出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
/ W$ F* d$ N( T, i
2。下边证明有没有毛病？
7 {2 e& t) N; h' x1 G8 y  ?
设  a=b
: a/ r) H$ v) H& G
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

' W' B) Y* ]$ k$ L+ N, {a(a-b)=(a+b)(a-b)
9 Y( o% Z' [0 Qa=a+b
3 A. w1 N( W, d, l( v, Y# Sa=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
5 ~; W+ S% m: y. ]2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
; ]! X: M8 H! d1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
9 E# _8 P& T8 Z" F  g  P2 B

. ]6 B0 f' J9 B( k& T( M为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
3 _- o, E' C/ t
4 \9 ^+ ^1 C& y: `& f# ?+ yProof:
; x. c- Z5 C2 P5 v9 DLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
- b2 [/ A0 U4 ]  D$ N# I         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
4 i. s9 Q0 \6 y$ H! F& _2 _5 @# Y
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
  _6 V( x  r5 q8 m2 B
! R) K, r* j3 {2 pNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
* [& D0 Z% b1 I8 I4 s# ?* a3 Ssince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: Z& K5 q) N3 ]6 u8 M' t3 Uby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
5 M4 l+ P9 R5 W! _6 d, w                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
  ?' _* ?5 w6 b& Y3 f1 G1 M
- ]. w' s, t: o& p8 b% z$ G0 M" o( E8 zConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
0 r9 {" W; _0 `; d/ f7 o
$ K$ }' o# h$ z  l/ g; m[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

+ X: v/ I+ h, I/ ]" ], K第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.