出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
% k4 |) I9 n( U  }* F3 v
设  a=b
* B, q% i* ^- M" m& p2 @
0 C2 C0 P* C! _% i+ j0 I' F7 O; d- _) G则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

+ W+ Y* f- ~" d; r( za(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
0 U7 N' Y3 T1 v
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

. B' m" e/ I, j, A1）不能。比如1
' F7 j$ d0 j+ y4 L% y6 _2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

+ u1 o) q. F2 ~' i* u" J看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- y% x; m$ _6 v% q2 S+ u

5 M" E9 w7 \7 q4 B, b5 k2 x1 T为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
: ]6 D  g5 A; Y6 p% P9 E. wLet n >1 be an integer
% w" y& R" Z% }  u% }Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
7 g+ H/ f& f$ x3 ~; [
8 F& T. z0 C+ k. c  O4 JInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
9 C; d' |  j3 {
) T6 _' P8 Q" Z) n0 y2 PNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
8 F5 e/ d1 Q9 CThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
& q8 d% s8 [  S! l                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
0 I) m$ _2 \: j                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
* k9 N$ D" K, k  T" _$ s                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
6 R( W7 e* k. {! s
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

1 {: d: H6 A7 Q! v% T2 C
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.