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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
" B+ [1 |5 K' U, R* Q
# e' @5 ^- S0 D. D' h0 y! g) A2。下边证明有没有毛病?8 A2 @1 {0 X' r9 n9 @6 Q1 h

. [/ ~# [0 U4 q( I: v9 ?! a设  a=b! E# T( M; H; \

% D0 j: @$ o( z! T8 x3 U6 m* ?6 s则有: a*a-a*b=a*a-b*b
( m5 Q1 C# N! {6 F7 c; t两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):% V6 ~: K# P$ C6 R3 ]
% ^, x" [/ d3 y/ H  N
a(a-b)=(a+b)(a-b): s' G& s3 t+ H5 v4 I! X
a=a+b6 P% f/ ^$ X8 {* P# F
a=2a
0 y) _; o/ x5 @1 b5 b1=2/ y1 C: S& u* B

  |) G1 d1 Q8 x5 P( w$ Y* N8 Y证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
  h( N/ j8 N4 P$ Q
9 d$ w' R7 ]  \" j1 Y% k4 L# D1)不能。比如1
. ^* m  o, @' R8 o2 v1 S2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
7 D: D# F0 \1 V) _2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:( Q) j# q" i4 n: w
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。7 y; R# o9 v3 K% a
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

# l1 G9 n  [3 |6 |- T& w看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:! L; _' i3 U+ l5 J' t; f+ D, K, K
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
; U& b" N. N8 n" l' Z! e9 I. M
3 `9 x& |# G" h2 z/ g, @
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)6 g  z# ~% ^9 R5 l

9 i5 [9 j2 n' k! z7 CProof: ; S) S% ^" W4 V2 u/ S3 x
Let n >1 be an integer
. x  ^* f, P  S$ p: x( R! pBasis:   (n=2)9 ~* N6 o1 @( {; L2 [$ g- l5 i
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 35 V2 ?: D& ?% I( ^/ C) @% ]3 H
" O9 ?) o' P, c5 X0 X7 Y
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
0 E$ M5 M2 n) X. s! q& Y2 O$ t                                     K^3 – K can by divided by 3.* c6 v3 S5 _, J% h$ t9 h

- T$ ~0 D- p6 ?( C1 L+ {* t% Z9 ?Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
! u+ \& Z1 W2 asince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
4 T  i9 P5 w6 v; s& zThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
3 X# z- R6 k( }% j4 V                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
' j4 D' X9 P: _1 g  ]                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)' D1 a+ b/ y7 J9 v/ G" k
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
1 V* M7 z& ]" w$ R# }by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0% }9 G% p  B5 v7 m+ A; a
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K): ~# _7 k0 p" L
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
1 o2 [/ s) s. n- j; I                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
8 j0 L( s- V8 Y$ q( I# \; p& Y) K; k4 l
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
7 u, I# S0 e* o5 C9 X& f
! N4 q" f' K. y3 i4 _8 m% C, I[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。8 i- R6 ^1 w' L" h" [+ M
4 \* w9 r9 y" J
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
理袁律师事务所
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:9 h3 V$ z- J" P6 n# k% j
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

; D1 [/ y3 Y% t" m9 `- P
0 @4 v8 n$ O- N7 ?( m4 X, \3 YSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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