出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
4 c/ u! P3 Y% l* Q
; h5 q' X( m/ U- i2。下边证明有没有毛病？

$ n- I/ Y. T: l1 D设  a=b

5 }' z, O5 D0 ]8 p1 W5 d; T则有： a*a-a*b=a*a-b*b
* K) i/ {2 @- S; \2 P3 z( v. [两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
5 l$ C/ E: k! o" A' t
# J$ W& s# K/ {  ^3 j. @9 b9 ya(a-b)=(a+b)(a-b)
  u  Z' J( u7 L( K* d" La=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
+ B) {$ \( J, S: `
1）不能。比如1
' p& p  P" c+ Z6 P% j/ b2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
5 C+ H7 l& W: z, a2 g2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

$ a6 u0 y/ O/ B看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, m8 q6 J+ I6 v  M1 f" P3 J1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- g" d( Q! J: q5 N: n# a* N

- c" w1 M1 H' j7 o  R为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

# t7 c. |2 e: g0 \% {# d$ TProof:
4 C3 U8 k8 E% f( YLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
# y/ |  Z' V! R1 E' N1 F         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
/ _+ T, k% g& u  k3 u, t
$ R" ~% X" h% i( A  fInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
% R* D" Z! p! ]# v, z5 w8 w                                     K^3 – K can by divided by 3.

& f) N& h* w% z; ?9 tNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
, m# Q& F  f7 B' }! z, aThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
" h7 A0 h' Y: p% X                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
3 I; w6 h' Y: L) K5 Z4 p$ L                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
6 z. f/ C. i8 t+ ESo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

0 T. J* Q: s3 J( {4 MConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

0 x+ I7 A$ M( X8 i4 G. L2 WSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.