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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
5 X% M  x# c( w2 o/ X9 ]6 q6 b/ L3 b7 `9 a/ K" A4 j
2。下边证明有没有毛病?
, x+ b% b  I& H7 w; q7 O- m# N7 ?0 e! S+ b
设  a=b
4 Q4 {7 r' M) \6 m9 ]0 u( J" m" W
则有: a*a-a*b=a*a-b*b: k- j5 v5 W3 S% K* ?
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):  x* \  v7 r  ?# y5 j
, |5 i5 b+ P4 A2 C" _
a(a-b)=(a+b)(a-b)* U' `$ f6 f0 N- I3 R' m  i8 u
a=a+b  ?/ y; R5 M# J2 ~. G
a=2a* k/ V, `6 e. w  c* h: x" o% {
1=2% v- C* q% y8 G" Y- n

$ o! t9 [  J- ~# w: N- z) z证毕 ,结论,1=2
大型搬家
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试# K& w# k  f! c) O6 J1 l

4 q  T7 s& G) f( j3 |( P9 h4 ~1)不能。比如1
8 ?# P9 S4 }- h+ K: w2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
# X2 ^7 h6 b0 l+ u+ B: t5 o2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, q4 A2 f# [9 q" B+ k1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
' b5 [. e, J& v1 p5 i% u% H1 ~& m2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

0 J+ g4 I1 \6 }3 t# F看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:: f! d5 P* c7 q. ~3 u3 v
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。4 d: B( \6 [1 P1 W8 v4 Z

% x2 U* {0 h/ e+ E* S) l( C为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)# w9 i8 V6 D1 A& o0 j; l
  \, L4 Y. ]% N/ q* [/ H
Proof: " d% X) l2 d' Z% n4 s
Let n >1 be an integer
; d2 a3 @5 j' T. _. f8 kBasis:   (n=2)
% D* u! H6 S) b9 I1 v8 i3 L8 y  k         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
/ P, i9 E- s1 K- D, ^$ y3 L; G9 q/ E, m
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that2 i5 A. Z. t2 ?0 T: j
                                     K^3 – K can by divided by 3.
. R7 e& E  m& j  R* z, p6 L8 C' [* N4 p9 B6 _
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3; r" p$ ~5 i' [4 g3 I. z
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
7 M7 H1 U. c" A' d8 X; BThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)0 x3 ~/ ~5 Z6 P
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K' |+ n" Q+ n" D, G5 X( l0 X
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
: i$ t. {: D5 R/ m- u$ C2 g. e6 V                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 K3 H: C+ L  x, Xby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0' d' o; |' z$ D+ ?& @# B- Y& V  l+ o
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)/ t' H. H# a- H6 n( I
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
5 P7 E" f% X" v2 d% z1 h% c0 ]- q                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
9 t( V4 U' \8 p( {  A! K
" G/ I5 u: @. q$ A1 J4 y1 ~- zConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.2 r* ^) o' ^* C; {

8 h9 F) {6 {1 r7 _  q[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。+ i! y0 X) q- t% c

" |7 H1 y$ L. r第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
. v0 f2 S7 z, g0 EShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
4 V, U! J: s( E9 {
% N2 [7 n6 Q; i( @9 b0 z4 _
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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