出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
' [* k6 C/ T% I2 ?) c8 l) B" F# g
# o0 \. Q4 k# h2。下边证明有没有毛病？

. f7 T2 j% m3 X* c( F设  a=b

7 a7 |9 J" l% Q5 w6 M# g- w$ w. J6 k则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
, _7 i: y8 W4 C6 K
+ j7 @' O% d2 m6 B( G- aa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
! J2 Z& j1 V. R7 @
* Q' z  c! ~) r  C5 C+ Y1）不能。比如1
1 b9 ]2 N/ l  d: p/ e2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
9 R5 S& \/ {- }2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

& U+ n0 f; R* n8 T4 ?$ T看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
7 E  {+ h2 |3 G) Q1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) g' x9 h; u9 z' u* Z+ h

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
9 c4 M  e5 c& }6 Q3 P: A4 c
Proof:
Let n >1 be an integer
$ i! `* _& A+ m) }Basis:   (n=2)
  |( E8 [2 ^% J# T+ h8 `4 {6 X9 {1 b         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
6 i7 d! O5 O; {4 E/ X) f
, ~* m: l* {# l4 X/ i$ j+ {: GNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
$ m& G' [/ L* i! `2 \! PThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
! i0 g' I* X( J! y; ~, ~+ o0 _0 ~                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
$ [: M2 G" h6 H% l' w8 Gby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
$ D5 s+ f! t, ]2 @( M( _" J( iSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
" \6 c! L# D1 x. X+ l4 A  P. Y2 q                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
3 W- q- m; ]3 z                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
, ^0 b) u+ z) x: ^& `7 z# p
0 T. [/ ?( u: C& g! \: P; tConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

2 a- w( z1 s& c第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
9 L$ X/ |- L1 s( QShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

" p0 K- s( N$ w- V  y9 G% }
( X) c( O* S/ p' A& O+ K& I! m, eSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.