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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
; E6 G7 o6 D/ b
+ @4 p! G: ^; ~4 h: r, M2。下边证明有没有毛病?
# U1 H# \% o/ S- _( W2 R6 Y
) Y% w; w5 w! p# u5 j& L设  a=b. S8 y9 X; V5 s- p

1 `( S+ j! x$ D. R: X/ ^则有: a*a-a*b=a*a-b*b
3 l/ z5 U0 e3 ~  B: H2 \- s7 f两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):8 u+ K3 f$ ^( M6 n. X) T% @

6 s! R# D& I% y; y9 Fa(a-b)=(a+b)(a-b)  @, I5 D6 ^, U. G7 P
a=a+b
5 M8 G5 \; A5 M; B" }' Za=2a
& Q* j# s* i( y1=2
, D8 A0 b2 N5 s* I/ o. [2 Q% j' w: z% b* G
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
5 A: p4 T2 N1 L( c# R" c1 R7 v" m1 W. h4 r: `4 {6 ^. M$ |2 |
1)不能。比如1
2 Y  o& o# W% M4 |! I2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
2 I* K% N7 F$ \1 g% ?2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
理袁律师事务所
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
- v6 `4 b% q* O: \$ W- P; M1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
6 N  N! o7 f+ q: e$ X9 Q2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
6 r4 v. k2 j, y: T& o
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:2 ?- p! S2 E9 d" h% g" H
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。; A! u! c* g7 U5 b; @# O

  B" V. d1 J/ }! b! i7 p为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
* c8 ~- y  S& o+ r1 f4 q( {2 K6 U. o; m1 k+ Y, m7 `
Proof:
" F! I1 y" a0 Y# E/ m9 B1 B: rLet n >1 be an integer
2 ?4 C) u$ o7 RBasis:   (n=2)# c8 o: G3 B% [" C+ [' D0 I
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3" Z! E/ Q6 N* E  z* G

3 q" R; Q" V1 _' Z5 EInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
; ~* l5 C" b. I. |! p0 t                                     K^3 – K can by divided by 3.
+ o* M6 E' ~! A) z/ s: [" ?* G( a& o4 ]* I, r0 U
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3" n* u: M5 v* t$ Z, G6 ]
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
0 b( [3 c' v4 B3 E) V) cThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
+ U  D+ T# Y# K6 Q                                     = K^3 + 3K^2 + 2K# P: Z* u* I  W4 `$ ~& n
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
/ t1 t5 V6 B; x) U. U                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# q6 u9 Z: W0 `; Mby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
: J: F2 Q( {3 k2 J  cSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)5 l0 ^% n' x* u" i* @0 k
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)* M7 K6 ~0 p+ F6 @/ X/ z: g
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3, w, Z9 f+ P. r+ N: q

: s- I- m% S& |Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.: n" I2 Q3 m; w0 H( N3 a/ x

2 l* I: B" C" x# H% L[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。3 Q* K7 V; \7 L- V" E

$ u7 \+ L+ S8 {2 m4 D6 f第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:4 r# Q) D1 Z9 D" b+ s% k8 ^4 ?
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

# b" K5 M4 V0 P3 K$ y: G& w
* J6 Y' Z' c3 R* gSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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