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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?9 w$ j3 s& f9 K# U, Y! Q) t
  N5 P* x7 s: I2 e! g. I
2。下边证明有没有毛病?
) V2 c9 o% D- t6 {
$ p* u5 {% p9 H  _  G3 m; E2 o设  a=b6 P9 N% y1 g! }# G- f: r

* M0 ~0 v5 z# s1 ]/ m则有: a*a-a*b=a*a-b*b3 a' L) @' l! E' N
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):7 l9 }8 |4 n" g
9 f( v$ n4 m0 P4 z
a(a-b)=(a+b)(a-b)
# K! q7 Y! }2 U. H, p) `, Aa=a+b
' }" c  m  z. y; g2 W) `5 D" xa=2a
; c! K1 d/ h" ?. u1=2
. i' _# H4 q& n5 B" M; E0 a5 _2 i# M2 O: x) b9 [
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
- ^0 J( k, q& {4 M( J- P0 R7 j, Q6 D" c, r1 G/ R
1)不能。比如1
7 m/ m  ]8 U  I2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。! l5 u# h/ `7 Q
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& h2 j0 P+ i' R0 l+ C3 w/ X/ H# n: H1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
6 r# O0 I# S8 h0 I& v" J8 f9 I4 P2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
! a; _. b3 S1 ?* Q! z  c( q
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
$ k! `' Q2 [7 L/ N( r( k1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
# R# Y% F5 ^7 M& T( R5 W+ B- h
3 S/ f- n4 l* Y0 D
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
2 k1 N* k7 N& ^/ I: ]: [, L- E# V  d2 n
Proof:
4 l( r6 X9 l; |Let n >1 be an integer
1 ?2 ?2 _6 Q4 t+ i) {Basis:   (n=2)
7 m9 V. c# e6 M& e& I! ?% N' `) ^         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
9 x$ g0 u% R9 g( u" x2 v- p8 h' T4 B% ~- F/ s
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that1 _9 m& j, M: b! b2 f! P& B
                                     K^3 – K can by divided by 3.; {0 {# w. l% A# C5 R
2 h- U! [4 P) B/ }1 [) U
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3( J% ^% Q( b; R6 ?, [
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem6 Z' i! h% a! v7 ~0 W- a) {
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
1 x" E. m4 u: u                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
- @' h! G9 F9 T                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)0 }, \4 [! |4 |( {
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
; u7 G, ]$ N' kby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
  ^, y/ ~8 c, A/ P( fSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
1 S: W/ B1 E9 E% [                                = 3X + 3 ( K^2 + K), V0 i/ B  A0 m1 |: V' L+ n
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
: M2 E" Y+ W, v/ h1 ]$ ?. d
3 w/ Y/ @. {2 O3 {7 NConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.3 C- P$ z2 U3 z* V( ?) B" q

9 E* u& q6 K6 P3 Y/ P[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
* z6 X" Z7 c! E; X* z) \8 G" j* q" U/ o) Y+ @5 A
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:/ ^: g7 m& Z/ S* N- z
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

* Y, F0 U# B( j6 N
4 @* }- U' @7 Q+ A5 aSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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