出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

0 G0 b" X1 a3 r6 E( [# k2。下边证明有没有毛病？
9 u# x, r& B+ R; o8 D' [) K! ]
3 Z% F% B: s* k7 K1 v- C/ g设  a=b
5 E  z  P) e* M+ v" |
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
' O: }/ l8 a6 w1 Y# d, P6 Qa=a+b
) W$ i7 f9 b8 R6 ?' aa=2a
7 _2 C# r% C: a1 ?0 I% L2 B1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

- d- \" f! s" X# }$ ~1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
. u# U* e4 q  p; ^  ]& |0 c2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
9 J1 _5 M0 D3 N  c' q3 U2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

# Z! \% ?: q1 m( \% Q; L/ @: HProof:
Let n >1 be an integer
& S& w6 H; l7 M6 a3 ~4 TBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

, c' [* d, I3 h( x. i! d2 p; f6 {Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
1 o: {. A/ [" N, J! J% P                                     K^3 – K can by divided by 3.
8 L) ?; C% F" d% q/ H8 D  @( k  \: K( Q
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
1 G; k+ w1 B' C1 ~since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
" c4 r2 ]% b' @Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ n2 ?4 @3 p+ @* \6 V/ ]by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
3 w7 y" n& V4 M* ySo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
5 ]# l8 w% {' ~6 V: R5 i( j$ e
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
- F8 V5 Z8 @' R7 j' k- n! q
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
+ c: y3 O: J: z4 ^& v: x9 OShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.