出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2 s1 U* D# n9 B  E: Y. \9 z2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
# }9 U, w) r" F
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
4 h0 ~+ d: p; e1 z2 u两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

. |# o. D; w2 \' fa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
: h) i/ [7 [2 ~a=2a
1=2
+ E& Y; p2 M" o  f$ I
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
4 N( M( j) j# ~( A  D
1）不能。比如1
4 G% G$ \+ A8 E+ b  Y/ j& ~2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ }; ~# p) X* s, f5 x7 f1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 O% @( `6 t- ?/ d% j2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  m1 I' H$ a3 W0 g* H/ K

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
) I/ b. S0 D2 }# b. J( G# v
* n" h: l6 I, W7 O& s( F7 C. g# FProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

" v% Q. I" r/ K! h3 RInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

$ S2 J4 J4 W. `" x* u# S; H- ?Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
. `3 r7 x1 _7 O: _5 _/ ^                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
3 q$ V3 j3 s7 r                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
$ x% w- ]# o* C3 U( oSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ m. X+ y8 W$ c' L2 C                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
2 Z9 S, s3 y, r- A2 b
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
& l  u( k/ J, d8 w* e# `! ~
* d  \/ H* ~+ J0 ]. |[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
+ M! x- W$ H8 K0 S' l
0 |% q% s" n1 S2 ^第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
* o8 j1 J3 w" T; v2 u" o- }Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

/ j9 _, A" Z5 ]% jSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.