埃德蒙顿华人社区-Edmonton China

 找回密码
 注册
查看: 2500|回复: 8

出两道中学数学题

[复制链接]
鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?/ K+ M; j$ I' g

* H% R; R" h& Z. v% c* |' C0 Y2。下边证明有没有毛病?2 m# ]5 d1 x( n& @
! H( G, V4 v& a! h' F! D
设  a=b; l% D/ q7 _( v" I

% a9 _1 z) j2 V7 U8 i# f; z7 }! z则有: a*a-a*b=a*a-b*b
/ _# e: Q" f, ]9 t3 }两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):% f( K4 g% L: v+ @. O+ s

2 |) X% Q+ l: q9 O3 H( E1 Za(a-b)=(a+b)(a-b)
* `) D; S$ ~) W, L0 Aa=a+b% l5 P: I! X; ^# }- e) x
a=2a
4 l$ J$ k  }9 P! ~+ y0 @7 A% m( F1=2
! S  \7 `( c7 V, y/ Y* m
8 l& J1 o9 f& g; M* n证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
! e8 s/ b' n8 q* X$ x5 [, v0 e0 }4 H0 d0 R( ?1 [& y2 J$ D
1)不能。比如1- {7 @/ @& k# f8 I+ s) K7 {: t
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
) V' W5 C5 {- M6 a5 r( i2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:3 E; I7 V, A' o! ^; U
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
. V+ B8 ]# d* ^/ z) J$ O2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

9 V& J7 Z' C; A7 ^, u- a看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' ~( C8 y9 I9 N1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
' x% o0 v" Z/ `* d. n

0 y! D: I5 O3 j9 f, P, Z" d为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)1 h  O. E, i4 i/ T6 Q! V

$ T- F3 X1 s6 C( h8 T. DProof:
7 [2 a0 x4 Y. C, R. _! r4 k/ _6 SLet n >1 be an integer
0 ]  I0 M. n. Z6 ]) o0 SBasis:   (n=2)
/ }9 ?: j) d+ b3 U" D- g         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
7 Z$ H; k& u6 |/ a2 n: A$ R
9 ~( n' C; d6 [  ~Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that7 }6 d/ y: _( b% H/ p4 m5 \3 }
                                     K^3 – K can by divided by 3.
, J7 O1 t$ `! F
# H% R# a" U. v( P! i' S% INow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3& }8 p: H6 p- l+ G0 m- @. t
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem0 I; r! ]7 g5 N- Z
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)! j# {' p3 A0 r: _/ G
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K0 ]5 s. {9 L# U7 u! i
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
7 E; l1 h! L8 O  }                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# B) @9 N" P" a# Hby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
1 W3 e& I. w& b+ P% c9 q- B$ X' \So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)% O6 O/ e/ T, s
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
0 ]( w: T7 G+ I# o- E                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 30 \! L* P, h; [9 f' H

) R  }* s: t8 iConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
, T' R' i- o- }- X: {$ |& {- k0 W/ ^7 N9 j. y0 }  h& O+ D5 U
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。/ g- Y9 g# D; q% X

& m$ b; \( i" `0 K4 D. `( b$ L第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
5 e7 `3 K! p" D# g! vShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
+ i/ b9 W* }" t: k/ m9 j, ~5 w

( Z+ T  N3 C1 \4 M" TSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

联系我们|小黑屋|手机版|Archiver|埃德蒙顿中文网

GMT-7, 2026-4-16 17:06 , Processed in 0.089119 second(s), 19 queries , Gzip On, APC On.

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2021, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表