出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

) y7 r! s8 a5 F; R# Q0 L( C- z2。下边证明有没有毛病？
6 r* H6 A$ l) H7 V
设  a=b
0 h' M% {+ L; {* C8 T0 W
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
9 _% i4 T- {6 v两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

( r+ ^# ~/ B2 `' ^6 g8 ca(a-b)=(a+b)(a-b)
* K; M/ f( Q# Ga=a+b
3 Z# E' Y5 ]& ~5 N5 R7 Wa=2a
$ X8 y1 U- h5 [1=2
8 b$ L, C  V! z- @, y
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

, R8 M4 X9 j' |3 s" k1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) c% Z2 `/ J' l$ l1 z2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 O1 N3 x* x( P! i, Y3 ?+ b1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
* r8 i% }8 _; m9 b" k2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

) p' Z+ Y& ]/ g; a' u  e看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 `3 t8 u) b7 g3 N' l5 s  s& x0 t, @# W

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

$ d; c- z) \) B5 A+ m7 iProof:
; x. ]5 w. A# s2 u* n( dLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
  g& E7 f. u; y+ G0 K9 G6 U& j2 D
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
( `1 j7 p8 e9 j- a( v& p' U                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
' s& i; Q7 K' w6 y* a                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
0 V7 P9 P. {. o2 Z! n7 c( H                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
( f# @. x- z. C7 Q9 |6 J+ p
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
) |2 m3 R5 J( T, F
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

4 r/ h1 B4 F3 E7 o# r) N5 S3 I9 Z) y
0 v6 d# C) G" {; YSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.