出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
4 |' ^& }/ A6 r0 O& f9 ~
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
* ?& k& I" a( s4 ?4 M
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
( f- f! e' U# N1 ]2 J. @4 H& T
a(a-b)=(a+b)(a-b)
0 _1 @) `& ~7 t0 j* Y! ja=a+b
- I/ d+ f) x$ n/ R2 |a=2a
# F5 G1 I+ L: _: @* C8 a1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
: k+ F) {: {2 ^' |, h
1）不能。比如1
6 ]1 J) A! d% t; Q5 x2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
# Y( z) s, V3 g" {! _- |0 n% ^" `9 p: e1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

. ]% x; v, f( c5 ^- t2 |2 p为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
: C. X' s: J$ s8 U# i, x$ q
Proof:
4 n2 n$ K, |" d5 h6 c' g7 M  nLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
5 |: ]! J3 P6 C* N% Q# ]9 h
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
$ g( q. f$ T. ~* j3 M2 @3 A                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
7 A# I5 p& |# S7 V* jsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
, J& u& j) m7 |' x) ?% i) hThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
: x. `+ _0 v- q. {0 E# n' Z                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
6 Y: O  d  e/ H0 u; V3 vSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

/ l: ^% f2 S2 A" `Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
$ I6 o6 e( v4 s- N  j# M
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
$ T% o5 }* i: c( _  e. }  n2 jShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

$ u8 b9 b/ m: z. b( |& ]8 H
0 D: D2 y& S8 E$ J0 j* P* wSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.