出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

- ~4 B: [% u0 }3 V+ k2。下边证明有没有毛病？

" x7 B* d$ ~- t/ P, x设  a=b
; f- L/ s# e+ j% {% {
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
$ M$ c5 [* L+ }. G两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
7 P, N7 w( T/ t& \( S  O
a(a-b)=(a+b)(a-b)
( @8 _3 V4 `- ^7 q3 C* k: s  z7 U, Ta=a+b
a=2a
+ y3 V0 O4 l9 |. c' Z$ D+ S. C1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
) A% }% }1 O9 ?. w, i6 \6 ~; _
) Z) v8 Z) C+ _/ Y/ i3 q9 m) M1）不能。比如1
$ p) J/ s7 K2 t5 W, H; z2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
! e4 M5 A( A5 K: T' Y2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
; p5 o0 H9 m  @; p7 S1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

8 d8 K) h( ]& F) w; T' B为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
% C( H2 f( b: H) U& w4 e5 ^Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
1 N3 h" P+ i  n& l' w9 w" O         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

# W8 x5 v+ H  p' j/ }Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
" r/ L( g0 d1 x                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
" _# \3 P, U2 @1 |' O7 ysince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
  s% ~9 p' b/ @7 U# z8 u( H" HThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
+ ]' }( y3 x9 X8 y/ o; n3 Z                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
: ~: S9 B4 z5 r. `' o, Z: YSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
; Q! H- u" U+ S. Q  h" [                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
  Z# O* B; a. [) }                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

/ i7 C/ P7 D/ d5 V' Q. FConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
, ^4 ?% ?* \) d6 v" `
6 \' z+ v, t: r) G; @( ?9 R' Z0 L" e[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
* q# {7 o; N/ }
0 f9 Z% }+ z% J* r" l5 j第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

+ ]  f" i1 g$ h# Z( n2 V
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.