出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
7 r+ E& L  N2 s3 i6 C9 \0 v
) q0 R6 p# O( w2。下边证明有没有毛病？

4 u' Q9 ?5 U3 `& w8 w  a9 F设  a=b

% K# a# s+ r/ e. g6 g" ?则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
' @$ p4 j- {$ Q7 p$ j4 L$ n6 Wa=a+b
a=2a
- {. N0 x. {$ b1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
8 ?: C2 c6 U$ i8 A3 S- j2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 B8 g; F, k* e6 P* |2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* D: i/ M# {5 W- n, F, ^& k! y1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
$ A0 H/ P0 i' S2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% i* J$ d. |' I% _' [: v- ~7 M

" H  V9 o$ o8 m0 c8 U" ?为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
+ j4 [7 x  \0 `# G2 i) i
6 e- a% c, ~( M/ i1 i3 |Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
/ M& H! y* m5 X         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
" a- c6 c! R1 K' w
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
* m( L5 s$ ~/ z# I/ h8 s- g+ V                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
9 W. Y/ M: {% T                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
5 Z6 g7 a9 h4 e( Q                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
9 ]5 a% N. B# m9 }+ b7 eSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
. {% q0 e. G0 l: O
& k6 H. A# g" I3 ]Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
8 b% |1 d! `2 S. p
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
7 H# N7 c4 j1 q4 x7 h( J& L- \
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
4 V2 i5 G, [- p& F6 a0 c8 PShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.