出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
6 x( e3 T" |; Q6 n
设  a=b
1 p/ |+ ?  }; X  q- {9 `
7 u  |8 t% J8 L' g: }: I. E# h则有： a*a-a*b=a*a-b*b
; f' I. E) B: g( U两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
  i  k. L8 C+ T8 ~, G, M; z6 G
a(a-b)=(a+b)(a-b)
3 y4 o, ?2 l+ L9 E+ {/ O: ca=a+b
a=2a
1 z5 G. U- s) X2 o1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
7 y7 r- ~! g& l0 \( Q/ L- J
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ J- _* @/ l# s2 `- x- z# ~% f2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
0 |2 I! n  b9 W1 e) j" p1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) n8 ?) g; b" z! b" e$ D

5 d: W( m4 e* L& u  [! r为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
4 H4 e2 A% u3 `3 m- n% ?/ g
6 e: Q/ \( a( |8 j$ l6 M& nProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
. A  E& }) }4 q  f3 v% ?
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
* O+ h  X# q3 B$ R8 o# g& ]2 v                                     K^3 – K can by divided by 3.
3 l9 ^+ B: V9 z: q
, W$ S" `  {8 z+ v5 f2 n" QNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
8 [1 D, E7 a& ~1 n' U  a& ]                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ N! {" b3 W" }by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
) W/ n7 F( c- p  @2 u2 Q5 d# s1 GSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
! t7 s( s& ]% L# x* V                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
9 D& y$ F9 F$ v  Q
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

  {" R) U: C& K) t6 P. h: W第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
# U& \( x% r2 aShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

2 M4 J  Z0 V& X: h
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.