出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
8 P) [! |! n9 V/ x, l2 c- Q
2。下边证明有没有毛病？
3 h! T) Y" d, J' T- M2 T5 V
设  a=b

9 b3 t+ [3 N$ W- p则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

; t  K/ ?8 R3 M- Ja(a-b)=(a+b)(a-b)
9 [( l/ p9 u, }3 y. va=a+b
8 ?, T# N" W# `" D1 g& p1 x& oa=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

" b1 r% \5 f7 d( j7 q+ p' y1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 c+ @9 a1 h  J+ k4 \+ f5 b# R5 }2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

: Q' n! E8 [& w# l% X0 a看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 k7 ~+ _4 x5 ^! V- k( \+ M

& G8 @9 l! `  z' Q* |, v为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
' v6 w' _) r! _1 z6 ?. C. M) P
Proof:
: @" s) M3 _7 X+ D1 F; Z6 B, M" ULet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
  w$ p" A# l7 G& c         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
- I( a* p: ^4 V- M: @0 ~
- \! C, |: s4 XInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
6 j1 r* G; A, s3 R. w# h, e& Q* k4 J
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
& r7 U4 \# e6 D, b' L4 K& e                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
- `8 a. w" O" V2 G                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
# q7 M4 F1 W- l$ B# USo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
& C. j: t1 v5 I( s* e' `' Q, e                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
& M1 k, E7 v5 s0 m# a8 V
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
$ v2 B4 g( |- j; p$ S/ J7 g7 ~Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

6 O3 F; Y4 z9 M5 TSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.