出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
% K" W6 A" `0 {' u7 @
* a9 z$ R# ?% y& E2。下边证明有没有毛病？
. }/ {4 H! Q: F9 a) \
: Z! |8 D( r9 A9 v/ E设  a=b
" m3 T2 H' H% N* g; a
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
/ z9 t- h9 V3 j
a(a-b)=(a+b)(a-b)
1 z# L; }5 S6 I, f* Va=a+b
; z" G* T* d6 J0 e. d1 ha=2a
; L; p4 o( ~6 N( V% ^1=2
- v# S  j; D& _& k, [  I
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
# v0 N* @9 V7 `9 k; O
1）不能。比如1
3 q" Z7 a! O6 c' }7 n2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
# j; ]: E# p) f' q# A$ G5 G
0 Z* y# {- _+ DProof:
6 R6 s0 b9 |& e, m2 D( ~2 p1 s$ RLet n >1 be an integer
. A1 \0 c/ ], v- z) p8 [Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
# g' d, c: B2 x4 H6 I                                     K^3 – K can by divided by 3.
2 Y" [5 p1 Q7 s$ b0 m, N
+ Q% ~5 y& e3 u, e' {! mNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
0 U- b9 z* |, I+ e                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
/ I2 p- s0 ~. b' ]2 v                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) Q+ v# w! `, z) C! B: u                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
: J9 J7 z. G3 U9 x' y
) Z. i( V0 x( s+ c( ^' C9 a% aConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
3 Z; p: x/ c- u# d6 I% ?# M
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
" F- F2 A( J% @' ~Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.