出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
5 X% M  x# c( w2 o
2。下边证明有没有毛病？
, x+ b% b  I& H7 w; q7 O- m
设  a=b
4 Q4 {7 r' M) \6 m
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

$ o! t9 [  J- ~# w: N- z) z证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

4 q  T7 s& G) f( j3 |( P9 h4 ~1）不能。比如1
8 ?# P9 S4 }- h+ K: w2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# X2 ^7 h6 b0 l+ u+ B: t5 o2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, q4 A2 f# [9 q" B+ k1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
' b5 [. e, J& v1 p5 i% u% H1 ~& m2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

0 J+ g4 I1 \6 }3 t# F看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

% x2 U* {0 h/ e+ E* S) l( C为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
; d2 a3 @5 j' T. _. f8 kBasis:   (n=2)
% D* u! H6 S) b9 I1 v8 i3 L8 y  k         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
/ P, i9 E- s1 K
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
. R7 e& E  m& j  R* z, p
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
7 M7 H1 U. c" A' d8 X; BThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
: i$ t. {: D5 R/ m- u$ C2 g. e6 V                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 K3 H: C+ L  x, Xby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
5 P7 E" f% X" v2 d% z1 h% c0 ]- q                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
9 t( V4 U' \8 p( {  A! K
" G/ I5 u: @. q$ A1 J4 y1 ~- zConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

8 h9 F) {6 {1 r7 _  q[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

" |7 H1 y$ L. r第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
. v0 f2 S7 z, g0 EShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.