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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?% T& i$ e/ E2 \* o

) p) P+ K/ \) ?9 p) P2。下边证明有没有毛病?
; \% f9 P& M( y/ J1 B' O, `$ R# ^
9 w! w1 |2 O" T4 W) V1 M# U设  a=b
) P1 _! j( u* C( ^. J$ S7 k7 J
3 ]6 |0 W: y% V8 _. l7 X( h) f7 K则有: a*a-a*b=a*a-b*b  |0 H# ~. K0 j* R5 k
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):0 Z' z5 Q' g3 v
4 |- a% o7 q- g
a(a-b)=(a+b)(a-b)
9 O7 [+ W& g- ^1 g9 u2 o2 J8 U, |a=a+b. n% K1 E6 c+ @" @" c* _
a=2a' N. ]$ g2 l* n; s
1=2+ V5 e2 r8 l& C6 I; J9 s8 Q/ u
6 l1 O1 d, g' A8 K5 r; u3 l
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试) a- ]: Z) [9 z5 d" r' U
  z" W2 S. u; c$ r) T
1)不能。比如1
4 ]4 h/ @  p. K" J) B, [2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。# \" Y+ b# ~6 {7 ^- |
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
大型搬家
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
  r' E( A5 }4 p- _- d1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。! X5 w1 l& s( |3 |
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
7 T( r- t$ E% K8 o+ W; @" z" S2 t
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:- J7 x; K, E) G# {+ K4 K- X
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
. A+ i! Q4 }/ n) H$ o( s  l

% R* a: {, q( T; j1 r: ]为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)% A8 X, s$ ~1 P" `/ Y+ d: y, F& ^
3 p1 w8 A# @- a8 C" v, q- R
Proof: $ ~6 [1 [) x( I% z  q$ Y
Let n >1 be an integer ; `9 Z- i( e8 C# r) v
Basis:   (n=2)% f( w* h1 D6 y7 g' y
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
. N( K/ R7 a1 R# ~7 u
/ ]5 e; x' N6 h% G/ ~1 E9 ?( PInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
5 f: j, L, W! r* F6 |& O8 ~  a                                     K^3 – K can by divided by 3.) y9 k, \7 C7 \! Y1 p( p' L2 D3 s

6 O$ k9 ^8 C  G& M2 bNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
' ]6 D' m& T8 q. s8 b  }8 i; [+ fsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
" l6 }1 a9 C  kThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
. }6 K9 ~4 P6 h' v& l* K                                     = K^3 + 3K^2 + 2K" Z' B; D$ n7 X1 T
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
9 k  @! k1 D8 `' `! S& J6 K                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)( e, s& t6 t4 Q2 A$ k' [, T
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
8 ]; [( _' p4 [7 \7 g+ o. aSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)7 k( v! A, z' ~- _3 [/ e  G( H' Y! ^1 [
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)/ w8 [# |* P9 {. Z* E* M8 M6 l
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3! [, F( `$ L& @" N) t2 r

! ~- m3 C8 w5 b# S' d5 PConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
3 m$ V# x/ S/ k/ I) _
/ s8 N/ [3 Y2 i' T/ y  y7 b0 E[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。1 n$ Q! C1 j: \
; q% q( D2 ~. F2 P  I
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
8 H3 |; A" u5 v3 p' k0 p9 U* {' U4 WShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

9 ]7 d* s) A  g% ^! s- k5 b6 O+ M, ]7 _7 w. ^# Q# `' ^3 e5 C
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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