出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
3 @! i+ q% U1 I: Q0 x
2 a3 v- J3 ]' d( T7 h9 p# Z设  a=b

/ |1 D& A5 `$ ]8 a) `& P4 y则有： a*a-a*b=a*a-b*b
/ X9 ?. C# z, I% Q7 v' U两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
3 `5 ?  V$ E' Z' {1 O# j3 X
! }/ ]+ s( G5 I: ea(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
2 T& n( E+ a0 V4 h4 g1 Ia=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
. A$ V! O( B% H2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
6 _) V, G7 }! x& C- c1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

9 v5 ~, R" l. j看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

' d/ ?9 u1 h$ z1 @) U为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

6 C$ V5 @6 k9 L1 z$ [Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
( ]; h  z6 U8 H8 t" u' \
7 X7 v7 W" c. m4 m' L/ ]6 T3 yInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

- V2 n# t- P: _! m4 ^Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
/ e# e- x( g' v* W                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: W, z3 t1 M) qby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
2 z9 @/ `2 x( |* ]$ }, _7 K
% {  B6 T# {9 SConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

1 z1 I0 l: P  M: O" x1 N第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

8 f7 W; b0 h: }4 Z! ^: j( j
; d- b1 y1 ?+ ZSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.