出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

; X' u* C  ~% R2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
9 r& Y8 D# f3 u  N- ^: p4 n) J
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
4 t" r" W! z3 d两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

! K' U& I2 b6 j' {" J- x0 T4 Da(a-b)=(a+b)(a-b)
# u9 B* k) e1 \/ ka=a+b
% E: D7 [0 f/ M( |a=2a
' h$ n1 \' e0 J( ?. C1=2

6 p+ E' T- P% E' [5 R9 X证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
* Y+ {( {+ A7 `% ?! ]3 ?7 S
" K' |3 [' k' ~3 z1）不能。比如1
+ ?" j8 p& Y0 Y$ q% i+ L* M2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 h* p3 F- v1 p/ _4 q2 n- w, s2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ e% j+ Y2 V3 }. c" Q8 T6 b3 L1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
6 i% ~+ t! D# A1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
6 W& B5 H) c2 e  x! f* H* f
7 ?- v- h) q* K( s. ?9 _6 @Proof:
. h2 F+ S) L! J3 @0 P. M4 \Let n >1 be an integer
  c" E( T. v/ V" O& hBasis:   (n=2)
( B1 K! a' S' C6 b         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
( v( c" C+ y: B                                     K^3 – K can by divided by 3.
8 ?8 q% @; A+ w/ F) E! w1 v6 V
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
5 v/ l" s& n9 Y/ u) l% R4 U, [since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
* E' T% e1 ~: G9 aThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
4 \- K7 R5 _% r$ z. J                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
( f$ M8 w% H+ K                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
' p! G6 ~# B* b4 a  P( K2 z                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
8 i0 O4 L/ C/ X! X1 I' x' zSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

4 ~4 @/ Q7 w: r9 w% YConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
1 u- C" y9 m/ C, O5 x
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

3 g8 N( n# _* x1 H, v6 j第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
1 N( _" ]* s/ C) K+ B% t) zShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

9 e5 a+ [* ]& \* }) ySORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.