出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
! x; y: x6 o# v6 d2 C6 x1 }
2。下边证明有没有毛病？

3 F. ~5 x: [; H! z" m( r5 F设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
: J! v& @2 f' O9 T. ?
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
: W. o. M6 D+ z) V, |) Z- v1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
) b7 d& y: {- E5 E3 V7 V; ]
. a! `" }! d7 T2 u1）不能。比如1
/ B  l, x$ X* {3 X2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
2 A( V# ]) ~" e0 B' C8 d1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
5 x8 P3 J8 b+ a3 k9 L% v# Z

+ K& V: h8 v' l为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
5 w$ k! O) P! m8 m% U- b0 {7 C7 j/ }         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

0 |4 ]4 r/ O) ?6 G9 E. iInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

% T7 r0 F8 T; l6 _6 r4 CNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
" `& H0 Y6 }5 P' \1 Z                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
5 j8 g1 j6 D0 Y                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
! c! }5 g4 D6 a* pby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
/ N4 h) s: i5 y2 Q8 [2 U) ?- bSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' I4 N  d- j# {5 A% N/ f                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
0 [' [1 x$ t4 O
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
; q" Z. E# c+ s- H! b# X* mShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

' O& T/ \* g7 I1 O; U
( I7 _9 N2 N  GSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.