出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
; E6 G7 o6 D/ b
+ @4 p! G: ^; ~4 h: r, M2。下边证明有没有毛病？
# U1 H# \% o/ S- _( W2 R6 Y
) Y% w; w5 w! p# u5 j& L设  a=b

1 `( S+ j! x$ D. R: X/ ^则有： a*a-a*b=a*a-b*b
3 l/ z5 U0 e3 ~  B: H2 \- s7 f两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

6 s! R# D& I% y; y9 Fa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
5 M8 G5 \; A5 M; B" }' Za=2a
& Q* j# s* i( y1=2
, D8 A0 b2 N5 s* I/ o
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
5 A: p4 T2 N1 L( c# R" c
1）不能。比如1
2 Y  o& o# W% M4 |! I2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 I* K% N7 F$ \1 g% ?2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
- v6 `4 b% q* O: \$ W- P; M1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
6 N  N! o7 f+ q: e$ X9 Q2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

  B" V. d1 J/ }! b! i7 p为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
* c8 ~- y  S& o+ r1 f4 q( {2 K
Proof:
" F! I1 y" a0 Y# E/ m9 B1 B: rLet n >1 be an integer
2 ?4 C) u$ o7 RBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

3 q" R; Q" V1 _' Z5 EInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
; ~* l5 C" b. I. |! p0 t                                     K^3 – K can by divided by 3.
+ o* M6 E' ~! A) z/ s
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
0 b( [3 c' v4 B3 E) V) cThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
+ U  D+ T# Y# K6 Q                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
/ t1 t5 V6 B; x) U. U                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# q6 u9 Z: W0 `; Mby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
: J: F2 Q( {3 k2 J  cSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

: s- I- m% S& |Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

2 l* I: B" C" x# H% L[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

$ u7 \+ L+ S8 {2 m4 D6 f第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

# b" K5 M4 V0 P3 K$ y: G& w
* J6 Y' Z' c3 R* gSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.