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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
/ k5 H  K( Q7 y, S6 k! V* F3 ~2 c- j% y
2。下边证明有没有毛病?
. K3 r" ?6 I! p  f0 B& A$ C, U1 }$ J2 E8 Y5 B  H) `
设  a=b
6 p1 {! y5 D4 y& r, k$ y
8 q9 L8 S6 [' s# ~6 @则有: a*a-a*b=a*a-b*b
; X; h, a( X2 n$ ?两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
+ Y6 \, k/ u% d9 y- u2 y7 l. u* G+ A  ~6 J8 N2 G
a(a-b)=(a+b)(a-b)
+ P8 V: L1 S) h( |& U, Ba=a+b/ _) v! A4 N) Z# H; w- M+ N
a=2a
/ C' X3 s8 h2 W  I, I4 |1=2
! F& B  N2 g' ]% [
6 ~4 n( l- |3 O% [证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试' x  ^9 e5 y$ h5 Y
$ B9 s% [! n  m, ~9 s
1)不能。比如1
: R; G! h) a0 H. ~2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。: [$ a9 l4 a; E. {. S/ Z6 x2 s6 x
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
  X4 A6 C0 ~$ x; _4 ?1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。  Y2 i; j+ P$ v! F% t
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

  _) V* A. m  Y6 ~1 v& l( t8 N看!有高中毕业的!
大型搬家
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:) ?, N( r8 \3 A& S
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
# F7 O( w. _0 K; `3 G4 u) k
6 Q. T; ]1 {3 h; H) I9 s# m
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)* d0 K- k3 Z( l0 M1 `0 T5 G

3 G% b3 a% f2 H' g7 S, ]8 lProof:
5 A& P8 k8 V; S; C0 ?9 ZLet n >1 be an integer 8 ~+ n% s$ }/ n- f6 I& o
Basis:   (n=2)3 Q( R6 ~# X! g: Z/ a
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
) `2 d& j( E5 d  c, f3 Z% v2 k) a$ j
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that- @' Y8 }( \' Z0 }) N
                                     K^3 – K can by divided by 3.
9 M8 O7 L- ~% |# ^- H. Z" x" A$ C9 D  j
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3, D4 O1 f1 m4 s5 d7 o
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem) U4 R5 v4 @" o! f/ B0 I; e7 y5 q/ Y( n# h
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)0 m+ n/ y& A% V6 s+ \
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K0 h+ U! _6 u6 [) h' \1 [
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
$ l) @# r, v4 o) ^1 `1 A: h- d& Z                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
; p$ I3 z0 g  j7 ?( |4 K% j8 y/ ~by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
- q) u+ e# f9 N" tSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 r2 Q8 J( o) w. h3 v                                = 3X + 3 ( K^2 + K)- E' @- n* l/ o7 ^) g/ ~
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 30 o$ m4 k- ]6 i5 h5 Y4 f) B

3 ?: E: J0 a, L6 H. }Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.# Y, w# Z2 `3 g8 |" F
9 I4 ?' b# P- {+ q
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
6 l4 t' T( h- A8 L" ?9 e7 ^( |! v5 @  t. s" r$ U0 @/ Z8 w' r
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
  x5 C$ e$ o5 B9 z+ zShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

! h, Q+ C( D6 D0 h
0 V. |( J+ d- ASORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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