出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

2 S7 o; w9 j% h8 L1 K6 c设  a=b

2 }$ ~9 |9 C9 ^/ r! _则有： a*a-a*b=a*a-b*b
8 M1 I/ t; B# H9 W$ Y' w! I$ D6 q两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
+ l) h2 v; u2 T* x( ~7 V9 J$ o: Da=a+b
a=2a
1=2

# {% L* o4 K  o证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
9 i  m; q. L  r# {
1）不能。比如1
  Y" {( ^  \; N, V6 U5 s0 _2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( H  p  F3 Q& H1 [: B( F2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
. y; c. M& M3 [. h1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; L- M1 M% o: |& `# I

5 u' Z( {1 w/ X1 _: ~6 ]! }6 n为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
4 m7 j7 ~( t  r: g
& }! \9 L* u8 j( V3 a* Z6 qProof:
7 H* q/ Z$ |$ P4 d5 zLet n >1 be an integer
, t# ?7 Y& ^$ _3 z2 JBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

1 K6 F5 m2 m& U6 u; X0 NInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
; h' A( \, x+ C! j                                     K^3 – K can by divided by 3.
6 Y; q6 I8 t; |0 @. ?
6 I7 M% D1 D- n3 c: W' ~Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
+ j2 p* F: r- B+ e$ `                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
4 x* M" a6 K! N. R& _                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
1 I2 _4 K9 h$ l. t% f! [! l8 L5 pby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
# i9 f  L. A* `8 USo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
" q9 Y8 t- d4 _$ c# Z  e
& K" J' O$ T/ P! H9 m+ S4 VConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
6 `) i% o% s. U% l' \; p
7 {: S: p  _  |[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
' q7 G) \  p/ S  \$ m5 H
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
1 b6 d. Y' V8 S2 V* a4 J9 \Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

. L; `& ?1 @* f! m$ K) l: c
! }/ O7 S8 y* ^" m  J- tSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.