出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
# W6 z- \0 z* g3 U  x0 }& H两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
5 k. H5 ?1 k( ~) Y0 }$ N
a(a-b)=(a+b)(a-b)
* ]7 F* P, O. ]% `+ k+ Q5 g0 G6 Ka=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
! v; ?2 ^# h, B5 q: G' ~
1）不能。比如1
  @% Y6 I% F4 ^# L) h2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
7 D0 d; U! H' Y3 w- p; d/ S1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

. w2 x, v6 \& s$ }  Z5 S: F: ^- l为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
/ p+ T. I" ]7 I2 q5 a+ g( |         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

9 a2 A5 ~8 j: ~, g1 Q% [/ tInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
  G) P1 P& b! W, r                                     K^3 – K can by divided by 3.

" X! Y$ E' b! d1 lNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
. `! d$ E: P: ]7 h, T, k# ~7 a4 w; D; GThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
; W: T, S: L7 L/ R. n  ^2 PSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

5 T$ X. R7 U/ S0 E$ U( Z/ kConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
3 y* V6 b7 {6 ~. c0 F
, [( y5 ]. L( S第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

* d" b  [, m: D: {6 d; b( G% t  ^/ `  p5 DSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.