出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
' P& U5 T4 T* Y2 q. d1 h0 s4 l
2。下边证明有没有毛病？
5 Z* {7 n$ K3 h7 B% }0 d' m% G
设  a=b
3 p8 z) ]& ]% t" P: [4 h0 j
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
5 U0 s1 q3 \( C  V
; u& w4 i0 g( l4 L3 K. t+ r; }6 Ya(a-b)=(a+b)(a-b)
* \2 I. {+ s  \3 Na=a+b
a=2a
  K$ J* G/ ]0 V9 N7 l6 W& \; V3 Y1=2
1 R! h! q) r  \4 l5 O& {
- F5 d) i% f2 }证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
/ \4 o5 e5 m8 F7 j5 a
0 l8 y. n' T% C+ N( t8 g" `1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 ?" i; H1 Q1 ?4 u& l( S  ]: p1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- ]% K. F2 W2 F. E2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* L5 x; a, B+ r+ D3 K; L: ]; o1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

# R" d  \% y  g  @( \0 X# A为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
  c" [) e2 E2 n8 R% X/ h
Proof:
Let n >1 be an integer
+ _$ \- s- u/ s  hBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

% K( \7 U7 ?" {Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
' a; Q' k/ u; j0 ?; I. v. q2 Z                                     K^3 – K can by divided by 3.

) t5 v: e/ |8 _( C9 ~/ B( `( UNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
5 J3 W' Y9 `. }9 k4 r: iThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
; C( a0 c! {8 b# F( Y% r4 Y- hby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
% K8 w$ L  y0 V8 P& u6 KSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ m: u6 q% l% a& z5 i                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
. ^; j: \3 h% G- G  B
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
, k7 b) E5 X+ w# _
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

$ X( i* X: n  Q" ?* w) m3 d第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

- r: h1 S$ W- I- w' y- }- h% e
( C( w3 k9 V  SSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.