出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

0 V9 g# c# Y- B1 |2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

( {# V1 D2 b9 C3 i7 ^+ C* La(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
+ k. S9 s% @& p4 U" x! u8 ?
8 Z& A5 }1 s, a- d证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; a6 V0 ]/ K+ a2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
" c; F  }4 ~9 e9 ]1 @2 m' I
  V* d9 J+ A; b8 ~Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
7 _9 N! u( O3 k, U& u
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
* Y: g3 C5 f7 k, U+ C( W                                     K^3 – K can by divided by 3.

! x' n6 g9 S4 N6 Y# K9 i: U) m0 ONow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
! r- v6 v/ R. @4 r+ B: CThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
4 Y1 p% D9 m# j+ D* w# I# f) ]+ I6 E                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
* [3 T8 l$ Y7 y! e5 W, _                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
& p7 k8 g6 e8 ]                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# `4 E2 Q8 v: @9 c                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
! _% U0 Q+ B5 a1 F% X0 E$ G# `                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
# B- U& P; c0 m2 e' d
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

! _+ `/ G0 n0 u1 G  S9 R) L# G; f[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
. `( {7 P2 Q8 G$ y) v4 d& e
% E$ V3 B9 X4 ^* j, e第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
5 W+ K. ]: k$ q6 a0 c$ CShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

; i) W( t& c* pSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.