出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
& J* x% Y& P! C
2。下边证明有没有毛病？
0 J6 p4 V( {* [1 ?
- S8 Y: \$ f: {- A3 e# F设  a=b

1 U; e" B' D* @0 G% P2 a* a则有： a*a-a*b=a*a-b*b
) ~# J) e. J) Z) ?8 u两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

% J; u2 L4 ~$ g* ?7 pa(a-b)=(a+b)(a-b)
& i, Q5 H$ W8 B* m& B8 Ha=a+b
! \% e* s- j9 X9 |6 w4 a2 N3 wa=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
7 U. |  K, ^! [3 T. O
1）不能。比如1
0 z4 e5 w$ J9 M0 }2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) e- `- I* ]- |4 Z: z: R2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
; H2 ~6 k0 x; \" J$ `1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 f- S/ `/ r- W2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& W3 u" O5 ^/ ~2 Z1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
: x* s6 u! m/ \$ m: H6 s7 n
# H' N# j  {8 m+ p' k% o8 S  fProof:
; {4 S  l8 u/ R: a$ Y, wLet n >1 be an integer
$ \- l* r8 v% }! A6 ^% P& ~% q3 mBasis:   (n=2)
, E5 \+ c1 A9 P, C. d! i" T* w         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
) S, A. D" s( [0 A3 v
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
, V2 A7 }! g. C$ N# F3 u                                     K^3 – K can by divided by 3.
3 c5 L# F& u6 P. h% Y
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
- j0 T; a; J1 D$ V& vThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
" ?, f, X. z+ [6 W; y! W                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# h- \  n, i9 l+ Sby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ i5 z2 e4 N$ h1 W  o                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

0 b4 |; H% ]  oConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
, w& M- U% [" w$ C* W# D7 [
2 D) Z  B( k3 `3 x3 e' W; r[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

( X# F/ R8 O0 c. Q" W# C! w) ^第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
3 g1 e( B5 V- g& qShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

# J1 P. s( G: K+ b4 e
0 s( M' z2 v1 ~" XSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.