出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

* \9 g# f7 N; p0 h& x设  a=b
# ~# X5 u2 K1 r
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
5 K! s& j$ ~' s: b% |: p
/ b& W- M& q- ^! C% u9 g+ l2 ]6 h& ca(a-b)=(a+b)(a-b)
- @. g" Y% G% D9 g: sa=a+b
. c5 _+ P5 N1 \' W/ C. o/ a3 g' n! ha=2a
* D6 G. ?" a( Q% x1=2

+ Q5 J3 y' W% y' M证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

6 G, i0 f0 Y8 V  {) N- g# j1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

+ B& n* u- @$ n, e8 _5 g! ^看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
0 y! C! O4 J: [5 Y, i! Z' G1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
6 E7 p* @* g4 n8 @3 ~. L+ X

" ?* a- N: }3 G为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

, l! a  Q$ L, ?2 O$ k. m, }/ GProof:
5 Z. r# p2 y  G+ VLet n >1 be an integer
3 x6 I7 P0 O2 M, `, H% q# ^: mBasis:   (n=2)
; `+ {( r" b) h; W         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

8 O- I0 G1 j8 k* }Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
) r% c8 L3 H; W; e* Y
0 H4 P$ ?5 n2 E, y: O6 `Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
% Y1 m* g! Y5 |% ]) I' ]0 Xsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
% o* L6 b: ]9 _$ L! F0 _( [6 A) R                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
+ Y0 U+ c# G' H! D                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
# h; v6 J- x6 D8 t/ `3 mSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
" c: H1 ~' ~5 |, j# v  \$ s; R                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
- o' A+ F) H' x" z7 N) ^
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.