出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

1 x& g$ q0 G( Q- S1 Q) V' {$ ]/ ~2。下边证明有没有毛病？
8 G$ c7 j0 B% B. d5 m; Z! z4 @( D
设  a=b

% m- {& j* ~. e则有： a*a-a*b=a*a-b*b
. A& O  p- w% g5 U两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

( X& O5 p2 }; za(a-b)=(a+b)(a-b)
1 V) \0 U7 }. Sa=a+b
5 F8 x' ^) k. ra=2a
1=2

) r' Z, t* ^) e* R, u证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
) y( K! d" N9 K4 J6 K" \
( X* v, m0 w9 q1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
/ q' [2 z% V  I/ K2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

, ^; }8 k3 p) K% `7 q7 p  k看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 W+ O& `9 M( ~$ L' m: t1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 ]& W, S+ A7 o/ |+ O7 L

' w# r. K, v4 K3 @0 c  k为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
: p8 F+ P+ P. s* DBasis:   (n=2)
1 O8 }/ C! E$ T: l         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
% r- d/ r2 I8 Q% h6 S/ S
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
8 X) V( r! t) @+ [( p
% {- S3 v  e# b0 Y6 G) Y. YNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
5 Q& C+ K+ v- W2 m/ _1 Bsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
: {! K  @, h/ ?  a) d; R' }# PThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
% H. q2 ~( k, F- Fby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
% j6 z) y9 D* XSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
8 Z/ G; g+ t6 c" J- ^2 \; r" G                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
) X) t& e, Y, J. f0 L  m- K
4 ~  _* o0 O3 U, \& eConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

2 k) q* I4 K- e+ m4 ~" d" B# _; {/ T  c[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
7 g4 J0 Q2 H, }+ W" i* @( G
2 r$ x- j" |9 o/ J) G第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
4 Z, p( T5 S# [0 Q* Y. uShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

- X1 ^6 G- M9 y7 q! I' d! z
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.