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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
! x; y: x6 o# v6 d2 C6 x1 }1 n+ Z$ u+ z+ G0 M& c
2。下边证明有没有毛病?  m& f  R, w! n" Z0 v9 y

3 F. ~5 x: [; H! z" m( r5 F设  a=b8 a- Y$ Z- X  V* l/ k
0 \8 U5 c3 E$ E+ r) Q4 n  t
则有: a*a-a*b=a*a-b*b& Y. j" h$ }5 G9 q; L* ^5 B6 n, D# c
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
: J! v& @2 f' O9 T. ?$ ^% ?( g; G- u- |* H
a(a-b)=(a+b)(a-b). I0 ]7 [* E: Z7 ]) `( R
a=a+b, o8 s  d  Z" e/ ]; r
a=2a
: W. o. M6 D+ z) V, |) Z- v1=25 D# ~9 k0 I* \  \
" R$ |0 g& ~9 n+ J1 W3 M
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
) b7 d& y: {- E5 E3 V7 V; ]
. a! `" }! d7 T2 u1)不能。比如1
/ B  l, x$ X* {3 X2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。) g  |7 s- d6 F  j. O  c
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:2 k* q4 i4 d% C5 k+ e6 F
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。7 }1 b+ e/ T; }4 J
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
1 \. M; B: r5 \9 K1 _  J6 S6 @
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
2 A( V# ]) ~" e0 B' C8 d1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
5 x8 P3 J8 b+ a3 k9 L% v# Z

+ K& V: h8 v' l为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)+ N( {' z' e# X
& L6 w  H  r. z1 Y2 h, w
Proof: 0 a; G7 V  q- v$ K6 b$ |1 c8 ~
Let n >1 be an integer 6 |9 e5 r+ h- h! \
Basis:   (n=2)
5 w$ k! O) P! m8 m% U- b0 {7 C7 j/ }         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 30 W' l( u3 B2 n0 E5 G0 ?( F

0 |4 ]4 r/ O) ?6 G9 E. iInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that: a+ z$ m; ]: I( C4 ]3 k
                                     K^3 – K can by divided by 3.: H1 V# F- X+ C: w

% T7 r0 F8 T; l6 _6 r4 CNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3" X. z* H( L1 [2 i( _* I/ ]
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem$ E7 ^6 {$ y( a" `# N1 a
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
" `& H0 Y6 }5 P' \1 Z                                     = K^3 + 3K^2 + 2K8 \4 D& W& T% H( @4 c1 n5 ^1 X( s
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
5 j8 g1 j6 D0 Y                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
! c! }5 g4 D6 a* pby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
/ N4 h) s: i5 y2 Q8 [2 U) ?- bSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' I4 N  d- j# {5 A% N/ f                                = 3X + 3 ( K^2 + K)9 r8 V9 C$ }- M- B( O2 ]4 s- ]
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3) |7 X' i* M* ^3 @0 O" h- z+ L
1 L8 c/ ^* B; C7 x8 r) g: V
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.# N0 e! x* h8 `( Z) B0 j
' L6 C" m/ Y1 H* x6 K$ {$ W
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
0 [' [1 x$ t4 O( y9 f) D1 g6 z) C2 e
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
; q" Z. E# c+ s- H! b# X* mShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

' O& T/ \* g7 I1 O; U
( I7 _9 N2 N  GSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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