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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?- N: u6 a  P+ S* J, q6 H% m

$ k" H, G4 ~" T2 Z2。下边证明有没有毛病?
: P$ z- @, S- a: S2 k4 T2 x* @$ ]/ O  j! f, W5 v9 h5 }
设  a=b( z; u1 R! s9 d& x0 {; ?( R
) Y$ o7 B$ ~  j1 f. b
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
+ |) C2 l5 P6 f5 W  m+ P两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):! F" Z. O/ k6 T+ |7 E6 [" ]

/ X, m3 O* M" z. Xa(a-b)=(a+b)(a-b); j  {4 B* I+ b0 n: n+ ?  i' n
a=a+b8 G. \& a' I" O2 l/ Y
a=2a
4 _3 \2 n$ u9 T2 Z9 O/ [1=2+ L! w4 M* A' v, X8 b  [; n

+ f& t& \& y- k& x证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
' i( F& f: K2 K2 ]; m& z) ]! p+ ~& k; e( q$ }6 O! k$ W! o2 k
1)不能。比如15 D6 g& K$ E( I; e, ^9 F, J4 c  Z
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
. M! L7 B# F/ J2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
2 l6 t$ o- j, l1 b8 G+ ?& }% z1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。+ H1 f! D. e' p3 x/ z9 p
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
0 T$ K$ q. W$ _1 O* _4 N
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
5 B% b) D( o1 [' _' w# A& _1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
  y! a7 U: A4 ]$ {

3 ^2 |" G9 u" z" r# y& e为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)% f5 _" L: I1 ?, z! R$ e" J0 I7 x

$ n/ ]' ?: O* C; o' M! w1 ?$ CProof:
8 A* f5 }5 q$ A. F" M+ `! h; V- ]Let n >1 be an integer ! [0 B4 h! w4 d( b, F
Basis:   (n=2)' t+ c, D& q# M7 q. `4 l- E+ f" E
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3: E  b4 T7 o8 O/ m, X8 e/ Z

+ @2 m* o7 L! r0 ?" ^- iInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that0 h- h( m" h5 E) i
                                     K^3 – K can by divided by 3.
7 m5 ?) f& u, E. d6 e1 b" e$ @1 o0 M! C: g3 N1 ~& {
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
1 I, U3 z' N; d) Xsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem! F& B( M9 z5 W0 F
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
  w" t6 i' ~$ ~) C9 i% l                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
( H5 `- H, W9 }                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K). }* ]2 e3 q1 B3 x
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K). o/ Q0 E5 @: {, `& b: w6 D9 ^. T
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0" i% {5 f  X3 C; D/ I: w
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)1 }7 e# j0 Y0 {! E
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)# r& \* ~/ t4 p4 d, _
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3/ R$ @* m& _0 u7 k( c: B; O% R, ]

, F% m- K4 Y. Q8 DConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.! q$ D7 A# k% v
* t# w- P# r* q5 ?
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。. c/ e% s. f: y% y. O
# j$ ~9 B5 z% E0 a) ^) L
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:1 b: X( Y* B3 E* h& T9 V- [
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

) n+ s& \: C7 q7 ]
3 r' K0 [! z5 T! m0 h# S# h5 O( dSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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