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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?- L+ R6 T" v; O  n5 r9 Z7 O

: x4 A+ L2 C1 c- V9 g2。下边证明有没有毛病?
( S- j4 h5 \/ }5 e, Y: n" Y5 Y* R: u, y  M: J; E' ^
设  a=b" ^+ h; o% D% U# h! D4 X; G0 S$ J# j

+ s6 H* Q6 B8 ]9 Y' i则有: a*a-a*b=a*a-b*b
" g2 m  O5 \/ }5 N两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
! b7 `" a$ |8 d
* x7 R0 ^; A# ]  F. b! Ha(a-b)=(a+b)(a-b)' w/ t6 K. A" J4 }) Y3 ^) n) h# D
a=a+b* q6 f$ n9 T& s' u: z. j
a=2a# c2 k  t2 V* J3 e9 r
1=24 i0 W) s( q8 c
  {  h+ l4 h4 e
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试* j2 C* @/ n1 z8 S- [- g; m. I; ^

9 Q) ~/ @+ }- m: e2 U5 a1)不能。比如1
/ Y% D0 u# v; |3 D- }5 \- o2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
, Z! f' Z5 [5 }; o* p4 B& _0 y2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
) S/ ]/ C- W. y( b1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
# i# C* D7 Q  i. D& E2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
; w$ @4 l6 s/ x6 S" q; n" k
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:6 c5 R, T* S* \. R. @
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。" i2 z8 r2 e: Y; _* o: y. k
% B4 ?; Z  J; P$ t7 o, k6 {
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
( K) R, v' R) e6 t9 w% Z. e8 o4 ^
% X" F( l  e4 r- G4 V' e9 RProof:
8 U/ u9 [; F5 p1 NLet n >1 be an integer   O4 r, P8 G: m$ \
Basis:   (n=2)
1 I. L+ e5 a* B2 q6 N' Q1 V         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3$ ~2 M8 f* N+ Q0 D1 j7 P: m# ~
9 u9 ?/ n" E6 e, f2 _9 H; H! d
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that) C: q( G6 q: A- {+ z* A
                                     K^3 – K can by divided by 3.
5 Y1 z3 D8 a. f, P. [7 T1 R2 @& m0 f5 B! c9 J* d( y
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
9 |: m* C7 I5 _$ W2 t! w! tsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem. u- ?& u& c+ U
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
7 ]/ I( x% x6 G8 K. D                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
$ ~' t7 I9 A( E6 H5 e, I                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)' \) Y0 X2 B) {8 b5 d
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
% B6 f& l! [( x9 H' q( wby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0: k; v2 F, [- m# @
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
$ ^4 \$ x7 W& M' m/ {) G                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
* P1 W$ y* Z) p9 k/ \7 F0 x                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3- S1 X5 x4 z* ^" q

+ u; @2 p7 C$ f/ QConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
1 i. R7 p  p7 V( G) Q, j
6 Q2 h9 B& {4 |[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。' S8 Z) ^1 ~! M+ W0 @+ ]
* B  }4 k6 n, T( `% F4 F$ f  J
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:2 A4 T8 _# g; b) P. j! E
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

. o3 B( T2 k4 q! d5 f
# |, _- u* V: y  [9 F- ISORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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