出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
% V  Q/ n  `! M
. w/ g7 V( W! K0 y+ U2。下边证明有没有毛病？
0 v! o1 ~; I% R" E6 ]( b# ]
$ H$ z, @- O) c4 K9 O& l6 Q; m设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
+ A) G; N# _0 R# U& z
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
; m6 A* R5 v5 n+ V/ d$ [: Ua=2a
4 X4 l, L5 @. n, ?, f1=2

6 A$ S, p) ]/ R  r证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, Z3 @$ {, R# Z5 @; }8 @2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
  O& M/ y4 b. X1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
/ G- h3 P9 f2 p( r+ W2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

  B: q5 D" |, L! U看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
7 B" B& }8 X/ a6 J1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
& b  O; ]9 z' R3 I! ^

* L2 B. |$ v: W( c6 Y9 v为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
1 Q6 B- L& h8 |: f+ s1 J# T! k5 Z- M
% N7 ?- N3 e9 T2 e$ v' g2 ~% oProof:
' S$ z% I; w2 _- ?2 CLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
8 w4 i( u' H5 U( o# E
) @4 ]0 ~7 ^. x) X$ B" }Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

- ^: q$ v& K$ g  oNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
, V. T9 Q" |+ L) J3 {  csince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
! H, h# z0 N. u# T                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
% m" |2 H8 b" R% \  t8 d) e                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

$ O  n' K6 [% U! M. C1 ?+ z; J1 KConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
- P. U2 I5 l" a% b" G  J# d
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
& O/ C4 ]( j, q( J( |6 s
  v% F* z& E& p2 J第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.