出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

3 z; T# x6 V: w: m5 V; H2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

$ |  o* @+ G+ d& \9 Q则有： a*a-a*b=a*a-b*b
2 |% a( b! i* S4 d3 ]7 e4 [两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
" {% k) U0 E) B
& y: _: F, P* D9 j1 A9 Va(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

7 Y# x* l: {2 ?4 X1）不能。比如1
9 U" W8 J- ~) p2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 v4 o  d  e" X1 K' o1 x$ A7 k2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
; U3 U; Y: P. o5 J1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
& ^6 G2 u2 ], J, g0 |6 K2 S$ _. l7 M2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

2 c' P  J! p& k  x/ l看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
% |4 G$ u  L/ U0 j. q$ v% u; `; ?1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  j/ u' {& e# I3 F! p

/ V1 @0 b' }  n& Y  v5 {6 Z为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

, y( [* [3 G2 G5 }5 \9 g, aProof:
. V4 Y, T3 ]& e' \6 I- c$ CLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
6 B9 I- R8 U+ g/ E; ?' e) h% B: ?         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
( W& M4 e5 o  m2 J* Z                                     K^3 – K can by divided by 3.

, V& {4 x, P, s; U6 R' [9 @7 KNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
5 Z% a. I+ |# Q  G0 f9 D% ]since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
% ~5 u1 N3 Q3 W+ X% K8 D) q" dThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 V4 e! p! c! d: Vby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
$ Y$ i  }! m7 a- I  \$ lSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
/ T5 }" B5 }) S: J                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

) ^: \7 B$ ~( w' v0 I; F. gConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

$ t+ k" v. L& ?7 P/ m[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
3 `) v' h- i/ |2 u. q
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
9 z, O" b: }' N% u" uShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

* t; ?' Y6 q& qSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.