出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

7 \/ p  {' _; x5 j$ |+ |2。下边证明有没有毛病？

" Q$ r1 R1 W3 f' B- Z设  a=b

& v! t& o0 l- h. `" q则有： a*a-a*b=a*a-b*b
# r9 d' G3 b$ @  K两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
: m9 E6 j: ~1 e( B) U7 Y
0 C3 Q/ r2 f/ [7 y; @% b1 qa(a-b)=(a+b)(a-b)
; B5 ^8 p6 _9 S4 m5 }3 `a=a+b
% @1 g' p6 z! U, u5 aa=2a
9 p! @3 U* G% Z" D! T1=2
/ P6 m8 l" u8 V, ~: m  O' x% ^
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
) R' F/ j# k; O6 j- l" ]
1）不能。比如1
  J  K1 _& f: D2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ _# o7 I; O6 @8 o2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

+ H% b+ e0 z8 U看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

/ }4 ]# I) y8 ?! Z' B为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

$ \5 d: N- T8 w5 sProof:
( o9 v8 J1 N" i1 I! y. vLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
" G6 P* y! Q: S: t6 B         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
% L9 l, Y: u) p! \
0 z/ ]( Y  L) {. J4 i% oInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
, W) O% [7 Q, J9 x" [( {                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
; q( [' f4 u' A3 d                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
  U1 a1 G! A- b, U                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: k) n3 j( v. p  y                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
3 e: c# L5 ?9 k3 }+ N9 F! V4 M                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
8 B8 J5 W7 u$ D3 f
+ p8 H6 p" J$ o/ i& YConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
# _2 _' g) U2 _' l, h1 p. T
; G) `: l* E4 F* _$ M4 V1 y[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

, }$ c) m7 q5 G/ H$ {SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.