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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
; g7 x( E0 y. D0 g1 |5 W
" j& r5 i/ v' [. Q9 m' B2。下边证明有没有毛病?) s3 o' v! x7 Z# [
4 J- W% v  {  I2 c0 K+ w
设  a=b
1 ~: I' t: {" y' c, w) F! y0 n! i4 q  ^
则有: a*a-a*b=a*a-b*b$ F9 j1 E' i2 j4 V" P7 }0 M! |4 L
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
9 W1 i- [$ y8 x9 ?, Y0 p0 y/ h9 H+ A& b9 q" ~; [) @
a(a-b)=(a+b)(a-b)
$ g% K! C* R3 d/ ~4 Z/ na=a+b- v4 b- i, e& n
a=2a
% j- {! K+ d8 y% d2 V: M1=2. t5 ~& l* [) H) c, T+ N2 M

" P% n8 A' _+ G! B证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
# K! D, N2 C# e6 }6 Y6 A: n4 a/ f6 F7 p7 h7 U' T
1)不能。比如1- g- L1 y) n) e9 b# P9 E, G/ s& B' p4 }
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
) B" [& @% Y3 E8 @3 i0 S8 T2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:, X7 Q) t' v9 j; P
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。& }9 [6 A5 S4 T7 b2 E) a
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
$ P2 h7 r* H7 l% L
看!有高中毕业的!
大型搬家
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* M3 T* Z4 l# ]% B/ ?/ k" ]1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
) n) i" E( v8 ?' n6 V
8 [1 k3 l1 G. j) D0 e
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)1 s( e% Q! m; i5 h) {9 R4 A( n

* I5 k4 o! L% y+ w' U. i. Z! KProof:
3 t, d" Q' \# t! I, ]Let n >1 be an integer
6 F9 d" E) y: r! h$ uBasis:   (n=2)
' Q: v& {4 o9 g0 p/ j" h         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 30 q) }$ K, O; i8 L& R
; K- M8 g" B/ s: ^
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
% m4 l: p' s; V9 n2 Z* c                                     K^3 – K can by divided by 3.0 n" D  C; }# `1 \, F: S! [) u5 h
) u4 A3 x. E4 y. G7 V2 R
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
% \4 Y' l) q. p; |8 ]since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem( T1 t) L2 F/ g" q* b. [4 ^
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
/ E4 u2 ~8 F+ o$ A! ^                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
) E6 p: R9 j# P' J                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)( P6 k0 H2 d3 F+ ^" R/ W
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
. A- a; ?9 M0 z$ }by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
' ?3 N5 Q% p2 \: n  V8 _. iSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)0 f! O3 ]" {$ L* U" c
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
0 ]2 X3 C' R( a3 J/ O                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
8 J3 R* I4 M0 J" b
5 R* |! l& A7 \9 k% I* R) ~8 q0 lConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
3 J! j8 X/ q3 {( G4 S% O! b. {" N4 N
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。/ y4 {: [1 M5 u+ C" u

# ~, N+ r: F! [第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
# r# H  w+ [6 K( y; wShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
, o7 m+ E1 ~: S( r
- S9 ^2 |* m5 T+ }% c
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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