出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
8 P7 [) [( R1 Z
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
  s3 F- ^3 F+ p1 {两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

( C' W* ]9 p- @' Ta(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

3 S$ m4 n6 R+ j4 U证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
# G" y& I' q  O0 C' G
6 O; X5 h+ q- q( j. c2 R+ h( {2 q# |1）不能。比如1
: U3 b, a+ v) n, |- J6 p$ W' [2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% e+ G9 \6 v1 b* H9 B$ v) J2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
4 }4 I$ H- v* M' j0 X1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
( V. d7 J; o2 E2 B
& |' ^8 z" e& {+ p& ^4 `Proof:
Let n >1 be an integer
2 [" e7 C* D  zBasis:   (n=2)
8 A. V/ `# ^2 h  W; w- s         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

- ~3 j: j% S' mInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
9 h; j9 G' U5 ~, l+ p                                     K^3 – K can by divided by 3.

& K2 k5 G- D( k( b4 |Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
- j9 @  b: c1 }! {; ~since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
9 p$ ]. P) C: S& N4 g( ]! K3 O- q                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
7 Y- z* Y# l7 J- E2 d+ `0 Y                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
! R: k) A2 j& I- `! k  S0 q                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ s; w0 I1 L$ A- N                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
* H, @; N2 ~7 V- |! M
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

1 l# N9 O0 d8 `/ Q[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
$ t3 E" R! m9 s, T" y
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.