出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

- h- h7 {" _# U0 T# e& u2。下边证明有没有毛病？

6 h, N, [' f: H; c6 r* a, g设  a=b
) r  \0 }- O" ^( g  l: o  F- \0 W) ]
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
% d5 g* q3 \' t! N2 X* @0 p; T两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
' w9 c) ^" h2 C" da=a+b
9 W" `; X+ h2 R2 v2 na=2a
/ H! V: `: I7 Z" C$ L7 M( ]1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
3 K( M! z  `: m, M( ^( e
6 Y, S" l  F+ ?, v. l1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

$ j- w& Y1 S/ L: `, _; n2 DProof:
) u! k. v: H% o3 u; r' k. ZLet n >1 be an integer
2 V: x5 d: O+ pBasis:   (n=2)
7 m2 [0 X, ?  ]' L7 A         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
$ }& M. w7 r9 k4 _9 H/ L& G" Q
3 ?6 q; d1 V, \4 ^# ?Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
/ b$ p7 P) c8 b# e7 M. _% E" s1 F                                     K^3 – K can by divided by 3.
' F  }# @( `7 D$ F! f8 b9 ?
9 H/ E  t0 G% ?' v) H) R; ENow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
9 o  D# x/ F! v( Ksince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
4 O+ o3 o! }8 E2 `% G' D% [4 @4 Y                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
* n* b  R/ m" W% d/ h9 D: {                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

4 B/ p5 A0 {6 M+ s- v5 N9 q" dConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

- O2 H3 z# V+ o* K3 y. j$ G& f第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.