出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
& j: g2 U& b& B
  K* t# Y  A( ^* V! H$ |3 O2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
& Z# ~) |0 f0 W5 W1 g6 ^  |
, ?! H" D5 U' m% ^1 @则有： a*a-a*b=a*a-b*b
, S: T% |/ A( d  }- n) e+ l, f4 V两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
" m, J( }' o8 d6 B) ?, g
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
* l! ^8 L3 K/ }0 s+ b0 r/ B
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

/ a+ O9 V% S0 \3 \1 G: K1）不能。比如1
# |8 }/ r; e# R2 n+ ]4 w; V9 x& `8 R2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
/ a$ {+ {3 {. Y0 x9 G1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% n; G! p8 N7 S- r% D/ N7 j2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ ]2 `# H. J  v4 y) o" }8 {+ O1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

% t- q& p- @% q为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
+ g& ]5 C; L! I3 p0 z
Proof:
1 ?# L! L) K0 O3 @& i8 Y6 m& m( TLet n >1 be an integer
) E  X; W. i3 oBasis:   (n=2)
: \8 P" `- }3 T5 a. Y* s         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

3 b2 C; |0 c& w& U" Y& iInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
) n. ~/ w( O7 w) q
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
/ \7 n& S+ N6 q/ k- x8 Usince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
% M8 P$ }) f/ ]& g+ p2 s                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
3 K8 s/ A* R( ]/ {                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
5 R  f1 x1 q1 M9 S                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
" V: W. w+ p# ?& M# I2 a- N$ VSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
7 z* O2 {6 m, K- ]7 J                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
1 q2 \. ^. A) }, r' f
. w* X, B- `2 rConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
5 D4 E6 T8 ~6 w6 f, k% ?2 }
6 @4 m9 _6 ^3 z, t$ V. u[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.