出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
" F. D. i" u4 n% m& S# T
" C+ d- N4 Q- ^# ]$ _4 U, A2。下边证明有没有毛病？
+ K. M& ~  l* o, C* \8 I$ M& _
设  a=b

: G0 M4 t3 h+ f) L* [/ Y, e4 w" u) C则有： a*a-a*b=a*a-b*b
! z) ~. h0 |2 U* x' U9 Z/ r0 j1 V& j两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
! M. ^, n3 s# K0 f% ?1 z
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
/ @% O6 L6 _3 f% p/ w. @1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

& ^' q1 v' X1 V5 A' |7 yProof:
( R" ~5 y5 R2 SLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
) v! X; j: l5 l: e' `         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

) y) g+ C9 S0 ~6 l; |  ~' kInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
& ?8 y% S% ?  A5 w# |5 o                                     K^3 – K can by divided by 3.

; h* K8 ?6 y3 \/ g9 Z7 V% {- xNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
. \9 ^0 Z& M: B. j2 qThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 g3 i, R& e# i+ u% mby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
( r; [8 C5 ]  {& P7 \: B                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
1 ~* G( L4 z& U3 k8 E                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
* T' x: X0 H; g. [4 W
* ?4 Y$ m0 Y4 ~Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
3 C& Z! j- }0 j- s' E
2 S) d3 [5 i* T: L8 F第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

, v* b* S7 N3 ^2 {6 J) pSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.