出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

- r9 z, H; n3 a0 `2。下边证明有没有毛病？
: G. G& d- x8 l- M# F* i
* i: w3 s" y4 ~4 z9 b设  a=b
. w5 Y, y7 e+ z! e& @9 |1 J; P
1 w' i5 f6 |# X, V( l* C: q1 _则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

' t( W* K1 ?/ T! X" c6 oa(a-b)=(a+b)(a-b)
& B" V" p9 `9 f- ~$ Z( ra=a+b
a=2a
1=2

! P5 K! k6 [8 a, ]" n' v证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
9 o8 v4 }/ Y4 d  m" o' V
7 _- P& ]: Z4 `1）不能。比如1
% p& _; f/ x3 m. ]8 d" l2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
7 G6 S+ p) ~& d3 D8 E) t) ~1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 C4 r0 i7 o7 T( Q* f9 j4 i1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
$ }. t# o. O+ v' o2 F4 L- i

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
1 b7 m3 a7 L3 y# m6 o" c$ }Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
  q7 i/ L0 h3 M, Q% K2 K7 r4 ~         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
( Q2 T# h7 t( b6 W
5 s& O) }/ |% e, c! e7 hInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

, r9 U! u9 [/ Y8 y0 HNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
( {, m( }3 d2 p+ v$ D& n7 ~3 HThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
( l$ ]5 P) z! P% l0 H; n" w( M# _3 |                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
0 T( a/ b+ p: q& D* _" ~                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
! P4 L# D- y, F, O  c$ sby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
4 R  O+ o& E% c3 m! X* y                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
9 R/ y) T4 j" Q; D7 Y. \                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

# V5 [5 e$ Y3 L4 b' x5 H( |& UConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
3 j) i3 B0 x, B4 `
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
# ~* t  {( h0 W
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
+ t9 t1 e5 m- N4 S2 SShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

+ _9 y' A. p9 f4 I& b1 eSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.