出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

" t, N6 p3 F$ p, \; a% z( R; \2 Q2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
9 k: ]3 m- K' _0 p' n' z
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
: ]- H; _$ e' ha=a+b
a=2a
1=2
( p5 a4 i( w$ p5 O, A) B
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
+ ^6 l: N' `: |. R3 m$ X0 z* b2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
0 R) e2 P! G4 C7 h2 P1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- a6 P7 ~% [! t6 n8 P/ @2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
/ i! ]  E/ Y- M0 s. S, }

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

1 Q, p% j0 l7 b0 |' U! P' f( vProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
$ U$ q  a; q' \0 d         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

+ M# H2 ]5 H' T. kInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

4 [6 X" z8 d5 A) R! O5 T) sNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
# U& j9 h4 H/ m" o                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
) m/ ~' T, |6 j& ?" X4 B                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
+ H) s5 s5 d/ @8 K, P                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' ?& y$ @6 B  E% e9 nby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
* U* D$ R/ ]: VSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
4 r+ P/ Q6 v/ M
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
6 R. c$ E9 J. c, n* j, A8 Y
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.