出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

; y' V: o+ A  F  ?7 n8 J2 r+ k2。下边证明有没有毛病？

. A4 l# L8 Q: x& Z设  a=b
# }# C. e2 q4 j. k, ~( T
3 `: U; o6 Y. s/ n3 f( d则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
- \+ Q1 K* R% I) A$ ?3 X
8 o  z! n% i) z$ F  D# @: Ja(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
( ^: p* z% o8 ~1=2
, E/ m7 A  a2 X( D9 c1 L6 g9 t
; N% a; L: w. R7 c* S4 y$ e证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
4 R% Q$ K5 S! @2 E# E- f3 C
1）不能。比如1
2 v7 P- O  j) K  D* J: I# f6 J2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) [7 n7 @3 k. Z; D; r2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
# C; |8 g: y! ?; j1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
$ k8 M- [( q* K* x1 Q4 F8 @4 f

" o+ N: C: L- T$ G6 h7 @为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
: X' I( d8 ?0 E7 g
, |5 `0 G! e6 ^9 e7 g0 D. w4 \Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
4 v4 p' m: ^1 ^7 }8 ]; u         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
7 ], }' ?& R4 ~4 l. N2 p2 R
+ A, }1 f1 ~: \' d3 TInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

5 Y" R# c6 ^0 X# k% B% X! I; SNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
9 A3 M) o2 W8 t" F" C1 B  V3 Csince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
) R2 L0 F  e9 C' x: t# V- z7 {                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
! }$ Z/ _/ d; `# Xby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

9 K0 m5 b: e( D% c+ }Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

& D# H6 |5 @# a: {, r. S3 D[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
, c- \3 r& r6 ?$ I+ P! v
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

. U9 S: W. R! O! ]( R8 m
- Q" M! n6 d/ _4 D" H, jSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.