出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

9 Y) T% m6 M1 t" Y5 ?% Z2 W( q2。下边证明有没有毛病？
' r$ f4 t" J; \6 i; _$ T- F
设  a=b

: \9 v7 d/ G/ y+ F6 Q1 i则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
; R/ V4 C+ H# ?: l! V. D
% C0 I9 J+ |$ z4 O8 Za(a-b)=(a+b)(a-b)
# u+ B" z' M5 {6 n/ a) pa=a+b
6 w/ M; @9 L1 X2 O6 k! Sa=2a
1=2
* B- r) Z5 t- p) v
% L7 s4 d; y7 [0 S% W  d) S证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

4 i& B; l7 ^7 k1）不能。比如1
: C; r/ p* g) e" U% Y0 Y2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

% E' A. s5 g) X$ d+ K& [2 Z为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
! Q0 @# V! j7 K& x3 X. ~3 B: O; MLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

+ S9 K" j6 g" u) E: ]# q$ xInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
( ~$ h2 O6 V9 |5 H" I
/ |; d& v1 Z  o* a) B& A, DNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
0 O, A8 P# H* m- h( U7 G' [6 osince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
) Q) [8 @: K! p5 z/ L3 S8 C1 [Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
) J2 e0 `  w' Q! Q                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) {$ U  `' M  A4 B6 F! n/ v! [2 c5 Yby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
( c, P' a8 l  e6 @6 rSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
$ W, T; h, X' j& c                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
) c% _: r6 _7 ~2 N+ [3 Q
+ P  j: `) x9 k/ fConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

$ k0 }; n# T' r8 r[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
5 ?! t6 p3 Z/ _! B9 p( ^5 j3 h9 O9 ?
: z& I1 y) ]" J3 h第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

& R# |/ a" A# s9 Y5 T
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.