出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
) a6 e- [: a; q' p( G& Y7 z, K  l! l
: R, H! Q4 a1 L0 j9 {( S7 m2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
+ K5 D' y2 r0 J: i
+ b8 @1 C0 {+ R3 q则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

, X) d" O- R* J' j9 Z) [$ H1 H0 F1）不能。比如1
& c+ X( e0 `* h1 y( n* P. Y2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 P" u7 K) U; K! j+ b2 H2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ T; B! \( N8 ]1 s  T' J

$ f' z; c4 F2 R/ H$ U$ S/ d* F! z! f2 ?为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
7 L/ O$ k* n9 a" T9 E* W/ Z4 D9 n4 E
Proof:
$ k$ s% @5 D% w: g, _8 n: I& c6 R) eLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
( T+ G& A( R# v) h3 G         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
! h! N% J  _7 m* J
' h, t' p2 H: y" FInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
$ x8 [, k& O5 y& i4 B. K% i
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
' r; Q9 V1 b! S$ \% ^, u. k% V' |, [since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
. _; {  O8 F& S; {                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
5 {& S- ~5 ^! s9 [6 hby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
/ v3 I* T+ Q) e* o* h+ X# ]( \+ qSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
( O; x! T& t/ Y                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
3 y, t3 J1 ]' X0 r% C1 D9 ~& J* f
$ W0 J0 k: i8 S9 h0 m7 |第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
0 T! e+ J7 T8 }0 N9 j5 Y, d; [Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

0 P2 V4 J  x" @% R1 j- A4 ^
8 r; e9 W  G$ k# iSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.