出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
7 }3 i# T+ j+ k. m  D/ u  {& l
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

2 \- N! @% `3 c% K. H1 s3 Q则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

( I/ l* x5 g, G. o# G& Oa(a-b)=(a+b)(a-b)
! f; B6 _6 v9 _8 Z+ }& ba=a+b
5 w" @" v- \" }0 o' @a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
  r+ D% Y, K& J
( B- n! U" i. K  i$ x- K1）不能。比如1
8 L$ t# }  C/ R) b, m2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
) X; Y6 N+ O3 C; T" }6 q6 o8 Z9 n1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ [9 P$ n* D% ?* @1 y, R# ^2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

# ?; B* j' Y: |$ D6 o1 W2 ]4 G看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 n# ~: q/ s4 r: P: y7 s; E1 X

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
- x' R$ i+ P; a* Y: N
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
7 V" N) U& V9 X7 |  e         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
4 }& \! U2 o0 W
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
! f4 E" D- l, u  z- h0 b2 ~* W                                     K^3 – K can by divided by 3.

0 m+ V, L* _# G! d3 c% `. L) \Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
" d- e, s* [/ P8 O! ~: \9 ~8 ~Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
) _9 e. @" D2 u; g, Q9 J9 c                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
. q6 t, j' z, w. J9 u                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
, j2 J+ A! |6 I! D) P* y0 N' lSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

# p: x  J  K& V4 m! r[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
9 s8 p7 s6 {0 H& \7 D8 `8 z' N
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
2 I; j7 T% ]: _! _/ PShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.