+ _证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
) ?; U0 u( I$ h5 C7 S
5 a" g1 P7 i$ N' V$ P6 Y" |3 }1）不能。比如1
1 U, S# g0 G  X4 ^* u. z  ?2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
0 e3 `4 Z5 A1 }2 I! M1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
  L! l: d# P1 w2 F: U7 i1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
. l5 Q2 g4 U: B4 ~( t# s9 v7 PLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
9 C' h# i  N1 a
$ ?8 [0 l7 i$ p. o1 Q" NInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
' g/ M5 J, {7 m' ^5 L% v6 msince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
9 B. N6 f; M9 |9 \Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
8 v5 r( x/ z# d' C: F8 s                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
  w+ {& w, u; X& }9 x+ x& {                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
! e4 Y$ \! Y$ T2 M) nSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
% F' Z" j) a4 w$ x0 M                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
% `- t# l) r3 x  R) T; R
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.