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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
6 W; L8 `9 d& b: C( P% x9 `% w; Q. {: w
2。下边证明有没有毛病?7 j, y! S6 O! z
1 k7 e3 i/ A; W8 U
设  a=b
: K; _9 o* i. m  y7 `6 o( i; W9 y1 w/ d2 u
则有: a*a-a*b=a*a-b*b% R$ D4 I9 I' c% d  L
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
3 R, N0 K! K* U
5 w( I% c7 O8 j7 r! v, j- v4 Fa(a-b)=(a+b)(a-b)
: P3 {/ }( K! A6 }, S; I3 {a=a+b
0 O0 X* ~7 \% z8 ea=2a7 x- O4 K2 y. U9 M* C
1=27 \" p% W7 J" i$ a& e  t

- k. H  \) s6 z证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
7 e* W: R0 ~- t+ ?* D0 W8 N; e' f; K' a. j4 J$ f4 @
1)不能。比如1
* U( a  }/ n" C0 I, d0 W2)a,b不能是0
理袁律师事务所
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
6 i( c: C8 M" [7 X' j4 P" w2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
. Q9 g) e, H" C0 I# u1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
. Z( e$ _( O& K4 R! p2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

, t: U0 j" c( C( r4 E; i) ~# l看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
0 L4 _* R& h, @3 H9 S/ z5 U6 d1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
: h( a  z& S. j- d8 a7 y
* U% t) X: W# R; m  ^# U
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
; b5 g" b9 Z4 d6 h2 Z3 |. Y5 B" X
3 t. ?3 f' d, s5 P' KProof:
( J0 I* k/ E6 t9 VLet n >1 be an integer
, C' N8 N- m1 Z3 j# vBasis:   (n=2)
2 i5 X6 f7 Z* S4 G         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
0 L) ~+ ^* R, R* ?; q  [
9 R( z2 @/ \% C  P  v* NInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
8 [1 c! I) n/ [                                     K^3 – K can by divided by 3.& J1 V. N4 {0 C0 E: ]) ~8 z

. |6 o, m1 X! B9 s8 f# KNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
: z; ^& A# n2 ?since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem% P7 K/ d' U/ k! y% l) C8 a
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1), d, ?. @) N* Z" Q8 m8 T  K( s
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K1 X  l, @* \$ n- R6 t7 a" E% d
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
/ Y+ U9 T+ f. P# Z" W) l                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ @1 G0 r3 D; \/ \4 z/ q) Sby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
. R8 B1 r) o. B, v0 KSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)3 S7 Z; n8 v! o& d  z6 Q1 k8 A
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)0 S2 O, h" ?3 ]$ I
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
8 f) z4 n# |: e, |) n  a8 V! ?& U1 q2 F& z# E# ~  [. c
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.8 t; e' O3 G+ P! E; r

7 E* X  y! }; ?8 y& W[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。" x6 x3 {! e' G3 t# S$ @
' I! g7 e* `6 Y1 X1 u
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
9 G: Y* ~! L5 U" Y. m( |, lShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
* W, ]) w+ ~0 Y7 t. ?

% `/ i+ n6 ^# v( r. `2 o. jSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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