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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
9 v! w4 |0 y  y7 A# R' S. ]( k$ {& b  T8 ?3 D
2。下边证明有没有毛病?% w) A) c1 u. D0 e
$ {" s, x* }  \5 s2 b" X
设  a=b" R8 {9 b( v2 d' P( f

0 N7 a+ t5 `/ c5 _6 K, W则有: a*a-a*b=a*a-b*b
& y) ^# d5 a( U$ j, M1 l# \2 M两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
: H+ O2 [8 X" B! w6 V( E8 X
# n- Q; C+ h0 s8 D  p$ Ya(a-b)=(a+b)(a-b)* j# h; V. H$ H8 d4 p# z
a=a+b
: c/ \% c, f2 ]& n5 W+ I% |. q& |  ta=2a8 x( {3 l, ~. \
1=2
+ h) x7 s! t8 P+ k* ]0 H2 E+ J; G+ |8 m4 \: f/ s% R& f% _
证毕 ,结论,1=2
大型搬家
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试8 d% q* o' d% \! S

' }8 h! w0 y8 X$ n. w; y1)不能。比如1
- Z  t2 F, ^8 p" ^6 }) k% [2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
$ A) E# J- R+ l, u3 N* f1 E2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
; c$ u2 s# a. _, V* a1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
- y4 T1 k9 {; O# A. E2 R& [2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
' g) v. F( [" q& B0 @  y
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 g8 n. ~0 P) c4 _5 h8 \9 o& l1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。! i9 Y3 \. F4 Q
9 S1 o* H3 N9 @* X
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)6 p. v4 W( l9 p4 g  j3 B7 K/ h9 c

# R0 H# ?- ]$ [! s0 j6 t) }4 ~( XProof: 4 I' q2 Q0 j- b# b' |& b3 p3 |
Let n >1 be an integer
# k- x1 q  z( P: p( pBasis:   (n=2)& H' u9 p  _% V# q
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
7 ^- e0 e+ }+ L; q0 a9 g( b* k% P' r- h4 e; c; A0 b: ]0 L1 y
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that4 q2 P$ T; Z1 U
                                     K^3 – K can by divided by 3.
( T2 H$ v! T1 n' P3 D, r8 a8 s! ?( ~2 `, o2 Q/ `
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
% e% ]6 O, m" b# Y6 k5 |9 k6 ], |since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem2 J* r7 x: |7 {) J
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
6 [% w0 a0 d, R$ [3 c                                     = K^3 + 3K^2 + 2K7 T* d3 n" b* e* S: ^; e
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)+ p1 X( h( g1 W' H( F
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
8 S' I* r, J4 W; k, K; Rby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
" j6 y) {  A7 J8 ?/ JSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)( ?* N( e. l; Y5 H9 G. ~9 a4 i
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)- X0 y/ E  d( U# b* d) C% Q* D; e
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
6 f! C4 l: b+ V( a) Y. ]
, P2 H* v5 N2 n* i$ N/ RConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
0 L9 k# @, i, {% |6 a  f; @# G2 U# t( ^& {% ^4 R
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
# o# W6 I' v8 E( Y5 k9 ]$ }9 y
8 R0 p% i+ D5 k$ z4 `6 ?; m3 z第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:! b! }7 S- M# @5 }- o+ I6 O$ L
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
2 a$ O8 ~( C% M$ Y

; u/ d7 l) g9 M  @1 d) A2 B" xSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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