出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

6 B! }2 i: }- Q2。下边证明有没有毛病？

$ t# C* a: d" u; y! d1 V设  a=b
: t# q; m& b+ q4 |! ]7 t$ r& P
8 D1 I1 F: a- K& f# i, _8 t& |则有： a*a-a*b=a*a-b*b
2 P" f  M. t+ C& s! Q( X两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
% [6 T9 T: t  F( c# P
# S( d+ Y; P+ v) i3 ka(a-b)=(a+b)(a-b)
" @7 W( ~  U' x: o* y' [a=a+b
a=2a
1=2

: x, S' {! ^; t8 K. p1 k% q证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
+ ]' G) i' L- s0 F
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# L  K5 ^$ n1 K4 l- B$ O- k2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
) S* a6 E+ ?3 K+ w% z( {- ]1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, t% t  M# [) h: q7 w' ~/ {2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

% V+ h- l+ _, [  n看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
* `5 x. R3 T+ S$ E2 V2 tLet n >1 be an integer
: S/ ^0 W* L( E4 _1 YBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
8 w8 g' Y6 U5 h9 h2 B, `                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
; `& q" L' ], |" h/ `since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
  J3 Y, n4 V  e4 WThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
  B: d2 U4 ?! F+ G+ x7 s8 x                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
# q( h3 d! G5 r8 a                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
8 l, g( e6 M* L' e& t+ _8 V0 U                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

! `6 K" B' ?  S( N! h+ j# b" d[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

; A% b4 }( _. q  A. A* P: ~/ J第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.