出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
* f' A/ S6 L$ ^5 A- y6 E! F" E
2。下边证明有没有毛病？
$ E) z$ b6 ^- F- v. y. T5 v
0 f, v9 G1 I$ X+ X0 v6 `5 V9 _设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
$ h( t) X- X1 J, x  r$ `两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

! _" ^/ U! B3 h6 n7 {% |" g$ t7 ^" oa(a-b)=(a+b)(a-b)
9 Q( I7 |9 M7 S% z0 c# Wa=a+b
a=2a
1=2
3 K& d, z7 I/ y: Y
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
5 ?  M0 V0 p+ n$ r
& S' _0 V# z( W# E% y+ J( n/ e1）不能。比如1
6 |% ?/ Z4 l; v, A8 X3 K: t/ s2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 v8 O7 n/ G, y0 D( c9 x2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 n( Z+ k$ g& V3 Q3 x2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ ?; C# v+ [, i/ ^1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
! _1 D$ l: c9 }& S& V

* V2 q6 }( Q# w. T( n为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

- v7 ~. T2 F+ N) a% o7 I: k# V* _Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
3 x0 Y3 ]- W" e! b! ~0 h         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
. c% g  f+ r; t* J" f  w  q
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
4 r. ]( h- I7 v( H
/ U. j9 M7 A/ ], Y. E; m& M7 ]Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
& R' h: A, w, M/ ^; r$ P$ z                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
1 t; x$ F! D3 Z                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
+ V  E$ a) \# B6 x- CSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
- J% @# R" ]0 \  V8 w+ c. D9 p4 L                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
0 ?' C( R0 w8 Y; y
8 H( B7 A5 T6 t1 M  K; w& o* m0 R[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

2 x% z, p! U% |  SSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.