出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
4 O. ^( o3 \8 h$ K' v* i% \
! j* m% j4 t' |3 r" q, ]- ?' h# I6 M2。下边证明有没有毛病？

0 T. e7 d& I: n设  a=b
: u3 o8 K5 |- p$ P* `! O
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
6 \) }# H6 m1 k6 n/ M5 h! I两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

' D" L; E  I0 t7 J( ma(a-b)=(a+b)(a-b)
! Y; s% z) S* s& C) Q6 la=a+b
& i6 M; X0 s8 Qa=2a
# R+ f9 J( f* O% A" |1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
, C! J7 l8 y. `( A
, ~' F" l% U$ l! \1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 D4 \6 k% _- _; K1 }; Z) Y& ]2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 Z: f5 K: X% T+ {0 e2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

% J& D1 o! Y, [. G- A. s9 ?看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  g( T5 P0 U" P" w: ]5 ]. m+ ?# Q4 f4 @

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
) y+ ?, h+ c$ P# }0 U
Proof:
3 `% t7 v' D1 f% i2 G- kLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

3 T5 B' q4 s, s* B) |Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
4 S$ a5 T4 S! z" I* e& }9 N$ c                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
% H1 y3 o1 T4 v- |  u" }4 qsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
: Y1 ]! \' O4 L1 `                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
( h# G* u; x8 }                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
2 R$ Z7 R+ F7 @- D' ~+ S) k( Q                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 B' T% s7 N6 mby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
0 R* t% B5 t! CSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' L# g# P3 ?8 u4 |, x                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
" s& M/ G5 L4 C) V: F: d
7 |9 ~. A6 \# j- [! BConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
1 g5 M& X+ b+ ~6 i
  U2 _- k* ]1 W6 j9 ~6 V! i$ N/ \第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

% S! h( d) f, Q; a" }1 H  K
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.