出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
' |5 z) X; v7 g3 D- v- p% `  }; l
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
2 |3 C+ S* \) z  s/ l1 G两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
" y" |3 |4 u0 g! A$ j; o3 Q( g9 L
, K' V+ C: w9 Ya(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
6 }; t4 X8 J! [a=2a
1=2
/ g* [8 q) n3 w) k% X% ~
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
4 Q* g5 M1 o' r( j2 q
1）不能。比如1
! R; y: H7 q2 a$ e% p! L7 T3 a2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

) {* {" L& N. c4 N+ j$ w& L5 U看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

" E# ~* U7 G$ X  E. T3 d5 z1 F为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
- P, p  P, z( \! X7 a# u+ S& A
Proof:
Let n >1 be an integer
6 u" f* ?8 g/ o& ^/ b" R' \Basis:   (n=2)
3 W5 l% O/ _4 B$ A; `         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
1 q1 r+ o6 h. Q
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

" v2 A* X5 S' M5 M, {- F1 v7 m3 M( SNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
8 W0 S5 c* Z; Z. Rsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
: r- K8 K4 v' }4 B6 D                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
% @8 o; ^$ t- c! }by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
4 ~4 ?8 O5 ^2 F9 O. R# \, A
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

6 |8 b( @6 F; y5 L# g[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
6 @% S1 [  r# @. w! i
% v# a4 Q" \7 x% r" J2 g" C; P第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.