出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
4 b; a: U0 k/ P5 N* G, Y
( V7 ?) p* [0 l6 h5 O2。下边证明有没有毛病？
. M( y& a0 B/ v' b9 y1 L% [
设  a=b
% K& S5 F& y" q3 r5 P: x  h0 S2 o
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
) h2 r' [; O" I$ H* x两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
5 Z# }$ z8 B, h- t" \; \
1 U' u# _" n3 Ja(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
1 l4 M2 d5 m9 z  K1 z4 z( |a=2a
1=2
2 G( p; `- H- `5 V3 G; q" [
. E* S9 K! u0 t; Q$ S& M6 c8 w证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

( }$ f3 ~* v0 X( u& g! K! M1）不能。比如1
, F8 I' L( _  X& k) ~0 k2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 z6 L$ X3 S* C% B: `3 X2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; b3 v0 m$ ^$ M: k% g$ f' U8 ]2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

( q/ Z# m) K/ t) J, _3 v看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
5 `6 P* Z. F7 S" @         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
9 E: k; {- G; a1 Y                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
0 ?% Y, }( H) p0 Lsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
8 p4 p0 c; Y, ]' F, O6 O7 k6 NThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
+ @4 D% f" b- T9 s* ySo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
) O/ ~( |  R9 g/ L                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

4 W. F' T$ d7 T% ]Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
4 U% a5 r% V8 O& ^! c, R
5 ~5 v9 x/ i0 E4 P9 ]$ g9 x  F第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
+ C, d& I0 J: @+ c" `$ \1 q: nShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.