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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?+ A, N3 T+ e- I6 S' F% F8 h6 Z* J. C

+ m' V+ ?1 _$ X. @6 t) z' k2。下边证明有没有毛病?. W# g# P: a$ r4 ]* S: E
; |& q0 n+ {* _
设  a=b
% n* r. F# Y+ I+ y9 W" H  P3 }1 h) J2 N! d& R
则有: a*a-a*b=a*a-b*b" a8 Y+ `7 K  F. j$ ]
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
, b! @* X0 y+ C6 \4 J1 o$ x; G: {. S7 h8 R. u% P) u% q
a(a-b)=(a+b)(a-b); ^' H& X; I, g4 c& m1 @8 U
a=a+b
% B& h/ Q( I" ~% P3 aa=2a8 E" y3 }. R/ b0 f
1=21 u2 P( z# M3 f% f9 l. _

" z: [2 n7 _2 c. @) Z+ S证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
7 f9 q3 Q4 C$ Z' y
+ B0 {8 s3 p$ g1 H% T: Q/ t. \1)不能。比如1
. h) ^, s9 H+ b9 m2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
/ @3 x( @. i& @8 V: }2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:' s, k" j" M, \! _$ F
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
" x9 u8 V& v2 d% X5 {2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

" K, @/ _2 |2 v3 e1 j5 K; `看!有高中毕业的!
大型搬家
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:7 O) ^5 u5 X) E# l' j5 y* e
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。7 J( H7 o  M0 ?
& B& `$ u8 x9 o: A. o9 S' K
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
' n% F4 e, V, q
& m6 {) Y7 ~+ O0 L8 i! X7 oProof:
) a8 S, C. ?4 J& E. e0 Y+ y+ GLet n >1 be an integer 6 h  P4 ~1 F( y
Basis:   (n=2)! w2 V2 d# P7 c  Q9 i
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
+ C% V1 s! [0 V
+ M) R, E$ z) ^Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that& ]$ Q* C/ k' E* h( G+ T' i- r
                                     K^3 – K can by divided by 3.
  E" M$ N" n) j6 m, o! V$ F6 x$ v: {$ ^) s. i; f# L* }' ]* w
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3- D; E, c0 ^* p. r1 a3 n6 U
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem7 r7 ^5 q8 M" }) ]
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)( k" G- T% J1 W: D, q/ {: z; ?
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
- O5 K- @5 C* G( H9 ~                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)+ w) g9 G8 M* s- n  M# Y
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 C' p) K: \4 G1 d7 O# [7 W9 K0 Sby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0. v% J$ |9 K' D6 ]! P8 [2 D, x2 g3 ~9 f
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, \8 L% k6 J0 e8 @' R& Q: S8 J                                = 3X + 3 ( K^2 + K). D" c6 l  @0 b7 o% S. g
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
( W# y$ \# `& h2 Q2 E
% p8 ]* B$ X, e0 gConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.1 |6 S# s, `) E9 p

: Y9 Y1 d% Q: k( [[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。* w, b* D" _6 ]; T- G/ \2 \! Z! w( S

+ I; s' n, B3 d5 w& D) E4 f第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:% I! S: Y' X" @
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
0 n( N0 r/ W, w3 @. a# T
" B4 A/ L( h! S0 u( |4 I2 B3 x' C6 l) [
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
大型搬家
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