出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
% O+ B; P2 u* K" I* \
1 m- x, t# k( A6 X* k2。下边证明有没有毛病？
. p  E2 @7 V( T) i
  R+ p' w; ~7 D) L设  a=b

: A0 e) Q2 }3 ]则有： a*a-a*b=a*a-b*b
! E: ^: w6 ]3 J两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

" |+ u+ H% Q& sa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
4 D  c4 W# `  E) I
, R: J0 Y4 a, _% e2 p  D证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

* H1 O. J% _0 ]2 v  s9 ^1）不能。比如1
6 X! {( S+ W9 K0 c4 V; u2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 a8 z( ~; x  B+ y/ J' N1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

1 L, M4 i2 U6 w$ o% A看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
( ]( a/ }5 t  M  P! r! I
: |6 U& d; v0 q2 D( qProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
# s- ^. {  p8 }& {
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
8 F5 \0 V7 ~% K+ |; P% B& h                                     K^3 – K can by divided by 3.
. X, a, L5 z' k9 j
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
3 _2 D1 I; f6 U2 `$ `# O& @# E                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' A: S; h2 R# `$ D1 tby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
; q" t* W' D: E  s* SSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
* ?- P$ \9 G3 u0 D6 b* z+ s0 }                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
3 i9 D) S$ Z0 v                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

7 c) S: G. y' I  \1 j+ }* pConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

9 x) J$ w' K9 h5 ~[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
) G* E! M2 J' [Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

! ?4 e8 M5 f3 G
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.