出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
' _" P& v9 n2 ~8 B
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

$ n' ?3 _; O& x& e. f" q4 _( C则有： a*a-a*b=a*a-b*b
5 r6 ?3 i9 V9 _" f两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
, W4 b; j2 @( ^% Z/ y  Y* t9 n1 z% V9 R1=2
7 Q: q/ }7 l6 y) C9 a0 W5 Q
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
. d. C  d) ?5 A9 l
  ]/ g& |* `: R1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" D; }/ V: `3 m2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
3 Q. t1 r$ x1 N1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 Z9 _9 i% ^; t) K2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

$ ?& t9 f8 |' l$ M看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
$ X2 x. q: o. S# B3 h* e1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 \9 u5 T" z1 g, w

3 a  f% N7 E4 Q为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

2 @: \. @0 j/ _0 B3 k2 X4 o% @Proof:
5 `/ T+ k, I" }Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
. Y  f5 }8 `/ \         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

& N* Y# e# z% |' ~% p7 rInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
0 W; l, B! U  ]. }" |                                     K^3 – K can by divided by 3.

; m6 m2 d" I) ^- \( DNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
& o, t/ T; _$ S( S* V# zsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
7 W& R; `$ ]- G                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
, G6 t5 t0 E! A3 P% V5 ^2 J                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, n; |; v; B$ z+ pby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
2 o. B0 S& V7 X, ?- p. ^2 ^: s- mSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
  t5 j1 [* _8 b8 V                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
5 p& g8 n# E' H( U5 z  Z) h                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
" h- M. X9 {: \) l2 K
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
! l5 I1 ^) k) x
( [5 ]0 h  Y4 x8 g[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
) g$ J+ n( K7 @7 M* A. kShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

# v, F5 m- P5 M8 `
6 D% M3 t$ j3 I$ I4 ^, E7 aSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.