出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

6 Z% O" F6 n0 {5 N2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
1 i6 X7 [) _3 H; i( v5 |( S. X( [
: O- |3 \  U' ?. P2 I7 F则有： a*a-a*b=a*a-b*b
( |7 E5 z9 M* M2 E9 }( o- |两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
+ S$ k# i8 @/ T8 va=2a
1=2

4 h" `, U7 b3 Q3 g  D9 o证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
* @' X/ q3 E: ]& B9 F6 y2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
$ j- i# P: S/ k" G6 Z# j1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

7 F) q1 c: B( w' p  H看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" [6 w; Y2 u/ k7 y7 m0 G* I9 e1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# _2 z7 J* Q$ n4 c8 i

) s% P6 M2 c' \2 o为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
8 D3 e; ^' d" I0 q2 k2 d/ N! a" ?9 B# d
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
; {/ j7 e" Y% F. z4 @         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
  A( L+ u* L8 b: g
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
8 Q3 z. h) k3 h3 j. [2 A                                     K^3 – K can by divided by 3.

0 R  I6 F7 v- l& |( |. D7 hNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
# C9 [- P4 ?& n. e8 g0 Y                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
0 p1 ^) n3 W2 t3 a: `0 Wby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
; o; t  ~9 M& K+ V/ M$ ]So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

4 w8 T/ j3 G- zConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
2 ]4 s6 Y- q( c, m! i# E
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

3 N6 {/ L/ O# v+ c( @第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

5 R0 m( @# T5 Z2 j2 [4 ^
1 g, A2 I  o, l9 M+ c6 Q4 ^* USORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.