出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
' o% F( T: d8 U+ p% y
& q5 u. s. G* J1 K( J7 v7 i2。下边证明有没有毛病？
2 Q/ b% G% o7 R
设  a=b
, p* f% V% x8 x1 b/ J
) Z# Z3 l$ U  l8 ^( W1 I则有： a*a-a*b=a*a-b*b
! D0 }2 p" ?. q  [两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
; q  W. ~8 k  e4 S" B5 f7 I
) Y+ n, y0 T+ _* o0 J4 sa(a-b)=(a+b)(a-b)
3 x8 N- I# e& x0 |a=a+b
a=2a
) E. L7 {4 j7 J' `# d. |1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
. S+ V7 }( e( |# Q/ J
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, R- ?  k* P. R2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
3 k) b6 @$ k; {" [
Proof:
- }( Q7 U8 _" S$ s8 G( ^! s/ B1 P$ pLet n >1 be an integer
9 h$ R  n+ J' M& R! \. ZBasis:   (n=2)
% K! @8 ?  n9 j/ P  O( s         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
( F, X) \8 c4 w7 R& e- t( D* l6 I
& r3 i( N, M( t4 TNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
- B' s) \, K' A& W& l/ Rsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
; N+ a2 d& @6 X. P' bThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
& }+ ]( m: U% ~5 g                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
( E! P& n6 P" e/ l; Yby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' b( t% Z; M  s7 q2 m' m9 m                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
9 Z& e6 I2 G. W' L1 H( ]                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
+ Z) q+ S6 E6 q. d4 O
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
9 H+ ?- D; ~4 C. z7 W9 m+ ?* l: x
, N: l( |5 o2 O2 n8 i( y+ A[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

. u: M" m/ r0 E% c第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

5 t- v1 y0 p- i) C
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.