出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
. p" X* H6 |7 _0 A+ b3 y4 S& o0 G
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
) @( s+ i0 a+ Z* `两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
, t/ D$ x" R2 w( y! R
a(a-b)=(a+b)(a-b)
8 Y$ n* P: E: a' I- Oa=a+b
a=2a
" W2 P- c5 D1 w# O, c5 }' I1=2
2 W# S7 ^% l+ \# P  ?
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
# Q; M1 i2 T. Y
1 P. B! C. R7 _" j# D1）不能。比如1
- X3 l: r% e. `2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
6 }* c- T3 a& C$ I1 L5 s1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 V) T: L9 y  L% {1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
6 k: P1 i$ ?. _Basis:   (n=2)
9 `6 y% ~6 O) [2 p: X         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
( S- U3 w) S4 H! G* @3 T1 W                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 q. `7 ]( O% }; y4 kby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
7 F& w$ j7 X, u3 a/ z. f+ g                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
; P7 V* k' F, v, n6 y' S
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
8 j% T% g& v$ _, d/ ~4 f; }2 }
9 j5 }# a+ e0 a/ n第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
; W, U6 e  p5 KShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

4 r7 G+ P7 [7 |2 p2 P/ ~
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.