出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

% L1 k5 f7 h( h" c2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

# @) T5 r% _1 z  q2 m2 Y# n/ X则有： a*a-a*b=a*a-b*b
9 b* n5 U; a6 B$ N3 g两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
! Z& {+ L: R0 H# ~4 U5 @# @1 m
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
- o1 u% b. v9 e. @6 C$ _7 a+ z( Xa=2a
. W1 g+ b+ x5 n/ Z* ]1=2
0 o. n7 Y: z1 E& Y" b
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
+ i& W, T7 D$ u: s& k0 Q& S9 i3 @( g! L
& |, S+ m, a, A0 a0 k  M1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 B9 Q( O2 i# s. @7 G2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" ]9 b2 c" J5 Z: F1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% h1 |, F0 C; C' ]) a7 K0 R9 \2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) F! O( B; `& b) n

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
4 u$ G6 G9 V- FBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

+ K, z+ ~2 `) r, {9 LInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
' k  D5 K% j5 n. `2 f6 ~* [                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
( j/ t( V- o" E+ @$ A$ mThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
$ N: f9 o, x3 u: V0 X                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
8 z% z0 B' n7 }" `( Z, j1 g                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
& Q. ]5 M% L  W( Q- |, v8 y7 iSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
0 j% u  A6 s2 r1 q( [                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
  r% D0 k8 `7 Z6 j9 x
/ P; b4 I: Z& Z; ]( ^- b( j9 U# iConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
7 t8 X1 ~9 k( a* FShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

: @2 X9 Q/ G; w. X0 u+ b: v+ I+ rSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.