出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

; g. A0 {% L0 K6 y( e! c2。下边证明有没有毛病？

+ u. \" A# U) T9 v; y5 V7 A/ G设  a=b
3 _$ X+ d: @* f6 l, P% v
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
& C0 p3 j" }  \0 X% }# ]4 o$ B两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
7 R, x/ E5 _/ La=a+b
2 K; u1 y( }3 ]) g! |  Ga=2a
: E+ t1 q1 s  q; b8 s1=2
) H8 x1 L) O/ |8 c/ @, Z
7 ~6 f9 P9 f6 G证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
5 t5 b2 ^" r' h, w  o8 Z
; [2 a9 H! _4 G7 x3 V7 A- ]2 }1）不能。比如1
5 e$ W1 I1 }4 g# z% p1 ]2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; k' t  _+ m  D5 a! H* j! o- ?2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
: q: \$ z! |9 K: \$ l1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
$ m, b  j7 y, @+ s& [1 T# G" g1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

5 ]: t5 B8 A/ x- {% f为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
: D' \: I4 M# a$ J  f! \/ Y+ d
) T2 H1 W5 W( X$ bProof:
" A) I5 k7 y( D  B6 [Let n >1 be an integer
3 f( i0 i' `2 U+ a- h# Z) aBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

: E5 B  ^( V+ e& z. ]; fInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
; b* K  k$ A/ u" j3 W  d                                     K^3 – K can by divided by 3.
. Z% A$ q) I3 c; L% f4 Y' a
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
: b# H5 S; r; O& Q' Qsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
0 d, ]: V& j& H9 Q) P; vThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
& c; l0 f. B; h* Y' ^by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
0 V8 b' i$ N) {/ j8 |' ~1 wSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
  O& m+ r+ N# Y" v+ `                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
6 \* W, c9 X/ Q: l9 n! m6 o                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

% n% X4 q9 r6 v- }) `8 hConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
3 u1 c8 R( _4 }% i0 T( A
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

+ r) q8 t# z1 a- J* H
) a& v' e' R6 _# Q+ rSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.