出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
3 Z1 y$ Q& J# ^8 G两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
) K2 |- e+ l3 y+ U) H7 v1 l
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
9 p" Y, Y. z- ^* J: m2 O  ^$ ka=2a
1=2
+ I# A8 ~$ s. o. R
1 g- @& k* d- }证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
7 I8 ^: q6 s# Y; O
2 o9 ?; q8 l' m8 X  t' ~& P7 _1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 {& U' m# S: q2 `0 N! N* P0 y1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

4 B; H2 Y) |  _$ ~0 o看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* F3 V) q6 \- t9 c$ w" g+ z1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
5 C% d. r9 I  I; [  mLet n >1 be an integer
0 ~6 p/ j2 n1 E6 v- fBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
& J9 d) V6 j" w& f( }# Q" k' b$ D) U& E
% _! ~' _+ Z5 Z% P9 Q# b& f8 FNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
. D, Q- {0 I) I! u' w* ^Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
+ z  A3 e6 v$ p! O0 Y                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
& Q& `) z" M( x( e" ^) j# W1 xSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
, ?5 U+ ?; [- g, d7 A7 @
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
/ ]! e2 q4 s% I* |
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
) b5 r2 S2 S6 g' ~
% x  A) T! v8 b& S第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

8 T. c+ H6 k; g3 V! w9 s) p
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.